土力學中關于土的強度理論的計算分析

許多文

(武威職業學院，甘肅武威 733000)

土力學中關于土的強度理論涉及三個方面的問題:土中一點的應力計算，土的極限平衡狀態和極限平衡條件。很多的資料和參考書中，直接給定了應力計算結果的解析表達式，而對于其得出的過程鮮有推導。對于土的極限平衡條件，根據圖解法中的相切關系，求解主應力之間的逆向關系式也是省略的。所以，如何更加完整又準確的詮釋土力學中一點的應力狀態及其推導過程，如何運用微元思想與數學工具采取定性描述與定量表達相結合的數學模型來求解，及極限平衡條件下的逆向主應力求解和判斷技巧都是亟需補充與解決的問題。

1 土中一點的應力狀態

1.1 解析法

材料力學中，設從受力物體內某點取出一單元體，它的前后兩個面上的應力等于零，其他兩對互相垂直的面上分別作用著已知的應力，即在X截面(外法線與X軸平行的截面)上作用著應力σx，τx，在Y截面(外法線與 Y軸平行的截面)上作用著應力 σy，τy。這些應力均與XY平面相平行。這種應力狀態一般為平面應力狀態。為了方便起見，將該單元體用平面圖表示，如圖1a)所示。應力的符號規定為，正應力以拉應力為正而壓應力為負，切應力以對單元體內任一點順時針轉為正，反之為負。在圖1a)中的 σx，σy，τx皆為正值，而 τy為負值，并且根據切應力互等定理有τx= － τy。

現在研究與單元體前后兩面垂直的斜截面ef，ef截面的外法線n和x軸的夾角為α，以后稱此截面為α截面，并規定α角由x軸逆時針轉到n時為正。用ef截面將單元體截開，并取efb部分來研究其平衡見圖1b)。α截面上的應力用σα和τα表示，并均設為正值。ef截面的面積用dA表示，則eb和bf截面的面積分別為dAcosα和dAsinα。取n和t為參考坐標軸見圖1b)，寫出平衡方程:

圖1 應力平面數力分析圖

由此可得:

根據切應力互等定理可知，τx和τy數值相等;又由三角公式可知:

將上述關系式代入式(1)和式(2)，于是得:

以上兩式為平面應力狀態下斜截面上應力表達的一般公式。應力公式應用時，要注意應力及其斜面方位角的正負。此方法為解析法。

1.2 圖解法

平面應力狀態下，除了用解析表達式(3)和式(4)來確定斜截面上應力σα和τα，還可以用解析法演變而來的圖解法求解。其推導過程如下:

式(3)變形得:

此圓即為應力圓或莫爾圓。單元體的任一截面上的應力與應力圓上的點坐標存在一一對應的關系。在土力學中，假設某面積為dxdz的一土體單元，作用著大小主應力σ1和σ3，見圖2b)，則在土體內與大主應力σ1作用平面成任意角α的平面上的正應力σα和τα可以用τ—σ坐標系中直徑為(σ1－σ3)的應力圓上的一點(逆時針旋轉2α，見圖2a)中的A點)的坐標來表示。

式(5)左、右兩邊平方加上式(4)左、右兩邊平方，得:

圖2 應力圓與庫侖強度線關系圖

故求解中，對照于式(6)，相對于在土力學中 τx=0，σ1=σy，σ3= σx，得:

2 土的極限平衡狀態

如果把代表土中某點應力狀態的莫爾應力圓，與該土的庫侖強度線畫在同一個τ—σ坐標圖中，根據圖形之間的相對位置關系，共有三種狀態:相切，相離和相割。相切是表明該點處于極限平衡狀態，見圖3。相離是指莫爾應力圓位于庫侖強度線的下方，說明通過該點任意平面上的剪應力都小于土的抗剪強度，因此不會發生剪切破壞。相割實際上是不復存在，因為該點土體已經被破壞。

圖3 極限平衡狀態判斷圖

3 土的極限平衡條件

3.1 推導過程

對照于圖3中，根據極限應力圓與強度線相切于A點的幾何關系，將抗剪強度線延長與σ軸相交于B點，由直角三角形ABO1可知:

由此得:

化簡并通過三角函數間的變換(萬能公式、和差角公式)從而得到土的極限平衡條件時主應力之間的關系表達式:

由直角三角形ABO1內角與外角的關系可得:

3.2 極限平衡狀態判斷

極限平衡狀態判斷中，已知條件給出了土樣內摩擦角φ和粘聚力c，大主應力σ1和小主應力σ3，此時是否達到極限平衡狀態，判斷見圖 3。由 σ1→σ3f時，比較若得 σ3f＜ σ3，則有半徑，故該土樣未達到極限平衡狀態;反之，則發生了剪切破壞。由 σ3→σ1f時，比較若得 σ1＜σ1f，則有半徑，故該土樣未達到極限平衡狀態;反之，則發生了剪切破壞。

4 結語

土力學中某點的應力狀態其計算值理論仍溯源到材料力學中平面應力狀態的求解，待分析土體中任一點的主應力方向與之相反，但計算原理一致，并且解析法是計算的基礎，圖解法為外在圖形表達，所以力學分析的思想是一脈相承的。土的極限平衡狀態是從庫侖強度線與莫爾應力圓的圖形位置關系上來判定，直觀明了。根據最大、最小主應力及土體的抗剪強度指標來判斷土的極限平衡條件，實為逆向求解的過程。整個土的強度理論的計算過程充分運用了數學工具的微元體思想、萬能公式及和差角公式等，對于相關的土力學理論學習有很好的借鑒意義。

［1］董建國，沈錫英，鐘才根.土力學與地基基礎［M］.上海:同濟大學出版社，2011:138-141.

［2］付紅梅.土力學與地基基礎［M］.西安:西安交通大學出版社，2011:74-75.

［3］蘇振超，張麗娜.建筑力學［M］.西安:西安交通大學出版社，2012:393-397.