圖像函數在發動機輪盤動力學模型校準中的簡單應用

萬俊丹++何遺非++聶磊

摘 要：研究表明，模態振型的圖像函數可以有效的描述結構的振動特征，并可應用于結構動力學模型的設計與改進。本文將探討圖像函數-Zernike矩（以下簡稱Z矩）在結構動力學模型校準中的應用，通過某型彈用發動機輪盤的動力學模型校準，驗證了基于Z圖像函數用于實際結構的動力學模型設計與改進的實際應用是可行性。

關鍵詞：圖像函數 動力學 模型校準

中圖分類號：V231.9 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（c）-0082-02

1 基于圖像函數的模型校準方法

基于圖像函數的模型校準方法的研究剛剛起步，尚有許多的新方法有待研究與發現。本節介紹了基于圖像函數的靈敏度的模型校準方法，推導了圖像函數的靈敏度公式，并給出了修正參數的估計方法。

1.1 模態振型的圖像函數的靈敏度

模態振型的描述符對結構參數的靈敏度可以表示為：

（1）

這里，是待修正的結構參數。

連續模態振型函數可以表示為單元型函數和模態特征向量的線性組合：

（2）

可得

（3）

由此可知，模態振型圖像函數的靈敏度可以通過計算單元形函數的特征矩與特征向量的靈敏度之積來獲得。

此外，前向差分法也可以用來計算圖像函數靈敏度，該方法簡單易行，但須選擇適宜的步長。

1.2 修正參數估計

與基于靈敏度的修正方法類似，在獲得響應對修正參數的靈敏度后，可以利用靈敏度與Z特征矩殘差來估計下次迭代的參數：

（4）

其中，是模態振型圖像函數的靈敏度，為測試模態振型函數的特征矩，為第j次迭代的仿真的模態振型特征矩。

在利用圖像函數進行修正時，可以選擇模態振型的主要特征矩作為響應目標，否則修正過程易發散。

2 Z矩在發動機輪盤的動力學模型校準中的應用

本文利用基于圖像函數的模型校準的方法，利用試驗數據對某型彈用發動機輪盤進行模型校準。由于測試數據中包含了較大的噪聲（尤其是高頻模態），故將固有頻率和模態振型的Z特征矩同時作為修正對象。

由相關性分析結果可知，第3～5、8和9階模態對的固有頻率誤差很大（均高于10%）。經分析，這幾階模態均包含輪盤的節圓振動（傘形振動），而節圓振動的主要區域在輪盤的內孔和中間薄壁處，可能是這些區域存在誤差導致了頻率差異過大；此外，考慮到測繪過程中倒角等部位測量的不夠準確，也是模型中可能的誤差源。最終，確定了3個區域進行修正，分別為輪盤內孔、薄壁和薄壁與輪緣間的倒角部分。各修正區域如圖1所示，修正參數選擇彈性模量，分別為P1～P3。

修正的目標為前13階試驗頻率及其對應模態振型的Z特征主矩，共80個響應。采用基于靈敏度的迭代法進行修正，采用本中所給方法分別計算頻率及圖像函數的靈敏度。修正過程中固有頻率誤差及參數的變化如圖2所示。

可以看到，迭代9次后，參數收斂。各階模態的頻率誤差均下降，有限元預測結果與試驗數據之間的誤差被大大減小。值得注意的是，薄壁與輪緣的倒角處的剛度降低了將近80%，說明在有限元建模過程中，該處的建模誤差較大。

圖3中比較了修正前后的頻率誤差，可以看到，經過修正，第3～5和第8、9階模態的固有頻率誤差明顯減小，各模態的最大頻率誤差也由17.5%降1.74%，這說明通過修正有效的減小了有限元模型與實際結構的差異。

修正前后的頻率誤差、MAC的變化如表1所示。

可以看到，修正后第1、4、5階模態的MAC值明顯變大，均上升至90%以上，這是由于利用Z矩進行修正，縮小了模態對之間的轉角。

表2比較了是否考慮模態振型的Z圖像函數的修正結果（取MAC>70%的前10階模態對）。

由表2可知，兩種情況下，修正后的固有頻率誤差均降至2%以內，達到了很好的修正效果；考慮輪盤模態振型的Z矩后，修正后的MAC值高于僅修正固有頻率的結果，這是因為基于圖像函數的模型校準考慮了模態振型的影響，從而使模態振型得到了有效的改善。

綜上所述，利用結合固有頻率和Z矩進行模型校準，可以有效的改善發動機輪盤動力學模型與實際結構的差異，使修正后的模型可以很好的反映結構的振動特性；考慮模態振型的Z矩后，使修正后試驗/有限元的MAC值得到了提高。可見，利用圖像函數進行模型校準是完全可行的，且具有一定優越性。

3 結論

本文對基于圖像函數的模型校準的方法的可行性進行了探討與研究。通過本文的研究，成功將Zernike矩應用于某型彈用發動機輪盤的模型校準之中。修正后，輪盤的固有頻率誤差降至2%以內，前10階模態振型的MAC值均高于0.8。此外，考慮模態振型的Z矩，修正后試驗/有限元的MAC值較僅采用固有頻率進行修正得到了提高?？梢?，將圖像函數應用于實際結構的模型校準是可行的，可以使修正后的模型更準確的反映結構的動力學特性。

參考文獻

[1] 劉銀超.矩函數在結構動力學模型確認中的應用[D].南京航空航天大學，2012.

[2] 樊征兵.考慮不確定性因素的結構動力學分析技術研究[D].南京航空航天大學，2012.

[3] 林賢響.機床結構動力學建模及動態特性分析技術的研究[D].浙江工業大學 2012.endprint

摘 要：研究表明，模態振型的圖像函數可以有效的描述結構的振動特征，并可應用于結構動力學模型的設計與改進。本文將探討圖像函數-Zernike矩（以下簡稱Z矩）在結構動力學模型校準中的應用，通過某型彈用發動機輪盤的動力學模型校準，驗證了基于Z圖像函數用于實際結構的動力學模型設計與改進的實際應用是可行性。

關鍵詞：圖像函數 動力學 模型校準

中圖分類號：V231.9 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（c）-0082-02

1 基于圖像函數的模型校準方法

基于圖像函數的模型校準方法的研究剛剛起步，尚有許多的新方法有待研究與發現。本節介紹了基于圖像函數的靈敏度的模型校準方法，推導了圖像函數的靈敏度公式，并給出了修正參數的估計方法。

1.1 模態振型的圖像函數的靈敏度

模態振型的描述符對結構參數的靈敏度可以表示為：

（1）

這里，是待修正的結構參數。

連續模態振型函數可以表示為單元型函數和模態特征向量的線性組合：

（2）

可得

（3）

由此可知，模態振型圖像函數的靈敏度可以通過計算單元形函數的特征矩與特征向量的靈敏度之積來獲得。

此外，前向差分法也可以用來計算圖像函數靈敏度，該方法簡單易行，但須選擇適宜的步長。

1.2 修正參數估計

與基于靈敏度的修正方法類似，在獲得響應對修正參數的靈敏度后，可以利用靈敏度與Z特征矩殘差來估計下次迭代的參數：

（4）

其中，是模態振型圖像函數的靈敏度，為測試模態振型函數的特征矩，為第j次迭代的仿真的模態振型特征矩。

在利用圖像函數進行修正時，可以選擇模態振型的主要特征矩作為響應目標，否則修正過程易發散。

2 Z矩在發動機輪盤的動力學模型校準中的應用

本文利用基于圖像函數的模型校準的方法，利用試驗數據對某型彈用發動機輪盤進行模型校準。由于測試數據中包含了較大的噪聲（尤其是高頻模態），故將固有頻率和模態振型的Z特征矩同時作為修正對象。

由相關性分析結果可知，第3～5、8和9階模態對的固有頻率誤差很大（均高于10%）。經分析，這幾階模態均包含輪盤的節圓振動（傘形振動），而節圓振動的主要區域在輪盤的內孔和中間薄壁處，可能是這些區域存在誤差導致了頻率差異過大；此外，考慮到測繪過程中倒角等部位測量的不夠準確，也是模型中可能的誤差源。最終，確定了3個區域進行修正，分別為輪盤內孔、薄壁和薄壁與輪緣間的倒角部分。各修正區域如圖1所示，修正參數選擇彈性模量，分別為P1～P3。

修正的目標為前13階試驗頻率及其對應模態振型的Z特征主矩，共80個響應。采用基于靈敏度的迭代法進行修正，采用本中所給方法分別計算頻率及圖像函數的靈敏度。修正過程中固有頻率誤差及參數的變化如圖2所示。

可以看到，迭代9次后，參數收斂。各階模態的頻率誤差均下降，有限元預測結果與試驗數據之間的誤差被大大減小。值得注意的是，薄壁與輪緣的倒角處的剛度降低了將近80%，說明在有限元建模過程中，該處的建模誤差較大。

圖3中比較了修正前后的頻率誤差，可以看到，經過修正，第3～5和第8、9階模態的固有頻率誤差明顯減小，各模態的最大頻率誤差也由17.5%降1.74%，這說明通過修正有效的減小了有限元模型與實際結構的差異。

修正前后的頻率誤差、MAC的變化如表1所示。

可以看到，修正后第1、4、5階模態的MAC值明顯變大，均上升至90%以上，這是由于利用Z矩進行修正，縮小了模態對之間的轉角。

表2比較了是否考慮模態振型的Z圖像函數的修正結果（取MAC>70%的前10階模態對）。

由表2可知，兩種情況下，修正后的固有頻率誤差均降至2%以內，達到了很好的修正效果；考慮輪盤模態振型的Z矩后，修正后的MAC值高于僅修正固有頻率的結果，這是因為基于圖像函數的模型校準考慮了模態振型的影響，從而使模態振型得到了有效的改善。

綜上所述，利用結合固有頻率和Z矩進行模型校準，可以有效的改善發動機輪盤動力學模型與實際結構的差異，使修正后的模型可以很好的反映結構的振動特性；考慮模態振型的Z矩后，使修正后試驗/有限元的MAC值得到了提高?？梢姡脠D像函數進行模型校準是完全可行的，且具有一定優越性。

3 結論

本文對基于圖像函數的模型校準的方法的可行性進行了探討與研究。通過本文的研究，成功將Zernike矩應用于某型彈用發動機輪盤的模型校準之中。修正后，輪盤的固有頻率誤差降至2%以內，前10階模態振型的MAC值均高于0.8。此外，考慮模態振型的Z矩，修正后試驗/有限元的MAC值較僅采用固有頻率進行修正得到了提高?？梢姡瑢D像函數應用于實際結構的模型校準是可行的，可以使修正后的模型更準確的反映結構的動力學特性。

參考文獻

[1] 劉銀超.矩函數在結構動力學模型確認中的應用[D].南京航空航天大學，2012.

[2] 樊征兵.考慮不確定性因素的結構動力學分析技術研究[D].南京航空航天大學，2012.

[3] 林賢響.機床結構動力學建模及動態特性分析技術的研究[D].浙江工業大學 2012.endprint

摘 要：研究表明，模態振型的圖像函數可以有效的描述結構的振動特征，并可應用于結構動力學模型的設計與改進。本文將探討圖像函數-Zernike矩（以下簡稱Z矩）在結構動力學模型校準中的應用，通過某型彈用發動機輪盤的動力學模型校準，驗證了基于Z圖像函數用于實際結構的動力學模型設計與改進的實際應用是可行性。

關鍵詞：圖像函數 動力學 模型校準

中圖分類號：V231.9 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（c）-0082-02

1 基于圖像函數的模型校準方法

基于圖像函數的模型校準方法的研究剛剛起步，尚有許多的新方法有待研究與發現。本節介紹了基于圖像函數的靈敏度的模型校準方法，推導了圖像函數的靈敏度公式，并給出了修正參數的估計方法。

1.1 模態振型的圖像函數的靈敏度

模態振型的描述符對結構參數的靈敏度可以表示為：

（1）

這里，是待修正的結構參數。

連續模態振型函數可以表示為單元型函數和模態特征向量的線性組合：

（2）

可得

（3）

由此可知，模態振型圖像函數的靈敏度可以通過計算單元形函數的特征矩與特征向量的靈敏度之積來獲得。

此外，前向差分法也可以用來計算圖像函數靈敏度，該方法簡單易行，但須選擇適宜的步長。

1.2 修正參數估計

與基于靈敏度的修正方法類似，在獲得響應對修正參數的靈敏度后，可以利用靈敏度與Z特征矩殘差來估計下次迭代的參數：

（4）

其中，是模態振型圖像函數的靈敏度，為測試模態振型函數的特征矩，為第j次迭代的仿真的模態振型特征矩。

在利用圖像函數進行修正時，可以選擇模態振型的主要特征矩作為響應目標，否則修正過程易發散。

2 Z矩在發動機輪盤的動力學模型校準中的應用

本文利用基于圖像函數的模型校準的方法，利用試驗數據對某型彈用發動機輪盤進行模型校準。由于測試數據中包含了較大的噪聲（尤其是高頻模態），故將固有頻率和模態振型的Z特征矩同時作為修正對象。

由相關性分析結果可知，第3～5、8和9階模態對的固有頻率誤差很大（均高于10%）。經分析，這幾階模態均包含輪盤的節圓振動（傘形振動），而節圓振動的主要區域在輪盤的內孔和中間薄壁處，可能是這些區域存在誤差導致了頻率差異過大；此外，考慮到測繪過程中倒角等部位測量的不夠準確，也是模型中可能的誤差源。最終，確定了3個區域進行修正，分別為輪盤內孔、薄壁和薄壁與輪緣間的倒角部分。各修正區域如圖1所示，修正參數選擇彈性模量，分別為P1～P3。

修正的目標為前13階試驗頻率及其對應模態振型的Z特征主矩，共80個響應。采用基于靈敏度的迭代法進行修正，采用本中所給方法分別計算頻率及圖像函數的靈敏度。修正過程中固有頻率誤差及參數的變化如圖2所示。

可以看到，迭代9次后，參數收斂。各階模態的頻率誤差均下降，有限元預測結果與試驗數據之間的誤差被大大減小。值得注意的是，薄壁與輪緣的倒角處的剛度降低了將近80%，說明在有限元建模過程中，該處的建模誤差較大。

圖3中比較了修正前后的頻率誤差，可以看到，經過修正，第3～5和第8、9階模態的固有頻率誤差明顯減小，各模態的最大頻率誤差也由17.5%降1.74%，這說明通過修正有效的減小了有限元模型與實際結構的差異。

修正前后的頻率誤差、MAC的變化如表1所示。

可以看到，修正后第1、4、5階模態的MAC值明顯變大，均上升至90%以上，這是由于利用Z矩進行修正，縮小了模態對之間的轉角。

表2比較了是否考慮模態振型的Z圖像函數的修正結果（取MAC>70%的前10階模態對）。

由表2可知，兩種情況下，修正后的固有頻率誤差均降至2%以內，達到了很好的修正效果；考慮輪盤模態振型的Z矩后，修正后的MAC值高于僅修正固有頻率的結果，這是因為基于圖像函數的模型校準考慮了模態振型的影響，從而使模態振型得到了有效的改善。

綜上所述，利用結合固有頻率和Z矩進行模型校準，可以有效的改善發動機輪盤動力學模型與實際結構的差異，使修正后的模型可以很好的反映結構的振動特性；考慮模態振型的Z矩后，使修正后試驗/有限元的MAC值得到了提高?？梢?，利用圖像函數進行模型校準是完全可行的，且具有一定優越性。

3 結論

本文對基于圖像函數的模型校準的方法的可行性進行了探討與研究。通過本文的研究，成功將Zernike矩應用于某型彈用發動機輪盤的模型校準之中。修正后，輪盤的固有頻率誤差降至2%以內，前10階模態振型的MAC值均高于0.8。此外，考慮模態振型的Z矩，修正后試驗/有限元的MAC值較僅采用固有頻率進行修正得到了提高?？梢?，將圖像函數應用于實際結構的模型校準是可行的，可以使修正后的模型更準確的反映結構的動力學特性。

參考文獻

[1] 劉銀超.矩函數在結構動力學模型確認中的應用[D].南京航空航天大學，2012.

[2] 樊征兵.考慮不確定性因素的結構動力學分析技術研究[D].南京航空航天大學，2012.

[3] 林賢響.機床結構動力學建模及動態特性分析技術的研究[D].浙江工業大學 2012.endprint