基于壓縮感知的圖像去噪的綜述
2014-11-05 09:37:17張麗娟紀(jì)峰
電子技術(shù)與軟件工程 2014年18期
張麗娟 紀(jì)峰
摘 要
壓縮感知是近年來(lái)新興的一門(mén)數(shù)據(jù)采樣技術(shù)，其主要思想就是利用較少的采樣數(shù)據(jù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)恢復(fù)。壓縮感知顛覆了傳統(tǒng)的信號(hào)采樣方法，它采用信號(hào)的稀疏表示法來(lái)保證原始信號(hào)的主要結(jié)構(gòu)，再通過(guò)重構(gòu)算法對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行精確重構(gòu)。本文將對(duì)圖像去噪運(yùn)用壓縮感知理論，利用壓縮感知的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)含噪圖像進(jìn)行稀疏表示，再采用不同的重構(gòu)算法對(duì)原始圖像進(jìn)行恢復(fù)，從而完成噪聲的去除。
【關(guān)鍵詞】壓縮感知 重構(gòu)算法 圖像去噪 稀疏表示
1 圖像去噪介紹
1.1 圖像去噪意義
圖像去噪結(jié)合了信號(hào)處理、傳感器、人工智能和計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代高科技技術(shù)，其原理是：將獲得和輸入過(guò)程中受到各種噪聲污染的圖像，利用有關(guān)計(jì)算機(jī)的一定算法去除噪聲并且盡可能多的保留原始圖像主要特征，更重要的是保護(hù)邊緣和細(xì)節(jié)信息，輸出一幅更適合于人眼觀察或計(jì)算機(jī)能夠進(jìn)一步研究的去噪圖像。去噪后的圖像可信度更高，圖像更清晰，更適合人眼檢測(cè)和計(jì)算機(jī)識(shí)別，分析。目前圖像去噪技術(shù)在遙感圖像、自動(dòng)識(shí)別、醫(yī)學(xué)圖像處理、計(jì)算機(jī)視覺(jué)等更多領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。
1.2 圖像去噪的研究現(xiàn)狀
近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外對(duì)圖像去噪的研究算法有很多種，現(xiàn)在主要的方法是稀疏分解去噪方法，稀疏分解去噪原理是把帶噪信號(hào)在過(guò)完備原子庫(kù)上進(jìn)行稀疏表示，僅用若干個(gè)較大的表示系數(shù)重構(gòu)原信號(hào)，而屏蔽了部分小系數(shù)包含的噪聲成分，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的去噪。稀疏分解使信號(hào)更加簡(jiǎn)潔、自適應(yīng)的表示成若干基的線性組合，更加全面詳細(xì)地表示信號(hào)涵蓋的某些特征，更加有效地將信號(hào)和噪聲分離開(kāi)來(lái)。基于稀疏表示的圖像去噪方法是根據(jù)所研究對(duì)象是否為圖像的稀疏成分把圖像中的有用信息和噪聲進(jìn)行區(qū)分。圖像中的有用信息一般具有一定結(jié)構(gòu)，稀疏表示過(guò)程中選取的原子能夠表示這些特定結(jié)構(gòu)；然而圖像中的噪聲是隨機(jī)的，且沒(méi)有結(jié)構(gòu)的，因此無(wú)法用字典中的原子表示。這樣就可以將圖像與噪聲相區(qū)別，以達(dá)到去除噪聲的目的。
2 壓縮感知的理論
壓縮感知（CS）是一種利用信號(hào)的可壓縮性或者稀疏性對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)的技術(shù)。壓縮感知的優(yōu)勢(shì)是降低了采樣率，直接獲得稀疏的信號(hào)表示，大大縮減了數(shù)據(jù)信息的獲取時(shí)間和存儲(chǔ)空間。圖1給出了壓縮感知的理論過(guò)程。
壓縮感知包括三個(gè)方面：
2.1 信號(hào)的稀疏表示
文獻(xiàn)[10]給出了稀疏表示的數(shù)學(xué)定義：信號(hào)X在正交基Ψ下的變換系數(shù)向量為Θ=ΨTX，假如對(duì)于0
如何找到信號(hào)最合適的稀疏系數(shù)向量？這是壓縮感知理論的基本和前提，只有找到最佳的基表示，才能確保信號(hào)的稀疏度，從而確保信號(hào)的恢復(fù)精度。而信號(hào)的稀疏化是由稀疏系數(shù) 的衰減速度決定的，衰減的越快表示信號(hào)的稀疏性越好，其滿足以下式子：
其中r=1/p – 1/2，0 除了標(biāo)準(zhǔn)正交基之外，冗余字典法是現(xiàn)在研究的另外一個(gè)熱點(diǎn)。它是由一組正交基構(gòu)成的超完備的冗余字典，該方法能夠稀疏的表示信號(hào)。如何構(gòu)造一組最佳的某類信號(hào)的正交基，以求得信號(hào)的最稀疏表示，有利于進(jìn)一步研究。 2.2 觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)觀測(cè)矩陣在壓縮感知理論中起著至關(guān)重要的作用，如何設(shè)計(jì)測(cè)量矩陣是壓縮感知中的一個(gè)難點(diǎn)。 信號(hào)的稀疏化是由稀疏系數(shù)t決定的。所以，選取一個(gè)大小為M×N（M< y= Φx （2.1） 而 ，則得 y= Φx=Φψt=Θt （2.2） 其中Φ為測(cè)量矩陣，大小為M×N。Θ=Φψ為M×N的矩陣，叫作投影矩陣，y被叫做t在投影矩陣下的測(cè)量值，大小為M×1，則壓縮感知的測(cè)量過(guò)程如圖2所示。 目前，如何設(shè)計(jì)觀測(cè)矩陣是壓縮感知理論的一個(gè)重要方面。在該理論中，對(duì)觀測(cè)矩陣的束縛是比較松弛的，Donoho給出了構(gòu)成觀測(cè)矩陣的三個(gè)條件，并指出大多數(shù)一致分布的隨機(jī)矩陣都具有這三個(gè)條件，都可作為觀測(cè)矩陣，如：部分Fourier集、部分Hadamard集、一致分布的隨機(jī)投影（uniform Random Projection）集等，這與RIP性質(zhì)進(jìn)行研究得出的結(jié)論相一致.但是，使用上述各種觀測(cè)矩陣進(jìn)行觀測(cè)后，都僅僅能保證以高概率去恢復(fù)信號(hào)，而不能完全地精確的重構(gòu)信號(hào)。對(duì)于任何一個(gè)穩(wěn)定的重構(gòu)算法是否存在一個(gè)真正的確定性的觀測(cè)矩陣仍是一個(gè)有待探討的問(wèn)題。 2.3 信號(hào)重構(gòu) 對(duì)于壓縮感知理論的信號(hào)重構(gòu)問(wèn)題，首先定義向量X={x1，x2，…xn}的p-范數(shù) （3.1） 當(dāng)p=0時(shí)得到0-范數(shù)，它表示的是x中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)。 因此，在信號(hào)x壓縮或稀疏的條件下，對(duì)欠定方程組Y= ΦΘ=ΦψTX的求解問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為最小0-范數(shù)問(wèn)題： s.t. Y= ΦΘ=ΦψTX （3.2） 但是，它需要找出X中所有非零項(xiàng)位置的 種可能的線性組合，才能求得最優(yōu)解。因此，式（3.2）數(shù)值計(jì)算的求解是很不穩(wěn)定的。所以，Chen，Donoho和Saunders提出，求解一個(gè)更加簡(jiǎn)易的l1優(yōu)化問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生同樣的解（要求Φ與Ψ不相關(guān)）： s.t. Y= ΦΘ=ΦΨTX （3.3） 細(xì)微的差別就將問(wèn)題變成了一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題，于是可以化簡(jiǎn)為線性規(guī)劃問(wèn)題。而基于1-范數(shù)的重構(gòu)經(jīng)典算法有內(nèi)點(diǎn)法（Basis Pursuit，BP）和梯度投影法（Gradient Projection for Sparse Reconstruction，GPSR）。由于1-范數(shù)下的算法速率慢，因此，新的快速貪婪算法被逐漸使用，如匹配追蹤法（MP）、正交匹配追蹤算法（OMP）、壓縮采樣匹配追蹤算法（CoSaMP）、正則正交匹配追蹤法（ROMP）和迭代閾值（IHT）等。
3 基于壓縮感知的去噪方法
與傳統(tǒng)的去噪方法相比，基于壓縮感知的去噪方法能夠充分發(fā)揮稀疏表示的優(yōu)點(diǎn)，靈活的適應(yīng)實(shí)際問(wèn)題，降低采樣率和數(shù)據(jù)處理的成本，獲取較好的去噪效果。
3.1 基于壓縮感知并運(yùn)用OMP算法的椒鹽去噪
椒鹽噪聲是圖像處理中一種十分常見(jiàn)的噪聲，其特點(diǎn)是噪聲點(diǎn)勻稱分散于整幅圖像，由于椒鹽噪聲只破壞了圖像結(jié)構(gòu)的一部分，其他大部分的圖像信息都是精確的，因此，可以充分利用這部分精確的數(shù)據(jù)，通過(guò)求解最優(yōu)化問(wèn)題，重構(gòu)原圖像。
在傳統(tǒng)去噪模型 subject to 下，提出了一種椒鹽噪聲檢測(cè)的采樣，利用階梯觀測(cè)矩陣良好的0稀疏定位能力，并利用OMP算法的低復(fù)雜性和穩(wěn)定性，來(lái)對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。
算法步驟：（1）已知原始含噪信號(hào)Z；（2）噪聲檢測(cè)采樣，構(gòu)造階梯觀測(cè)矩陣，首先檢測(cè)信號(hào)Z中噪聲的位置， 然后將對(duì)應(yīng)的行刪除作為階梯觀測(cè)矩陣ΦZ；（3）將DCT基作為稀疏變換基；（4）采用OMP算法進(jìn)行重構(gòu)。
椒鹽去噪算法流程圖如1：
3.2 基于壓縮感知并運(yùn)用K-SVD算法的圖像去噪
3.2.1 K-SVD算法
為了逼近的得到式（信號(hào)yi，最稀疏的解的表示xi和未知字典A），的解，訓(xùn)練一個(gè)字典A能夠稀疏表示數(shù)據(jù) 。初始化k=0，并且初始化字典：構(gòu)建 ，要么使用隨機(jī)的條目進(jìn)行計(jì)算，要么使用m隨機(jī)選擇的例子來(lái)進(jìn)行計(jì)算。標(biāo)準(zhǔn)化A0的數(shù)組。k每次增加1，然后開(kāi)始迭代，并最終得到結(jié)果A（k），此過(guò)程如圖3所示。
稀疏編碼階段：采用一個(gè)追求算法來(lái)逼近下式的解
s.t. （3.1）
得到了在1≤i≤M下的稀疏表示，它們構(gòu)成了矩陣X（k）。
更新階段：使用下面的步驟來(lái)更新字典的數(shù)組并得到A（k），j0=1，2，…，m對(duì) 重復(fù)以下步驟：
（1）定義使用原子aj0的例子的組合 （3.2）
（2）計(jì)算剩余矩陣，其中xj是矩陣X（k）的j列 （3.3）
（3）約束Ej0，使其選擇的數(shù)組與Ωj0相一致，并得到 ；
（4）應(yīng)用SVD分解，通過(guò) 來(lái)更新字典原子aj0=u1。
停止規(guī)則：如果 中的改變足夠的小，則停止，否則繼續(xù)迭代。
3.2.2 去噪算法步驟
（1）將零均值的高斯白噪聲加入原始的干凈圖像中；（2）對(duì)X進(jìn)行初始化，假設(shè)X=Y， D=DCT字典；使用OMP算法對(duì)每一小塊圖像求出近似解；（3）對(duì)字典進(jìn)行升級(jí)，用K-SVD算法找到最優(yōu)的D，并求出近似原始圖像的稀疏表示；（4）通過(guò)OMP算法重構(gòu)恢復(fù)出原始圖像，噪聲去除。
3.3 基于壓縮感知并運(yùn)用TV重建算法的圖像去噪
3.3.1 圖像去噪的基本原理
為了得到圖像去噪，首先將含有噪聲的圖像X進(jìn)行稀疏域變換（X+z）= ψs，式中z為加性噪聲。然后對(duì)變換后稀疏系數(shù)向量s進(jìn)行測(cè)量，即y=Φs。
3.3.2 TV重建算法
重建就是在滿足觀測(cè)值的基礎(chǔ)上尋找最稀疏解的過(guò)程：s.t Af=p 但是上式是個(gè)非凸優(yōu)化問(wèn)題，是一個(gè)典型的NP-hard問(wèn)題，不易求解。因此Candes和Donoho提出用1-范數(shù)l1來(lái)代替0-范數(shù)l0進(jìn)行求解。圖像重建問(wèn)題中，f代表離散化的圖像的灰度。這里，我們用fs，t表示圖像s行，第t列像素的灰度值，則圖像的TV可以表示為：
（3.5）
圖像的TV就是其梯度圖像的l1范數(shù)（一幅圖像的l1范數(shù)就是圖像中每個(gè)像素的值的絕對(duì)值之和）。在實(shí)際的TV范數(shù)計(jì)算中，式（3.5）對(duì)于求導(dǎo)運(yùn)算不太容易，大多采用l2范數(shù)來(lái)近似l1范數(shù)，并引進(jìn)一個(gè)正的較小的參數(shù)τ，以防對(duì)TV（f）求導(dǎo)后為無(wú)窮大。
（3.6）
式（3.6）對(duì)某個(gè)像素fs，t求導(dǎo)，得（3.7）式：
（3.7）
通過(guò)測(cè)量向量y來(lái)實(shí)現(xiàn)圖像X的重建和去噪，實(shí)現(xiàn)重建的一個(gè)重要前提是信號(hào)為稀疏的。圖像絕大多數(shù)是稀疏的，但是噪聲在常規(guī)域下是不稀疏的。通過(guò)壓縮感知理論對(duì)噪聲進(jìn)行稀疏變換，然后對(duì)變換后的系數(shù)進(jìn)行M維向量，使得多數(shù)噪聲已經(jīng)被去除，僅含有M維的噪聲向量。如果M值越小，將會(huì)有更多的噪聲信息被去除。通過(guò)對(duì)測(cè)量的M維噪聲向量進(jìn)行重建，去除混有的少量噪聲，同時(shí)可以精準(zhǔn)重建具有稀疏性的圖像，從而達(dá)到去除圖像中混有的噪聲。
3.3.3 去噪算法步驟
（1）對(duì)含有噪聲的圖像X進(jìn)行DCT變換，獲得變換后的稀疏系數(shù)s，表示為（X+z）=ψs。（2）構(gòu)造M× N維測(cè)量矩陣Φ，該測(cè)量矩陣Φ與稀疏基矩陣ψ是不相干的。然后，通過(guò)測(cè)量矩陣Φ實(shí)現(xiàn)對(duì)部分稀疏系數(shù)s的測(cè)量，獲得測(cè)量向量y，表示為y=Φs。（3）對(duì)測(cè)量向量y進(jìn)行TV重建算法來(lái)恢復(fù)圖像信號(hào)x'。
4 小結(jié)與研究展望
本文首先介紹了圖像去噪和壓縮感知的相關(guān)理論，并將壓縮感知運(yùn)用到圖像去噪中，基于壓縮感知，提出了三種去噪方法：基于壓縮感知并運(yùn)用OMP算法的椒鹽去噪；基于壓縮感知并運(yùn)用K-SVD算法的圖像去噪；基于壓縮感知并運(yùn)用TV重建算法的圖像去噪。壓縮感知壓縮感知的突出優(yōu)點(diǎn)是降低了采樣率，直接獲得稀疏的信號(hào)的表示，大大減少了數(shù)據(jù)信息的獲取時(shí)間以及存儲(chǔ)空間，以獲取較好的去噪效果。
壓縮感知在應(yīng)用于圖像去噪時(shí)，應(yīng)該將重建算法繼續(xù)加強(qiáng)改進(jìn)，另外可以將測(cè)量矩陣構(gòu)造和重建算法的構(gòu)建同時(shí)進(jìn)行改進(jìn)；同時(shí)壓縮感知中的觀測(cè)矩陣絕大多數(shù)是隨機(jī)矩陣，如何用一個(gè)穩(wěn)定的確定性的矩陣來(lái)得到觀測(cè)矩陣，以此來(lái)達(dá)到更好的去噪效果；此外壓縮感知是門(mén)新興的技術(shù)，如何進(jìn)一步的應(yīng)用到更多的領(lǐng)域也是以后要研究的問(wèn)題。
參考文獻(xiàn)
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作者簡(jiǎn)介
張麗娟（1991-），現(xiàn)就讀北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)閳D形圖像處理。
作者單位
北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 寧夏回族自治區(qū)銀川市 750000endprint
3 基于壓縮感知的去噪方法
與傳統(tǒng)的去噪方法相比，基于壓縮感知的去噪方法能夠充分發(fā)揮稀疏表示的優(yōu)點(diǎn)，靈活的適應(yīng)實(shí)際問(wèn)題，降低采樣率和數(shù)據(jù)處理的成本，獲取較好的去噪效果。
3.1 基于壓縮感知并運(yùn)用OMP算法的椒鹽去噪
椒鹽噪聲是圖像處理中一種十分常見(jiàn)的噪聲，其特點(diǎn)是噪聲點(diǎn)勻稱分散于整幅圖像，由于椒鹽噪聲只破壞了圖像結(jié)構(gòu)的一部分，其他大部分的圖像信息都是精確的，因此，可以充分利用這部分精確的數(shù)據(jù)，通過(guò)求解最優(yōu)化問(wèn)題，重構(gòu)原圖像。
在傳統(tǒng)去噪模型 subject to 下，提出了一種椒鹽噪聲檢測(cè)的采樣，利用階梯觀測(cè)矩陣良好的0稀疏定位能力，并利用OMP算法的低復(fù)雜性和穩(wěn)定性，來(lái)對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。
算法步驟：（1）已知原始含噪信號(hào)Z；（2）噪聲檢測(cè)采樣，構(gòu)造階梯觀測(cè)矩陣，首先檢測(cè)信號(hào)Z中噪聲的位置， 然后將對(duì)應(yīng)的行刪除作為階梯觀測(cè)矩陣ΦZ；（3）將DCT基作為稀疏變換基；（4）采用OMP算法進(jìn)行重構(gòu)。
椒鹽去噪算法流程圖如1：
3.2 基于壓縮感知并運(yùn)用K-SVD算法的圖像去噪
3.2.1 K-SVD算法
為了逼近的得到式（信號(hào)yi，最稀疏的解的表示xi和未知字典A），的解，訓(xùn)練一個(gè)字典A能夠稀疏表示數(shù)據(jù) 。初始化k=0，并且初始化字典：構(gòu)建 ，要么使用隨機(jī)的條目進(jìn)行計(jì)算，要么使用m隨機(jī)選擇的例子來(lái)進(jìn)行計(jì)算。標(biāo)準(zhǔn)化A0的數(shù)組。k每次增加1，然后開(kāi)始迭代，并最終得到結(jié)果A（k），此過(guò)程如圖3所示。
稀疏編碼階段：采用一個(gè)追求算法來(lái)逼近下式的解
s.t. （3.1）
得到了在1≤i≤M下的稀疏表示，它們構(gòu)成了矩陣X（k）。
更新階段：使用下面的步驟來(lái)更新字典的數(shù)組并得到A（k），j0=1，2，…，m對(duì) 重復(fù)以下步驟：
（1）定義使用原子aj0的例子的組合 （3.2）
（2）計(jì)算剩余矩陣，其中xj是矩陣X（k）的j列 （3.3）
（3）約束Ej0，使其選擇的數(shù)組與Ωj0相一致，并得到 ；
（4）應(yīng)用SVD分解，通過(guò) 來(lái)更新字典原子aj0=u1。
停止規(guī)則：如果 中的改變足夠的小，則停止，否則繼續(xù)迭代。
3.2.2 去噪算法步驟
（1）將零均值的高斯白噪聲加入原始的干凈圖像中；（2）對(duì)X進(jìn)行初始化，假設(shè)X=Y， D=DCT字典；使用OMP算法對(duì)每一小塊圖像求出近似解；（3）對(duì)字典進(jìn)行升級(jí)，用K-SVD算法找到最優(yōu)的D，并求出近似原始圖像的稀疏表示；（4）通過(guò)OMP算法重構(gòu)恢復(fù)出原始圖像，噪聲去除。
3.3 基于壓縮感知并運(yùn)用TV重建算法的圖像去噪
3.3.1 圖像去噪的基本原理
為了得到圖像去噪，首先將含有噪聲的圖像X進(jìn)行稀疏域變換（X+z）= ψs，式中z為加性噪聲。然后對(duì)變換后稀疏系數(shù)向量s進(jìn)行測(cè)量，即y=Φs。
3.3.2 TV重建算法
重建就是在滿足觀測(cè)值的基礎(chǔ)上尋找最稀疏解的過(guò)程：s.t Af=p 但是上式是個(gè)非凸優(yōu)化問(wèn)題，是一個(gè)典型的NP-hard問(wèn)題，不易求解。因此Candes和Donoho提出用1-范數(shù)l1來(lái)代替0-范數(shù)l0進(jìn)行求解。圖像重建問(wèn)題中，f代表離散化的圖像的灰度。這里，我們用fs，t表示圖像s行，第t列像素的灰度值，則圖像的TV可以表示為：
（3.5）
圖像的TV就是其梯度圖像的l1范數(shù)（一幅圖像的l1范數(shù)就是圖像中每個(gè)像素的值的絕對(duì)值之和）。在實(shí)際的TV范數(shù)計(jì)算中，式（3.5）對(duì)于求導(dǎo)運(yùn)算不太容易，大多采用l2范數(shù)來(lái)近似l1范數(shù)，并引進(jìn)一個(gè)正的較小的參數(shù)τ，以防對(duì)TV（f）求導(dǎo)后為無(wú)窮大。
（3.6）
式（3.6）對(duì)某個(gè)像素fs，t求導(dǎo)，得（3.7）式：
（3.7）
通過(guò)測(cè)量向量y來(lái)實(shí)現(xiàn)圖像X的重建和去噪，實(shí)現(xiàn)重建的一個(gè)重要前提是信號(hào)為稀疏的。圖像絕大多數(shù)是稀疏的，但是噪聲在常規(guī)域下是不稀疏的。通過(guò)壓縮感知理論對(duì)噪聲進(jìn)行稀疏變換，然后對(duì)變換后的系數(shù)進(jìn)行M維向量，使得多數(shù)噪聲已經(jīng)被去除，僅含有M維的噪聲向量。如果M值越小，將會(huì)有更多的噪聲信息被去除。通過(guò)對(duì)測(cè)量的M維噪聲向量進(jìn)行重建，去除混有的少量噪聲，同時(shí)可以精準(zhǔn)重建具有稀疏性的圖像，從而達(dá)到去除圖像中混有的噪聲。
3.3.3 去噪算法步驟
（1）對(duì)含有噪聲的圖像X進(jìn)行DCT變換，獲得變換后的稀疏系數(shù)s，表示為（X+z）=ψs。（2）構(gòu)造M× N維測(cè)量矩陣Φ，該測(cè)量矩陣Φ與稀疏基矩陣ψ是不相干的。然后，通過(guò)測(cè)量矩陣Φ實(shí)現(xiàn)對(duì)部分稀疏系數(shù)s的測(cè)量，獲得測(cè)量向量y，表示為y=Φs。（3）對(duì)測(cè)量向量y進(jìn)行TV重建算法來(lái)恢復(fù)圖像信號(hào)x'。
4 小結(jié)與研究展望
本文首先介紹了圖像去噪和壓縮感知的相關(guān)理論，并將壓縮感知運(yùn)用到圖像去噪中，基于壓縮感知，提出了三種去噪方法：基于壓縮感知并運(yùn)用OMP算法的椒鹽去噪；基于壓縮感知并運(yùn)用K-SVD算法的圖像去噪；基于壓縮感知并運(yùn)用TV重建算法的圖像去噪。壓縮感知壓縮感知的突出優(yōu)點(diǎn)是降低了采樣率，直接獲得稀疏的信號(hào)的表示，大大減少了數(shù)據(jù)信息的獲取時(shí)間以及存儲(chǔ)空間，以獲取較好的去噪效果。
壓縮感知在應(yīng)用于圖像去噪時(shí)，應(yīng)該將重建算法繼續(xù)加強(qiáng)改進(jìn)，另外可以將測(cè)量矩陣構(gòu)造和重建算法的構(gòu)建同時(shí)進(jìn)行改進(jìn)；同時(shí)壓縮感知中的觀測(cè)矩陣絕大多數(shù)是隨機(jī)矩陣，如何用一個(gè)穩(wěn)定的確定性的矩陣來(lái)得到觀測(cè)矩陣，以此來(lái)達(dá)到更好的去噪效果；此外壓縮感知是門(mén)新興的技術(shù)，如何進(jìn)一步的應(yīng)用到更多的領(lǐng)域也是以后要研究的問(wèn)題。
參考文獻(xiàn)
[1]曹殿元.壓縮感知理論及其算法[D].南京郵電大學(xué)碩士學(xué)位論文，2013.
[2]屈冉.壓縮感知算法及其應(yīng)用研究[D].南京郵電大學(xué)碩士學(xué)位論文，2013，5.
[3]李博.壓縮感知理論的重構(gòu)算法研究[D].吉林大學(xué)碩士學(xué)位論文，2013，5.
[4]樊立.壓縮感知在圖像去噪中的應(yīng)用研究[D].北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文， 2013，5.
[5]趙彥孟，宋建新.一種基于壓縮感知全變差算法的圖像去噪方法[J].電視技 術(shù)，2014，38（5）.
[6]趙可，潘晉孝，孔慧華.一種改進(jìn)的自適應(yīng)TV圖像重建算法[J].核電子學(xué)與 探測(cè)技術(shù)，2013，33（10）.
[7]史久根，吳文婷，劉勝.基于壓縮感知的圖像重構(gòu)算法[J].計(jì)算機(jī)工程， 2014，40（2）.
[8]石光明，劉丹華，高大化等.壓縮感知理論及其研究進(jìn)展[J].電子學(xué)報(bào)， 2009，37（5）.
[9]劉鋼.基于壓縮感知和稀疏表示理論的圖像去噪研究[D].電子科技大學(xué)碩士 學(xué)位論文，2013，5.
[10]D L Donoho.Compressed sensing[J].IEEE Trans.On Information Theory.2006，52（4）：1289-1306.
[11]E Candes.Compressive Sampling[A].Proceedings of the International Congress of Mathematicians[C].Madrid，Spain，2006，3：1433-1452.
作者簡(jiǎn)介
張麗娟（1991-），現(xiàn)就讀北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)閳D形圖像處理。
作者單位
北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 寧夏回族自治區(qū)銀川市 750000endprint
3 基于壓縮感知的去噪方法
與傳統(tǒng)的去噪方法相比，基于壓縮感知的去噪方法能夠充分發(fā)揮稀疏表示的優(yōu)點(diǎn)，靈活的適應(yīng)實(shí)際問(wèn)題，降低采樣率和數(shù)據(jù)處理的成本，獲取較好的去噪效果。
3.1 基于壓縮感知并運(yùn)用OMP算法的椒鹽去噪
椒鹽噪聲是圖像處理中一種十分常見(jiàn)的噪聲，其特點(diǎn)是噪聲點(diǎn)勻稱分散于整幅圖像，由于椒鹽噪聲只破壞了圖像結(jié)構(gòu)的一部分，其他大部分的圖像信息都是精確的，因此，可以充分利用這部分精確的數(shù)據(jù)，通過(guò)求解最優(yōu)化問(wèn)題，重構(gòu)原圖像。
在傳統(tǒng)去噪模型 subject to 下，提出了一種椒鹽噪聲檢測(cè)的采樣，利用階梯觀測(cè)矩陣良好的0稀疏定位能力，并利用OMP算法的低復(fù)雜性和穩(wěn)定性，來(lái)對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。
算法步驟：（1）已知原始含噪信號(hào)Z；（2）噪聲檢測(cè)采樣，構(gòu)造階梯觀測(cè)矩陣，首先檢測(cè)信號(hào)Z中噪聲的位置， 然后將對(duì)應(yīng)的行刪除作為階梯觀測(cè)矩陣ΦZ；（3）將DCT基作為稀疏變換基；（4）采用OMP算法進(jìn)行重構(gòu)。
椒鹽去噪算法流程圖如1：
3.2 基于壓縮感知并運(yùn)用K-SVD算法的圖像去噪
3.2.1 K-SVD算法
為了逼近的得到式（信號(hào)yi，最稀疏的解的表示xi和未知字典A），的解，訓(xùn)練一個(gè)字典A能夠稀疏表示數(shù)據(jù) 。初始化k=0，并且初始化字典：構(gòu)建 ，要么使用隨機(jī)的條目進(jìn)行計(jì)算，要么使用m隨機(jī)選擇的例子來(lái)進(jìn)行計(jì)算。標(biāo)準(zhǔn)化A0的數(shù)組。k每次增加1，然后開(kāi)始迭代，并最終得到結(jié)果A（k），此過(guò)程如圖3所示。
稀疏編碼階段：采用一個(gè)追求算法來(lái)逼近下式的解
s.t. （3.1）
得到了在1≤i≤M下的稀疏表示，它們構(gòu)成了矩陣X（k）。
更新階段：使用下面的步驟來(lái)更新字典的數(shù)組并得到A（k），j0=1，2，…，m對(duì) 重復(fù)以下步驟：
（1）定義使用原子aj0的例子的組合 （3.2）
（2）計(jì)算剩余矩陣，其中xj是矩陣X（k）的j列 （3.3）
（3）約束Ej0，使其選擇的數(shù)組與Ωj0相一致，并得到 ；
（4）應(yīng)用SVD分解，通過(guò) 來(lái)更新字典原子aj0=u1。
停止規(guī)則：如果 中的改變足夠的小，則停止，否則繼續(xù)迭代。
3.2.2 去噪算法步驟
（1）將零均值的高斯白噪聲加入原始的干凈圖像中；（2）對(duì)X進(jìn)行初始化，假設(shè)X=Y， D=DCT字典；使用OMP算法對(duì)每一小塊圖像求出近似解；（3）對(duì)字典進(jìn)行升級(jí)，用K-SVD算法找到最優(yōu)的D，并求出近似原始圖像的稀疏表示；（4）通過(guò)OMP算法重構(gòu)恢復(fù)出原始圖像，噪聲去除。
3.3 基于壓縮感知并運(yùn)用TV重建算法的圖像去噪
3.3.1 圖像去噪的基本原理
為了得到圖像去噪，首先將含有噪聲的圖像X進(jìn)行稀疏域變換（X+z）= ψs，式中z為加性噪聲。然后對(duì)變換后稀疏系數(shù)向量s進(jìn)行測(cè)量，即y=Φs。
3.3.2 TV重建算法
重建就是在滿足觀測(cè)值的基礎(chǔ)上尋找最稀疏解的過(guò)程：s.t Af=p 但是上式是個(gè)非凸優(yōu)化問(wèn)題，是一個(gè)典型的NP-hard問(wèn)題，不易求解。因此Candes和Donoho提出用1-范數(shù)l1來(lái)代替0-范數(shù)l0進(jìn)行求解。圖像重建問(wèn)題中，f代表離散化的圖像的灰度。這里，我們用fs，t表示圖像s行，第t列像素的灰度值，則圖像的TV可以表示為：
（3.5）
圖像的TV就是其梯度圖像的l1范數(shù)（一幅圖像的l1范數(shù)就是圖像中每個(gè)像素的值的絕對(duì)值之和）。在實(shí)際的TV范數(shù)計(jì)算中，式（3.5）對(duì)于求導(dǎo)運(yùn)算不太容易，大多采用l2范數(shù)來(lái)近似l1范數(shù)，并引進(jìn)一個(gè)正的較小的參數(shù)τ，以防對(duì)TV（f）求導(dǎo)后為無(wú)窮大。
（3.6）
式（3.6）對(duì)某個(gè)像素fs，t求導(dǎo)，得（3.7）式：
（3.7）
通過(guò)測(cè)量向量y來(lái)實(shí)現(xiàn)圖像X的重建和去噪，實(shí)現(xiàn)重建的一個(gè)重要前提是信號(hào)為稀疏的。圖像絕大多數(shù)是稀疏的，但是噪聲在常規(guī)域下是不稀疏的。通過(guò)壓縮感知理論對(duì)噪聲進(jìn)行稀疏變換，然后對(duì)變換后的系數(shù)進(jìn)行M維向量，使得多數(shù)噪聲已經(jīng)被去除，僅含有M維的噪聲向量。如果M值越小，將會(huì)有更多的噪聲信息被去除。通過(guò)對(duì)測(cè)量的M維噪聲向量進(jìn)行重建，去除混有的少量噪聲，同時(shí)可以精準(zhǔn)重建具有稀疏性的圖像，從而達(dá)到去除圖像中混有的噪聲。
3.3.3 去噪算法步驟
（1）對(duì)含有噪聲的圖像X進(jìn)行DCT變換，獲得變換后的稀疏系數(shù)s，表示為（X+z）=ψs。（2）構(gòu)造M× N維測(cè)量矩陣Φ，該測(cè)量矩陣Φ與稀疏基矩陣ψ是不相干的。然后，通過(guò)測(cè)量矩陣Φ實(shí)現(xiàn)對(duì)部分稀疏系數(shù)s的測(cè)量，獲得測(cè)量向量y，表示為y=Φs。（3）對(duì)測(cè)量向量y進(jìn)行TV重建算法來(lái)恢復(fù)圖像信號(hào)x'。
4 小結(jié)與研究展望
本文首先介紹了圖像去噪和壓縮感知的相關(guān)理論，并將壓縮感知運(yùn)用到圖像去噪中，基于壓縮感知，提出了三種去噪方法：基于壓縮感知并運(yùn)用OMP算法的椒鹽去噪；基于壓縮感知并運(yùn)用K-SVD算法的圖像去噪；基于壓縮感知并運(yùn)用TV重建算法的圖像去噪。壓縮感知壓縮感知的突出優(yōu)點(diǎn)是降低了采樣率，直接獲得稀疏的信號(hào)的表示，大大減少了數(shù)據(jù)信息的獲取時(shí)間以及存儲(chǔ)空間，以獲取較好的去噪效果。
壓縮感知在應(yīng)用于圖像去噪時(shí)，應(yīng)該將重建算法繼續(xù)加強(qiáng)改進(jìn)，另外可以將測(cè)量矩陣構(gòu)造和重建算法的構(gòu)建同時(shí)進(jìn)行改進(jìn)；同時(shí)壓縮感知中的觀測(cè)矩陣絕大多數(shù)是隨機(jī)矩陣，如何用一個(gè)穩(wěn)定的確定性的矩陣來(lái)得到觀測(cè)矩陣，以此來(lái)達(dá)到更好的去噪效果；此外壓縮感知是門(mén)新興的技術(shù)，如何進(jìn)一步的應(yīng)用到更多的領(lǐng)域也是以后要研究的問(wèn)題。
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[8]石光明，劉丹華，高大化等.壓縮感知理論及其研究進(jìn)展[J].電子學(xué)報(bào)， 2009，37（5）.
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作者單位
北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 寧夏回族自治區(qū)銀川市 750000endprint
