對由參數方程所確定的函數的求導法的教學改進

肖海霞

摘 要 由參數方程所確定的函數的導數是高等數學教學中的一個重點也是難點。針對教學過程中學生出現的問題，分析了其原因，提出了新的教學思路，經對比發現新的教學思路能有效地提高學生解題的正確率，化解學生學習中的難點。

關鍵詞 參數方程 求導法 高階導數 教學思路

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

一元函數的導數是高等數學的主要內容，學生能否掌握一元函數的求導直接影響到后面知識的學習。由參數方程所確定的函數的導數是教學中的一個重點也是難點，特別是由參數方程所確定的函數的高階導數，學生學起來普遍感到困難，做題時，往往容易犯錯。筆者結合自己多年來的教學經驗，談一談對這一部分內容的教學改進。

1 由參數方程所確定的函數的導數

如果參數方程

（1）

確定與間的函數關系，則稱此函數關系所表達的函數為由參數方程（1）所確定的函數。

對于由參數方程所確定的函數一階導數及高階導數的求法，大多數常用的《高等數學》教材①②中采用如下的處理方式：

設參數方程（1）確定函數 = （），且（），（）在（）上可導，（）≠0，函數 = （）具有單調連續反函數 = （），且此反函數能與 = （）構成復合函數，那么由參數方程（1）所確定的函數可以看成由 = （）， = （）復合而成的函數。利用復合函數的求導法則與反函數的求導法則，就有

2 原有的教學思路

在以前的教學中，通常采用如下的教學思路：首先講解一階求導公式（2）的推導過程，然后求高階導數時一再強調是對求導，所以求高階導數時，仍需利用復合函數的鏈式求導法則，先對求導再乘以對的導數，即

= （）= （）·

從而推導出公式二階求導公示（3）。按照這樣的思路講解后，發現學生對由參數方程所確定的函數的一階導數掌握得還可以，但求高階導數時總容易出現下列的錯誤解法。

例1 設確定是的函數。求，。

有些學生的解答如下：

很顯然，上述解答中二階導數求解是錯的，正確的解答應該為

通過作業發現，犯這種錯誤的學生還比較多。細究其中的原因發現學生對前面剛學習的復合函數的鏈式求導法則與反函數的求導法則掌握欠佳，這樣直接導致對求導公式（2），（3）的推導不理解。但因為一階導數有簡潔的求導公式（2），學生容易記住。盡管有的學生可能一時還不理解公式（2）的由來。但只要記住了公式，就能求出一階導數。而求二階導數雖然有公式（3），但比較復雜，不易理解。而且學生只是認為求二階導數就是對一階導數再求一次導，卻忽略了對誰求導的問題，從而導致了求二階導數的錯誤做法。

3 新的教學思路

在發現學生在學習過程中存在的問題并對其原因進行分析后，決定改進以前的教學思路，采取如下的教學過程：

第一步，仔細講解一階求導公式（2）的推導過程，并選幾個例題讓學生熟悉并牢記一階求導公式（2）；

第二步，引導學生明白既然是的函數，那么它的一階導數也應該仍是的函數。但從前面的例題的結果中發現中的變量仍為，比如例題1中 = 。事實上，一階導數仍是由參數方程所確定的函數，所以，應該表示為

（4）

第三步，既然一階導數是由參數方程（4）所確定的函數，而求二階導數就是一階導數再對求導。故只需要再一次使用由參數方程所確定的函數的一階求導公式（2），便可得到二階求導公式，

= （）=

即 = （5）

公式（5）就是由參數方程所確定的函數的二階求導公式，與其一階求導公式在形式上是一致的。

例2 設確定是的函數。求。

解： = = =

因為仍然是參數方程，故

= = = =

按照這種方式講解以后，學生就很少犯例題1解答中那樣的錯誤。而且這樣講解的好處是不僅使二階導數的求導變得簡單直觀、容易理解， 而且對于更高階導數也是如此。

與二階求導公式類似，我們有

=

例3 在例題2中，求。

解： =

=

=

=

從以上可以看出，在新的教學思路下，由參數方程所確定的函數的高階導數的求法變得很直觀。只要理解和記住了一階求導公式，那么求任意階導數都迎刃而解。

4 結論

原有的教學方法，在求由參數方程所確定的函數的高階導數時，部分學生很難理解，做題時容易易犯錯。自從采用新的教學方法后。從上課時學生的表情上就可以看出學生容易理解，而且做題時不易犯錯。解決了學生學習中的一個難點，為后繼課程的學習打下了良好的基礎。