極限的一種新的證明方法

趙馨 石琳 翟麗麗

摘 要：一般的微積分教材均利用三角形和扇形的面積不等式關(guān)系證明上述極限，本文利用圓內(nèi)接三角形面積的計算，得到證明極限的一種新方法。

關(guān)鍵詞：重要極限 圓內(nèi)接三角形

中圖分類號：O171 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）03（a）-0238-01

A New Proof of the Limit

Zhao Xin Shi Lin Zhai Lili

（Inner Mongolia University of Science & Technology College of Science and Biological-engineering，Baotou Inner Mongolia 014010，China）

Abstract：In General calculus textbook triangle and fan-shaped area of inequality relations certify that the above limit， using the circle inscribed triangle area calculation，this paper get a new proof of the limits of .

Key Words：Important limit；Circle Inscribed Triangle

1 引言

兩個重要極限是高等數(shù)學(xué)極限理論中的經(jīng)典內(nèi)容，而第一個重要極限又是微積分極限理論中非常重要內(nèi)容，其極限的證明，現(xiàn)行教材通常采用在單位圓中利用面積關(guān)系構(gòu)造不等式，再用夾逼準(zhǔn)則證明得到結(jié)論。用極限理論計算圓或扇形面積都涉及到的結(jié)論的運用，或者是用洛比達法則證明極限要利用導(dǎo)數(shù)公式，而這個公式恰是利用了，因此，這些利用三角形和扇形的面積不等式關(guān)系證明極限方法有所不妥；現(xiàn)在我們給出一種新的證明方法。

2 證明

在單位圓內(nèi)用圓心角平均分圓，做出圓的一個內(nèi)接多邊形，并將多邊形的頂點與圓心相連，得到一些等腰三角形.如果為正整數(shù)，就可以得到個內(nèi)接三角形，其中個三角形的圓心角均為；否則記，此時，可以得到個圓內(nèi)接三角形，其中個三角形的圓心角均為，剩下的一個內(nèi)接三角形的圓心角為：

由于當(dāng)時即為為正整數(shù)的這種情況，我們可以將第一種情況看為第二種情況的一個特例，故只要考慮第二種情況即可.現(xiàn)在來計算圓內(nèi)接所有三角形的面積之和：

對于上式，為有界量，令時有，此時：

且當(dāng)時，圓內(nèi)接所有三角形的圓心角均趨于零，即，此時由極限的基本思想可以知道，故有：

即

若令，則有：

由于函數(shù)為偶函數(shù)，故有，即：

而一個表達式的極限與自變量的記號無關(guān)，可以證明極限：

.

參考文獻

[1] M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1979：135.

[2] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（六版）[M].北京：高等教育出版社，2007：74.

[3] 歐新元，李海英.由一個重要極限引發(fā)的問題[J].沈陽師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2005，23（1）：27-29.

[4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1980：42.

[5] 趙明.關(guān)于重要極限的推證及應(yīng)用[J].張家口職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2008，31（3）：23-25.

[6] 紀(jì)東剛.數(shù)學(xué)分析[M].華東師范大學(xué)出版社，2002：84-87.

[7] 龔懷玉，等.數(shù)學(xué)分析[M].西安交通大學(xué)出版社，2001：48-53.

[8] 王延源.對一個重要極限的注記[J].臨沂師范學(xué)院學(xué)2001，23（6）：10-11.

[9] 烏云敖日格樂.一個極限公式的四個推廣命題[J].中國科教創(chuàng)刊，2008（24）：77-77.