優(yōu)化的 GM(1，1)模型在建筑業(yè)總產(chǎn)值預(yù)測中的應(yīng)用

刁 鵬

(江蘇國興建設(shè)項(xiàng)目管理有限公司，江蘇泰興 225400)

0 引言

建筑業(yè)總產(chǎn)值是指建筑業(yè)在一定時期內(nèi)完成的以價(jià)值表現(xiàn)的生產(chǎn)總量。作為國民經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的重要組成部分，是在工業(yè)化、城市化和現(xiàn)代化發(fā)展過程中形成的獨(dú)立產(chǎn)業(yè)。從經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的國家或地區(qū)來看，建筑產(chǎn)業(yè)無一不是該國或地區(qū)的先導(dǎo)產(chǎn)業(yè)與支柱產(chǎn)業(yè)，對當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)發(fā)展起著舉足輕重的作用。從我國的情況來看，中國建筑業(yè)很大程度解決了就業(yè)問題，同時建筑產(chǎn)業(yè)的發(fā)展同樣有效地拉動了經(jīng)濟(jì)增長?？茖W(xué)、準(zhǔn)確、及時地預(yù)測建筑業(yè)總產(chǎn)值，對國家制定經(jīng)濟(jì)建設(shè)計(jì)劃有著至關(guān)重要的影響。

GM(1，1)是最常用的灰色預(yù)測模型，由于所需樣本數(shù)據(jù)少、計(jì)算方便簡單，因而在“小樣本、貧信息”的不確定性系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用。影響建筑業(yè)總產(chǎn)值的因素十分復(fù)雜，大致可分為外部因素和內(nèi)部因素，其中外部因素主要有宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境、固定資產(chǎn)投資等，而內(nèi)部因素主要包括生產(chǎn)要素、科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步程度、產(chǎn)業(yè)政策等［1］。因此，建筑業(yè)體系屬于灰色系統(tǒng)，可以用GM(1，1)模型進(jìn)行預(yù)測。

文獻(xiàn)［2］～［4］采用函數(shù)變換的方法，提高了原始數(shù)據(jù)的光滑度，從而提高GM(1，1)模型的預(yù)測精度。文獻(xiàn)［5］提出用二次插值構(gòu)造模型中的背景值，并用改進(jìn)的方法進(jìn)行了短期預(yù)測。這些文獻(xiàn)都是采用單一的方法，采用函數(shù)變換改變原始數(shù)據(jù)或采用插值法改變背景值。

本文將兩種方法結(jié)合在一起，首先使用正弦函數(shù)變換改變原始數(shù)據(jù)，再利用二次插值法改造模型中的背景值。并使用優(yōu)化的GM(1，1)模型對2003年～2012年建筑業(yè)總產(chǎn)值進(jìn)行實(shí)證研究，驗(yàn)證了該模型的高精度性和實(shí)用性。

1 基于Lagrange插值法的背景值計(jì)算

傳統(tǒng)的GM(1，1)模型對應(yīng)的白化微分方程為:

將上式在區(qū)間［k，k+1］上積分得:

其中，a，b均為待識別常數(shù)。

但在傳統(tǒng)GM(1，1)模型中，采用緊鄰均值處理的背景值為:

也就是說，傳統(tǒng)的GM(1，1)模型，在確定待識別常數(shù)a和b時，利用梯形面積來近似曲邊梯形的面積。所以傳統(tǒng)背景值的構(gòu)造會使a和b偏離正常數(shù)，導(dǎo)致模型預(yù)測精度降低。

以k，k+1，k+2三個點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)，則x(1)(t)的二次Lagrange插值多項(xiàng)式pk(t)為:

其中，k=1，2，…，n －2。

我們以pk(t)在［k，k+1］上的定積分作為背景值z(1)(k+1)。由于pk(t)是二次多項(xiàng)式，而計(jì)算定積分的Simpson公式具有三次代數(shù)精度，故由Simpson公式得到新的背景值［6］:

其中，k=1，2，…，n －2。

2 基于正弦函數(shù)和Lagrange插值法的GM(1，1)模型

文獻(xiàn)［7］已經(jīng)證明正弦函數(shù)變換能提高原始數(shù)據(jù)序列的光滑度，從而提高了預(yù)測的精度。假設(shè)奇異點(diǎn)經(jīng)過處理后得到的原始數(shù)據(jù)序列:A(0)={a(0)(k)|k=1，2，…，n}為遞增序列，且a(0)(k)＞0。

基于正弦函數(shù)以及Lagrange插值法的GM(1，1)建模過程如下:

1)對原始值做相應(yīng)的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化，使其處于單調(diào)遞減且取值非負(fù)的區(qū)間，得到新數(shù)列:

2)對數(shù)列X(0)進(jìn)行y(0)(k)=sinx(0)(k)函數(shù)變換，得到數(shù)據(jù)序列:

3)對數(shù)據(jù)序列 Y(0)={y(0)(1)|k=1，2，…，n}作一次累加生成:

4)利用插值法構(gòu)造背景值得:

其中，

5)由一階累加生成序列Y(1)建立GM(1，1)模型，對應(yīng)的白化微分方程為:

6)在初始條件y(1)(1)=y(0)(1)，上述方程的離散解為:

參數(shù)列β=(a，b)T由最小二乘法確定:

7)將k=1，2，…，n代入上式，便得到 Y(1)的模擬值:

8)還原求出Y(0)的模擬值。由1)得:

10)再經(jīng)過相應(yīng)的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化還原就可得到原始數(shù)據(jù)的模擬值:

3 實(shí)例應(yīng)用

現(xiàn)利用優(yōu)化的 GM(1，1)模型對經(jīng)過處理后數(shù)據(jù) A(0)={a(0)(k)|k=1，2，…，10}進(jìn)行建模。

GM(1，1)模型的時間響應(yīng)序列為:

最終模型為:

表1為建筑業(yè)總產(chǎn)值實(shí)際值與預(yù)測值對比。

1)后驗(yàn)差檢驗(yàn)。

表1 建筑業(yè)總產(chǎn)值實(shí)際值與預(yù)測值對比

表2為2013年～2015年的建筑業(yè)總產(chǎn)值的預(yù)測值。按照現(xiàn)在的社會經(jīng)濟(jì)條件發(fā)展，到2015年全國的建筑業(yè)總產(chǎn)值將超過20萬億元。

以本文模型的預(yù)測結(jié)果作為決策的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，可以了解建筑業(yè)的生產(chǎn)規(guī)模、發(fā)展速度、經(jīng)營成果，制定相應(yīng)的發(fā)展方案，使建筑業(yè)發(fā)展成為拉動國民經(jīng)濟(jì)快速增長的重要力量。

表2 2013年～2015年的建筑業(yè)總產(chǎn)值預(yù)測值 萬元

4 結(jié)語

本文以GM(1，1)為基礎(chǔ)，運(yùn)用正弦函數(shù)變換有效提高原始數(shù)據(jù)序列的光滑度。同時提出了具有計(jì)算量小、計(jì)算簡單、數(shù)字穩(wěn)定性好的基于Lagrange插值的背景值的計(jì)算方法。分別從原始數(shù)據(jù)和背景值兩方面進(jìn)行改進(jìn)，擴(kuò)大了GM(1，1)的適應(yīng)性。將優(yōu)化后的模型使用在建筑業(yè)總產(chǎn)值預(yù)測中，取得了很好的預(yù)測效果。建筑業(yè)總產(chǎn)值預(yù)測給國家制訂經(jīng)濟(jì)建設(shè)計(jì)劃提供依據(jù)，便于合理制定建筑業(yè)發(fā)展目標(biāo)，拉動國民經(jīng)濟(jì)快速增長，具有一定的實(shí)用性。

［1］溫春紅.淺談中國建筑業(yè)經(jīng)濟(jì)增長影響因素［J］.科學(xué)與財(cái)富，2014(1):185.

［2］陳濤捷.灰色預(yù)測模型的一種拓廣［J］.系統(tǒng)工程，1990，8(7):50-52.

［3］聶 艷，周 勇.基于拓廣的GM(1，1)的土地變化情景研究［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2007，37(3):10-11.

［4］戴文戰(zhàn)，李俊峰.基于函數(shù)x－a的GM(1，1)模型及在我國農(nóng)村人均住房面積建模中的應(yīng)用［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2004，11(11):63-67.

［5］唐萬梅，向長合.基于二次插值的GM(1，1)模型預(yù)測方法的改進(jìn)［J］.中國管理科學(xué)，2006，14(6):109-112.

［6］劉 琦，袁鵬翔，高 沖.基于二次插值組合灰色預(yù)測模型的房價(jià)預(yù)測［J］.現(xiàn)代商業(yè)，2011(29):186-187.

［7］曹 昶，樊重俊.基于正弦函數(shù)變換的灰色預(yù)測模型研究及其應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)雜志，2013，33(4):697-701.