基于三次均勻B樣條的卡通形象設計技術*

2014-11-10 07:09:34丁永勝李朝紅

網絡安全與數據管理 2014年1期

丁永勝，李朝紅，祝微

（1.齊齊哈爾大學理學院數學系，黑龍江齊齊哈爾 161006；2.齊齊哈爾高等師范專科學校數學系，黑龍江齊齊哈爾 161005）

1 基本知識

已知 n+1 個控制頂點 Pi（i=0，1，…，n），則 p 次（即p+1階）B樣條曲線的表達式為：

其中，Ni，p（u）是調和函數，即為 B 樣條基函數。 Schoenberg[1]給出定義：給定參數軸U上的一個分割，由下列遞推關系定義的稱為U的p次（階）B樣條基函數：

其中，p 表示 B 樣條的次數（即 p+1 階），U={u0，u1，…，un+p+1}為節點矢量，ui為節點。當節點沿參數軸均勻等距分布，即ui+1-ui為常數時，則表示均勻B樣條；反之，ui+1-ui不為常數時，則表示非均勻B樣條。利用式（1）可以得到三次均勻B樣條基函數：

通過B樣條基函數可以很容易得到B樣條曲線的性質[1-3]。

（1）嚴格的凸包性。曲線嚴格位于控制多邊的凸包內。

（2）局部性。對于 k（即 p+1）階 B樣條曲線上參數為 t∈[ti，ti+1]的點 P（t），至多與 k 個控制頂點 Pj（j=i-k+1，…，i）有關，與其他控制頂點無關；移動該曲線的第 i個控制頂點Pi至多影響到定義在區間（ti，ti+k）上那部分曲線的形狀，對曲線的其余部分不產生影響。

（3）可微與連續性。在定義域內重復度為k的節點處則使p-k次可微或具有p-k階參數連續性。

（4）分段參數多項式。 C（u）在每一區間 u∈[ui，ui+1）上都是次數不高于p的多項式。

（5）近似性。控制多邊形是B樣條曲線的線性近似，若進行節點插入或升階會更加近似。次數越低，B樣條曲線越逼近控制頂點。

（6）幾何不變性。B樣條曲線的形狀和位置與坐標系的選擇無關。

基于B樣條的優良性質，其造型的功能也十分靈活，用B樣條曲線可以構造直線段、尖點、拐點、節點以及切線等特殊情況。

2 控制三次均勻B樣條曲線幾何形態方法

在設計一般的卡通形象時，常常借助控制三次B樣條曲線幾何形態使構造的形象更生動，控制三次均勻B樣條曲線幾何形態主要考慮以下方法技術：

（1）為在曲線內嵌入一段直線，應用4個頂點共線，如圖1所示。

（2）為使曲線和特征多邊形相切，應用 3頂點共線或二重角點的技術。如果3個連續的控制點共線連成一段直線，則曲線將過直線上的一點，且在此點處，曲線直線化。可以用這樣的點構成曲線的拐點，如圖2～圖4所示。

（3）為使曲線在某一頂點處形成尖點，可在該處使3個頂點相重合，如圖5所示。

（4）改變一個頂點，將影響相鄰4段曲線的形狀，利用B樣條曲線的局部性，可以對造型細節進行微調，而不影響全局形狀，如圖6所示。

（5）用三重頂點或二重頂點控制曲線的端點：用三重頂點時，曲線通過端點，但開始段B樣條曲線是一小段直線；用二重頂點時，曲線不通過端點，而在多邊形首邊上靠近二重頂點的某一點開始。因此，利用控制多邊形的多重頂點可以調節曲線的端點位置，以達到形象設計的各種要求。如起點和終點處3點相重，曲線過控制多邊形端點，從而具有Bezier曲線的性質，如圖7所示；也可以利用重點繪制封閉的三次B樣條曲線，如圖8所示。