關(guān)于曲線構(gòu)圖的一點(diǎn)探討

焦莉萍

摘 要 本文通過(guò)例題引出在曲線構(gòu)圖時(shí)需要注意的問(wèn)題并加以總結(jié)，隨之用典型題目予以強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，以期提高學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 曲線構(gòu)圖 能力提高

中圖分類號(hào)：J211 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

數(shù)學(xué)不僅有數(shù)的一面，也有“形”的一面。美國(guó)著名數(shù)學(xué)家克萊茵曾指出：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄。但是當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就相互吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善。”數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用性，其它學(xué)科和日常生活都可以找到應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的例子。通過(guò)函數(shù)圖形來(lái)掌握函數(shù)的性態(tài)也顯得格外重要。隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的發(fā)展，很多軟件都可以做到輸入解析式后，立刻顯示出函數(shù)圖象來(lái)。但是，如何識(shí)別機(jī)器作圖中的誤差、掌握?qǐng)D形上的關(guān)鍵點(diǎn)、選擇作圖的范圍等問(wèn)題，并進(jìn)行人工干預(yù)，仍需要我們能運(yùn)用微分學(xué)的方法描繪出函數(shù)的圖形。本文就導(dǎo)數(shù)在曲線構(gòu)圖方面的應(yīng)用做出一點(diǎn)探討，以期提高學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。值得注意的是，在作圖過(guò)程中，除了微分學(xué)知識(shí)的應(yīng)用外，還需要應(yīng)用初等數(shù)學(xué)的知識(shí)及一些基本常識(shí)來(lái)輔助。

例1 畫出（） = 的圖形。

解：（1）所給函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?），（） = = 3（）（），得 （）的駐點(diǎn)為 = 。易得， （）在（，1）和（1，）上單調(diào)遞減，在（）上單調(diào)遞增，且 （）在 = 處取得極小值，在 = 處取得極大值2。可以首先在坐標(biāo)系內(nèi)描出點(diǎn)（），（1，2），注意在 = ？處 （）的切線為水平，描繪出 = ？?jī)牲c(diǎn)附近函數(shù)的單調(diào)性。

（2）考慮無(wú)限遠(yuǎn)端問(wèn)題，即→時(shí) （）的取值問(wèn)題，這是一類很容易忽略的問(wèn)題。→ ， （） = ≈，則有→時(shí)， （）→+；→+時(shí)， （）→。記為 （） = +， （+） = 。

（3）考察（），對(duì)在（1）、（2）里勾畫出的圖形加以修飾。由（） = 得， （）在（，0）上為凹函數(shù)，在（0，+）上為凸函數(shù)，且點(diǎn)（0，0）為 （）的拐點(diǎn)。

綜上，可以作出 （）= 的圖形（圖1）。①

例2 描繪函數(shù) （）= 的圖形。

解：（1）所給函數(shù) （）= 的定義域?yàn)椋ǎǎǎ?= ≠0。 = 為 （）的間斷點(diǎn)，且 （） = ， （） = +。 = 為函數(shù)的鉛直漸近線。

（2）考察函數(shù)在無(wú)限遠(yuǎn)端的取值。 （）= = ，→時(shí)， （）→1。即 = 1為函數(shù)的水平漸近線。

（3）討論在（），（）內(nèi)函數(shù)的極值問(wèn)題。由（） = >0≠0（≠），可知 （）在（）和（）內(nèi)分別單調(diào)遞增。

（4）最后利用（）在（）和（）內(nèi)的符號(hào)進(jìn)一步考察函數(shù)的形態(tài)。 由（） = （≠），得（）時(shí)，（）>0， （）= 是凹的；（）時(shí)，（）<0， （）= 是凸的。

綜上，可以作出 （）= 的圖形（圖2）。

根據(jù)以上兩個(gè)例題，我們可以得出描繪函數(shù)圖形的步驟如下：（1）描出特殊點(diǎn)：）間斷點(diǎn)；）無(wú)限遠(yuǎn)端的點(diǎn)；）圖形與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。（2）求出（），得到可能的極值點(diǎn)（包括駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)），并計(jì)算出相應(yīng)的極值。（3）判斷（）在以可能極值點(diǎn)為端點(diǎn)的區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，據(jù)此判定函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的凹凸性，求出拐點(diǎn)。（4）綜合以上信息，作出圖形。

現(xiàn)在，應(yīng)用以上知識(shí)解決問(wèn)題：作出 （） = （>0）的圖形。

解：（1）描點(diǎn)。）易知 = 1為 （）的間斷點(diǎn)，且 （）= ， （）= ；）考慮無(wú)限遠(yuǎn)端，左端 = 0，右端 （）= ；） （0） = 0。

（2）（）= ，令（）= 0，得 = ，且 （）= 。（0，1）和（1，）時(shí)，（）<0；（1，+）時(shí)，（）>0。點(diǎn)（）為駐點(diǎn)。在本題中，值得注意的是，（） = = ，則有（） = 0，即 = 0也是函數(shù)的一個(gè)駐點(diǎn)，作圖時(shí)需要加以注意。

（3）考慮（）的符號(hào)，最終確定函數(shù)的圖形。 求出（） = ，令（） = 0，得 = 。（0，1）和（，+）時(shí)，（）<0， （） = （>0）是凸的；（1，）時(shí)，（）>0， （） = （>0）是凹的。

綜上所述，作出 （） = （>0）的圖形（圖3）。