初等數(shù)論中的整除問題

李子萍

摘 要：整除是初等數(shù)論中的基本概念，也是整個數(shù)學的基礎知識。本文主要討論了初等數(shù)論中的整除問題及應用。

關鍵詞：初等數(shù)論 整除 整除特征

中圖分類號：O13 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）01（a）-0154-01

整除問題是數(shù)學學習的一大方面，無論小學，還是中學，甚至大學數(shù)學都有關于整除的問題。理解掌握整除的概念、性質(zhì)及某些特殊數(shù)的整除特征，可以簡單快捷地解決許多整除問題。以下本文對整除問題進行了整理，以方便關于整除問題的學習。

1 整除的概念

設a，b是任意兩個整數(shù)，其中b≠0，如果存在一個整數(shù)q使得等式a=bq成立，我們就說b整除a或a被b整除，記作b|a，此時我們把b叫作a的因數(shù)，把a叫作b的倍數(shù)。

如果a=bq里的整數(shù)q不存在，我們就說b不能整除a或a不能被b整除，記作ba。注：a，b作除數(shù)的其一為0則不叫整除。

2 整除的性質(zhì)

性質(zhì)1：若a是b的倍數(shù)，b是c的倍數(shù)，則a是c的倍數(shù)，即，c|b，b|ac|a。

性質(zhì)2：若a，b都是c的倍數(shù)，則（a+b）也是c的倍數(shù)。即，c|a，c|bc|（ab）。

性質(zhì)3：若，，…，都是m的倍數(shù)，，，..是任意n個整數(shù)，則+ +…+是m的倍數(shù)。即，對，…，Z，有m|++…+。

性質(zhì)4：幾個整數(shù)相乘，若其中有一個因子能被某一個數(shù)整除，那么它們的積也能被該數(shù)整除。即，若a|b，則a|bcd。

性質(zhì)5：若一個數(shù)能被兩個互質(zhì)數(shù)中的每一個數(shù)整除，那么這個數(shù)也能被這兩個互質(zhì)數(shù)的積整除。即，若a|b，c|b，（a，c）=1，則ac|b。

性質(zhì)6：若一個數(shù)能被兩個互質(zhì)數(shù)的積整除，那么，這個數(shù)也能分別被這兩個互質(zhì)數(shù)整除。

即，若ac|b，（a，c）=1，則a|b，c|b。

性質(zhì)7：若一個質(zhì)數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個。即，若p|ab，則p|a或p|b（p為質(zhì)數(shù)）。

性質(zhì)8：若a|b，m≠0，則am|bm。

性質(zhì)9：若am|bm，m≠0，則a|b。

3 整除特征

特征1：任何整數(shù)都能被1整除；0能被任何非零整數(shù)整除。

特征2：若一個整數(shù)的末位數(shù)是0、2、4、6、8，則這個整數(shù)能被2整除。

特征3：若一個整數(shù)的各位數(shù)字和能被3整除，則這個整數(shù)能被3整除。

特征4：若一個整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個數(shù)能被4整除。

特征5：若一個整數(shù)的末位是0或5，則這個數(shù)能被5整除。

特征6：若一個整數(shù)能被2和3整除，則這個數(shù)能被6整除。

特征7：若把一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中減去個位數(shù)的2倍，差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。

特征8：若一個整數(shù)的末尾三位數(shù)能被8整除，則這個數(shù)能被8整除。

特征9：若一個整數(shù)的各位數(shù)字和能被9整除，則這個整數(shù)能被9整除。

特征10：若一個整數(shù)的末位是0，則這個數(shù)就能被10整除。

特征11：若一個整數(shù)的奇數(shù)位之和與偶數(shù)位之和的差能被11整除，則這個數(shù)就能被11整除。

4 整除問題的應用舉例

例1：判斷123456789這個九位數(shù)能否被3，9，11整除？

解：∵1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，且 3|45，9|45，

∴這九位數(shù)能被3和9整除。

這個九位數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是9+7+5+3+1=25，偶數(shù)位上的數(shù)字之和是8+6+4+2=20，∵25—20=5，又∵115，∴11123456789。

例2：設72|，試求的a，b值。

解：72=8×9，且（8，9）=1

∴只需討論8、9都整除時a，b的值。

∵8|，則8|，由除法可得b=2。

∵9|，則9|（a+6+7+8+2），得a=3。

∴a=3 b=2

例3：證明3|n（n+1）（2n+1），其中n是任何整數(shù)。

證：法一：n（n+1）（2n+1）

= n（n+1）（n+2+n-1）

= n（n+1）（n+2）+（n-1）n（n+1）

∵3|n（n+1）（n+2）且3|（n-1）n（n+1）

∴3|〔n（n+1）（n+2）+（n-1）n（n+1）〕

即：3|n（n+1）（2n+1）。

法二：若n是3的倍數(shù)，或n+1是3的倍數(shù)，結(jié)論顯然成立。

若n，n+1都不是3的倍數(shù)，則n+2一定是3的倍數(shù)，設n+2=3k，k∈Z，則n=3k-2。

∴2n+1=2（3k-2）+1=3（2k-1），即2n+1是3的倍數(shù)。

從而，3|n（n+1）（2n+1）。

例4：設p是質(zhì)數(shù)，證明滿足=p的正整數(shù)a，b不存在。

證：假定存在正整數(shù)a，b使得=p.

令（a，b）=d，a=d，b=d。則（，）=1

∴=，

∵p是質(zhì)數(shù)

p|，令=p，則

∴p=即=p

同理可得，p|即：

，都含有p這個因子，與（，）=1矛盾。

∴滿足=p的正整數(shù)a，b不存在。

以上，通過對整除概念、性質(zhì)及特征的理解，利用整除的性質(zhì)和特征解決一些實際問題，為學好初等數(shù)論打下堅實基礎。本文對整除問題只是稍有整理，對整個整除問題的梳理還有待去解決。

參考文獻

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[2] 閔嗣鶴，嚴士鍵.初等數(shù)論[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.

[3] 于慶.整除的數(shù)字特征—— 小學數(shù)學教學中的初等數(shù)論問題[J].科學大眾（科學教育），2012（8）.endprint