分形維數(shù)與級(jí)配的相關(guān)性分析

吳詩堯 秦 偉 烏蘭格日勒

(1．中交三公局第二工程有限公司，北京 100124;2．內(nèi)蒙古建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特 010070)

國(guó)內(nèi)外的相關(guān)道路工程研究者針對(duì)瀝青混合料的分形特征以及集料的分形級(jí)配理論進(jìn)行了大量的研究，在道路工程領(lǐng)域內(nèi)引用了分形理論，填補(bǔ)了道路工程中分形理論的空白，在集料的微觀和細(xì)觀方面得到了深入研究，從而為分形理論在路用集料級(jí)配等路面材料的研究奠定了理論基礎(chǔ)［1-4］。目前很多學(xué)者的研究還體現(xiàn)在對(duì)已經(jīng)存在的級(jí)配曲線分維值的一般求解方法上，未能將分維值和瀝青混合料宏觀上的物理性能建立密切的聯(lián)系，進(jìn)而指導(dǎo)瀝青混合料的級(jí)配設(shè)計(jì)工作，未能對(duì)于在混合料當(dāng)中粗集料分界點(diǎn)處呈二維分形的間斷級(jí)配進(jìn)行相關(guān)研究。筆者主要通過對(duì)分形的概念，分形的原則和分形維數(shù)進(jìn)行理論介紹，以AC-16及SMA-16為例，在規(guī)范級(jí)配曲線范圍內(nèi)選取6種代表性級(jí)配走向，根據(jù)分形理論定量計(jì)算這6種級(jí)配的分形維數(shù)，通過理論定量計(jì)算來探討分形維數(shù)與級(jí)配之間存在的規(guī)律。

1 分形維數(shù)與混合集料級(jí)配相關(guān)性分析

1．1 分形維數(shù)的計(jì)算方法

目前采用的分維值D的計(jì)算方法是:在lg(r/rmax)和lg(P(r))的雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系上，對(duì)級(jí)配曲線利用最小二乘法進(jìn)行直線擬合，求出斜率k，由D=3－k，求出集料粒徑分布的分維值D［5］。

1．2 瀝青混合料的設(shè)計(jì)(AC-16連續(xù)級(jí)配)

試驗(yàn)采用最大粒徑為19 mm的AC-16集料，粗集料采用花崗巖，細(xì)集料為石灰?guī)r，礦粉由石灰?guī)r磨制而成。瀝青采用為盤錦90號(hào)基質(zhì)瀝青，并按《公路工程瀝青及瀝青混合料試驗(yàn)規(guī)程》進(jìn)行測(cè)試，評(píng)價(jià)瀝青性能［6］，集料按《公路工程集料試驗(yàn)規(guī)程》進(jìn)行測(cè)試，集料的密度采用網(wǎng)籃法測(cè)定，具體指標(biāo)值見表1～表4。

表1 試驗(yàn)用密度

表2 瀝青的三大指標(biāo)

表3 礦粉技術(shù)指標(biāo)

表4 集料的篩分?jǐn)?shù)據(jù)表

在規(guī)范附錄C中AC-16級(jí)配范圍內(nèi)取3條級(jí)配曲線:級(jí)配上限、級(jí)配中值、級(jí)配下限、SMA-16級(jí)配范圍內(nèi)取級(jí)配上限、級(jí)配中值、級(jí)配下限，進(jìn)行曲線擬合得出表5。

表5 級(jí)配表

1．3 分形維數(shù)的計(jì)算

瀝青混合料中粒徑分布的分維值計(jì)算是在集料級(jí)配雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上，采用最小二乘法把級(jí)配曲線進(jìn)行曲線擬合，利用該方法計(jì)算出斜率k，并利用公式D=3－k最終計(jì)算出分維值［7］。

圖1 AC-16級(jí)配范圍上限

表征分形體特征的基本參數(shù)是分維數(shù)D。揭示混合料中各級(jí)配集料篩孔通過率和級(jí)配曲線形態(tài)的分布，可以通過對(duì)分維值D和擬合相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析得到［8］。先在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖中繪出現(xiàn)行規(guī)范中SAC-16型瀝青混合料級(jí)配范圍上、下限和中值并進(jìn)行線性擬合。為了直觀的進(jìn)行對(duì)比分析，筆者將連續(xù)級(jí)配的AC-16型瀝青混合料集料級(jí)配范圍中值和上、下限同時(shí)繪制在一張圖內(nèi)，如圖1～圖6所示，并計(jì)算得到分維數(shù)D。

圖2 SMA-16級(jí)配范圍上限

圖3 AC-16級(jí)配范圍中值

圖4 SMA-16級(jí)配范圍中值

圖5 AC-16級(jí)配范圍下限

圖6 SMA-16級(jí)配范圍下限

將不同級(jí)配的分維值和相關(guān)系數(shù)匯總?cè)绫?所示。

由AC-16和SMA-16級(jí)配范圍的上限、中值、下限的擬合結(jié)果可以直觀的得到，在相同的尺度范圍內(nèi)，瀝青混合料的級(jí)配上限、中值、下限的分維值呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢(shì)，試驗(yàn)證明級(jí)配越細(xì)，分維值越大。

表6 不同級(jí)配的分維值及相關(guān)系數(shù)

相關(guān)系數(shù)反映集料的分形度，相關(guān)系數(shù)越大表明級(jí)配分形理論的模型與級(jí)配的實(shí)際組成擬合度較好，由表6中相關(guān)系數(shù)可以得到，連續(xù)級(jí)配AC-16的相關(guān)性較好，間斷級(jí)配的SMA-16相關(guān)性比連續(xù)級(jí)配AC-16低。間斷級(jí)配最顯著的特點(diǎn)是在某一個(gè)或幾個(gè)檔斷開，使得原來是同一個(gè)分形特征體系的集料體系分成兩個(gè)或多個(gè)。上述試驗(yàn)表明，在一維線性擬合中，同一尺度范圍內(nèi)連續(xù)級(jí)配AC-16比間斷級(jí)配SMA-16相關(guān)系數(shù)高。由圖1～圖6可以直觀的得出，連續(xù)級(jí)配AC-16的級(jí)配曲線平滑，線性擬合度較高，各篩孔控制點(diǎn)的偏離度小。間斷級(jí)配SMA-16的級(jí)配曲線曲折，線性擬合度較低，在相同尺度區(qū)域內(nèi)有著不同的分形。因此間斷級(jí)配的瀝青混合料應(yīng)選擇地域進(jìn)行分形評(píng)價(jià)。

2 結(jié)語

本文以規(guī)范推薦級(jí)配范圍為基礎(chǔ)，通過對(duì)分形值的計(jì)算，進(jìn)一步得出控制篩孔的通過百分率分?jǐn)?shù)，進(jìn)而完成級(jí)配設(shè)計(jì)。該方法可以將集料因產(chǎn)地、批次的不同與級(jí)配設(shè)計(jì)聯(lián)系起來，從而彌補(bǔ)其他設(shè)計(jì)方法的不足之處。驗(yàn)證了分形級(jí)配理論中分形值的取值，應(yīng)根據(jù)環(huán)境和地域的不同進(jìn)行選取，使得瀝青混合料的配合中具有較大的靈活性，在調(diào)整和設(shè)計(jì)過程中比較簡(jiǎn)便。

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