圍道積分在物理學中的應用

陸宇威 劉景鋒

摘 要：在數學物理方法中，圍道積分是計算一些實變及復變函數積分的重要方法。本文應用圍道積分推導色散關系式及處理原子自發輻射的動力學演化問題，從而讓學生認識到，圍道積分是后面處理重要物理問題的有力工具，進而激發學生的學習興趣。

關鍵詞：圍道積分 色散關系 自發輻射

中圖分類號：O4 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）06（a）-0249-03

圍道積分的計算涉及留數定理、多值函數等內容。在學習數學物理方法過程中，從圍道積分的介紹、推導到應用計算，往往都是純數學的，強調了其數學性質而忽視了物理應用，這不僅容易使學生失去學習興趣，而且偏離了開設這門課程的目的。為此，我們在實際教學過程中改進常規的教學方式，給學生展示圍道積分在處理物理學問題上的應用，在這個過程中既強調數學推導，又強調其物理應用，最后還訓練了學生的應用計算和數值仿真能力，因而在教學中取得了很好的反響和教學效果。本文將針對目前物理學中的幾個研究熱點展開討論。

1 光學微腔中及光學色散中的希爾伯特變換

一個因果物理系統的系統函數的實部與虛部之間滿足希爾伯特變換對[1]：

（1）

這一對關系式在物理上有著廣泛應用稱為色散關系[2]，現結合具體例子，應用圍道積分解決實際問題。

當輻射子處在泄漏微腔中時，腔內的局域態密度可以由洛倫茲函數來描述[3]，如（2）式，其能級移動可表示為（3）式，下面應用圍道積分來證明它們滿足色散關系。

（2）

（3）

因為在實軸上有單極點，我們以為圓心，以充分小的正數ε為半徑作圓弧繞過ω，構成積分回路如圖1所示。

容易解出另外兩個單極點（去掉，因為其虛部小于零不在圍道內）和。記，應用留數定理，有：

（4）

當左邊積分值為，而右邊第一、第二項為所求積分，第三項為零，第四項為，即（4）可化簡為：

（5）

于是：

（6）

同樣地，應用留數定理，可算得：

（7）

模擬出這兩個函數的圖像如圖2所示，相關物理意義見參考文獻[3]。

2 輻射子自發輻射衰減動力學

輻射子自發輻射衰減動力學方程滿足下式[3]：

（8）

令，可得：

（9）

設其三個根分別為。為了便于推導，假設所有根都有物理意義。同時考慮的多值特性，在應用留數定理進行計算時選取幅角為到的一個黎曼面，構成積分回路如圖3所示，枝點為，虛線為枝切線（）。

把（9）式寫成留數的貢獻減去枝切（）的貢獻為：

（10）

令，，則，容易得到積分留數值為：

（11）

令，再令來計算枝切的貢獻，最后得：

（12）

結合（10）（11）和（12），得：

（13）

設置好參數，模擬出圖像如圖4所示，相關物理意義見參考文獻[3]。

3 光子晶體自發輻射的非旋波近似處理

用非旋波近似方法處理光子晶體自發輻射過程得到如下的演化公式[4]

（14）

其中

（15）

令，易知有五個零點，設符合要求的零點的集合為，同時考慮的多值特性，在計算時選取幅角為到的一個黎曼面，構成積分回路如圖5所示。

仿照（10），把（14）寫成留數的貢獻減去枝切的貢獻：

（16）

令，，，，，

（16）變為：