在數學廣角教學中滲透數學思想的策略

陳明娟

摘 要 數學廣角是在培養學生解決問題能力中滲透數學思維的重要載體。本文以“植樹問題”為例，闡述如何在數學廣角教學中滲透對應、數形結合、數學建模等重要數學思想，以提高學生解決數學問題的能力。

關鍵詞 數學廣角 數學思想

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

基本數學思想方法是提高學生數學能力和思維能力的重要手段，是實現從傳授知識到培養學生分析問題、解決問題能力轉變的重要途徑。但它們都是隱性的，抽象的。數學廣角的內容都是把這些抽象的數學思想方法以學生可以理解的直觀的、生動有趣的形式呈現。讓學生在直觀的解決問題過程中感悟抽象的數學思想。在教學過程中教師的作用就不可小覷，應該作為組織引導者和促進參與者，要運用多種手段激發學生的思考意識和問題意識。引導學生充分發揮主體作用，自主實踐，運用已有知識經驗，探索新方法手段，利用多樣的思想方法來解決問題。在“植樹問題”教學中筆者充分滲透了如下的一些思想方法。

1 對應思想

所謂“對應”是指一個系統中某一項性質、作用、位置或數量上跟另一系統中某一項相當。對應思想有助于加深對知識的理解，培養學生清晰有條理的思考方法，提高學生比較問題、分析問題、解決問題的能力。在植樹問題教學中，對于研究段數和間隔數的關系，筆者充分引導了這一思想方法。

【片斷一】

探究關系：（1）為什么都是在24米長的小路，都是每隔6米種一棵，會出現3種不同的結果呢？（2）有沒有共同的地方？（3）段數相同，棵樹相同嗎？

打開信封，結合里面的兩個材料想一想。

材料一：

材料二：

男生女生排隊，人數一樣多，最后一位（ ）

（1）先獨立思考。（2）可以同桌之間，小組之間相互討論。（3）請小朋友說出自己的想法，并把關鍵字板書。（4） 總結。

學生很容易發現，籬笆數和木樁數之間的關系：籬笆數=木樁數+1。

男學生數和女學生數之間的關系：男生數=女生數。

再回到3種種樹情況中有沒有對應思想的存在。

一棵樹跟著一個間隔，間隔和樹一一對應，最后那棵樹沒有間隔與其對應，所以棵樹比間隔數多1。

一棵樹跟著一個間隔，間隔和樹一一對應，棵樹和間隔數一樣。

一棵樹跟著一個間隔，間隔和樹一一對應，最后多了一個間隔出來。

至此學生已經感受植樹問題中一一對應思想方法的存在，理解了多1的原因，建立起深刻、整體的表象，體會到不同植樹問題情形中棵樹和間隔之間的關系。在后續的練習中，學生能夠充分利用這一思想方法來解題，正確率大大提高了。

2 數形結合思想

所謂數形結合是指借助簡單的圖形、符號和文字所做的示意圖，促進學生形象思維和抽象思維的協調發展，溝通數學知識之間的聯系，從復雜的數量關系中凸顯最本質的特征。在學生掌握基礎知識和基本技能的基礎上，通過教師的引導，建立數形結合有利于學生的思考，降低學習的難度。加大學生的思考空間和創造空間，激活學生的思維。

在植樹問題教學中，要進一步研究不同情形的植樹問題棵樹和間隔數之間的關系，并且抽象出公式，如果只是單純地把數量關系告訴學生，讓學生強硬記住，并且反復練習，所得的結果只有兩個：易混淆和易出錯，時間一長容易忘記。所以筆者不提倡讓學生單純記憶任何一種植樹問題的數量關系和公式，而是注重讓學生與他人合作交流，利用較小的數做實驗，通過探究活動，畫線段圖或示意圖的方式很好地把數量關系抽象出來，并嘗試用自己的語言表述這個結果，利用“多數推廣”的方法找規律，以小見大，推廣應用。

【片斷二】

（1）獨立嘗試把上述不同的種樹情況和自己的想法通過畫圖表示出來，收集不同圖示進行展示，如下：

（2）就上述不同情況進行比較和辨析。

為什么在同樣長24米的小路一邊植樹，都是每隔6米種一棵，會出現三種不同的結果？（關鍵是看兩個端點是否植樹）。初步感知棵樹和段數之間的關系。

（3）再次嘗試合作探究，不同條件下棵樹和段數直接的關系。

①在這條24米長的路上植樹，除了可以每隔6米種一棵，還可以每隔幾米種一棵？學生紛紛說出各自的想法，每隔2米、3米、4米、8米等等。

②請學生選擇自己喜歡的相隔米數，再次通過畫圖來完成三種不同的植樹情況。（提供獨立探究的操作紙）

③數據填入表格

④展示學生研究結果

觀察表格結果，你對不同植樹情況下，棵樹和段數之間的關系有什么新的發現？（很多學生都說有規律）。

總結學生的發現：兩端都種：棵樹=段數+1。

一端種，一端不種：棵樹=段數

兩端都不種：棵樹=段數1

這樣的操作和探索不單單做到了數形結合，同時又把三種植樹情況聯系在一起，為學生的個性化思維提供了寬敞的舞臺，力求讓每個層次的學生都能展現出自己的理解，并在適當的時候進行交流，讓學生由表及里地把外在的感性操作提升為內在的理性經驗，真正培養和發展了學生的抽象思維能力和問題解決能力。

3 數學建模思想

數學建模是把錯綜復雜的數學問題抽象、簡化為簡單的合理的易于理解的數學結構的過程。它是一種數學的思考方法和數學學習方式，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生活和其他學科的聯系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應用意識；激發學生學習數學的興趣，發展學生的創新意識和實踐能力。“植樹問題”的模型是典型的數學模型，它源于現實，又高于生活。在現實中有著廣泛的應用。

【片斷三】

發現生活中的植樹問題

（1）先讓學生說說生活中有沒有類似植樹問題的例子。

（2）老師這里準備了一些圖片，我們一起來看一看。（課件出示有間隔的圖片）①手；②樓梯。③鋸木頭。④學生排隊。⑤栽電線桿、安路燈、插彩旗、汽車站、鐘面。

通過舉例身邊的實例，進一步體會，現實生活中的許多不同事件都含有與植樹問題相同的數量關系，它們都可以利用植樹問題的模型來解決它，感悟數學建模的重要意義。