行列式的計(jì)算方法及一些特殊行列式的計(jì)算
2014-10-31 22:27:28陳潔
考試周刊 2014年75期
摘 要： 行列式的計(jì)算是線性代數(shù)的基礎(chǔ)和重要內(nèi)容之一.本文通過一些具體的例子，介紹了計(jì)算行列式的一般方法及一些特殊行列式的計(jì)算.
關(guān)鍵詞： 行列式 降階法 升階法
線性代數(shù)是理工科甚至部分文科專業(yè)一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，它為工程及社會實(shí)踐提供了基本的數(shù)學(xué)手段和方法，是一門應(yīng)用極廣的大學(xué)必修課程.而行列式是線性代數(shù)的基礎(chǔ)，學(xué)好行列式是高校學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的良好開端.因此，熟練地掌握行列式的計(jì)算方法是非常重要的.本文在已學(xué)過行列式的計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，通過一些例子，具體介紹了行列式的計(jì)算方法和一些特殊行列式的計(jì)算.
一、計(jì)算行列式的一般方法
1.化為“三角形”
化為“三角形”是利用行列式的性質(zhì)，把所求行列式的主對角線下方的元素全化為零.
例1.計(jì)算行列式D= 3 1 -1 2-5 1 3 -4 2 0 1 -1 1 -5 3 -3
解：按行列式的性質(zhì)，把主對角線下方的元素全化為零.
D=-1 3 -1 21 -5 3 -40 2 1 -1-5 1 3 -3=1 3 -1 20 2 1 -10 -8 4 60 16 -2 7
=1 3 -1 20 2 1 -10 0 8 -100 0 0 ■=40
2.降階法
降階法是利用行列式性質(zhì)將行列式的某行或者某列化成只有一個(gè)元素不為零，然后根據(jù)行列式的展開定理，按此行（列）展開，達(dá)到降階.
例2.計(jì)算行列式D= 3 1 -1 2-5 1 3 -4 2 0 1 -1 1 -5 3 -3
解：按行列式的性質(zhì)，把行列式的第三行化為只含一個(gè)非零元素，然后再按第三行展開.
D= 5 1 -1 1-11 1 3 -1 0 0 1 0-5 -5 3 0
=（-1）■×1× 5 1 1-11 1 -1 -5 -5 0=40
3.升階法
升階法是將要計(jì)算的行列式添加一行一列，得到一個(gè)新的行列式，使新舊行列式相等，再計(jì)算新的行列式.
例3.計(jì)算行列式D■=1+a■ 1 … 1 1 1+a■ … 1 … … … … 1 1 1 1+a■
解：將此行列式添加一行一列，變成一個(gè)n+1階的行列式，但行列式的值不變.
D■=1 1 1 … 10 1+a■ 1 … 10 1 1+a■ … 1… … … … …0 1 1 … 1+a■
=1+■+…+■ 1 1 … 1 0 a■ 0 … 1 0 0 a■ … 1 … … … … … 0 0 0 … a■=a■a■… a■（1+■■）
4.拆項(xiàng)法
拆項(xiàng)法是根據(jù)行列式的性質(zhì)，將所給行列式拆成兩個(gè)或多個(gè)行列式之和，再求行列的值.
例4.求解方程1 1 1 … 11 a■ a■ … a■1 a■■ a■■ a■■… … … … …x a■■ a■■ … a■■=0
解：此行列式的第一列每個(gè)數(shù)可以寫成兩數(shù)之和
1 1 1 … 11 a■ a■ … a■1 a■■ a■■ a■■… … … … …x a■■ a■■ … a■■= 1+0 1 1 … 1 1+0 a■ a■ … a■ 1+0 a■■ a■■ a■■ … … … … …1+（x-1） a■■ a■■ … a■■
=1 1 1 … 11 a■ a■ … a■1 a■■ a■■ a■■… … … … …x a■■ a■■ … a■■+ 0 1 1 … 1 0 a■ a■ … a■ 0 a■■ a■■ a■■… … … … …x-1 a■■ a■■ … a■■
=■（a■-1）■（a■-a■）+（-1）■（x-1）■（a■-a■）
=0
因此，可得x=1+（-1）■■（a■-1）.
5.遞推法
遞推法是根據(jù)行列式的性質(zhì)，建立階行列式和階行列式的關(guān)系.
例5.計(jì)算行列式 x -1 0 … 0 0 0 x -1 … 0 0… … … … … … 0 0 0 … x -1 a■ a■ a■ … a■ x+a■
解：此行列式按第一列展開
D■=（-1）■a■-1 0 … 0 0 x -1 … 0 0… … … … … 0 0 … x -1
+（-1）■xx -1 … 0 0… … … … …0 0 … x -1a■ a■ … … x+a■
=a■+xD■
由此遞推關(guān)系，最后可得
D■=x■+a■x■+…+a■x+a■.
6.數(shù)學(xué)歸納法
對有些n階行列式，可以先猜想結(jié)果，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.例如范德蒙行列式的證明.
二、 一些特殊行列式的計(jì)算
1.行列式的每行元素之和相等
例6. 計(jì)算D= a b b … b b a b … b b b a … b… … … … … b b b … a
解：將第2，3，…，n列加到第1列后提出第1列的公因子
D=[a+（n-1）b] 1 b b … b 1 a b … b 1 b a … b… … … … … 1 b b … a
=[a+（n-1）b]（a-b）■
2. “爪形”行列式
例7. 計(jì)算D= 1 2 3 … n 2 1 0 … 0 3 0 1 … 0… … … … … n 0 0 … 1
解：將第2，3，…，n列的倍數(shù)都加到第1列上
D=1-2■-3■-…-n■ 2 3 … n 0 1 0 … 0 0 0 1 … 0 … … … … … 0 0 0 … 1
=1-■i■
3. 偽范德蒙行列式
例8. 計(jì)算D=1 1 1 1a b c da■ b■ c■ d■a■ b■ c■ d■
解：構(gòu)造范德蒙行列式，對比x■的系數(shù)
D=1 1 1 1 1a b c d xa■ b■ c■ d■ x■a■ b■ c■ d■ x■a■ b■ c■ d■ x■
=（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）（d-c）（d-b）（d-a）（c-a）（c-b）（b-a）
最后找出x3的系數(shù)即可.
參考文獻(xiàn)：
[1]李紅珍.行列式的計(jì)算方法與技巧[J].數(shù)理科學(xué)與化學(xué)研究，2013，1.
[2]徐杰.范德蒙行列式的應(yīng)用[J].科技信息，2009，17.
[3]賈敬堂，李玉海，史裕曙.高職數(shù)學(xué)行列式的計(jì)算方法及應(yīng)用[J]，邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，9.
[4]陳潔.關(guān)于線性代數(shù)教學(xué)上的研究與探討[J].考試周刊，2013，50.endprint
摘 要： 行列式的計(jì)算是線性代數(shù)的基礎(chǔ)和重要內(nèi)容之一.本文通過一些具體的例子，介紹了計(jì)算行列式的一般方法及一些特殊行列式的計(jì)算.
關(guān)鍵詞： 行列式 降階法 升階法
線性代數(shù)是理工科甚至部分文科專業(yè)一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，它為工程及社會實(shí)踐提供了基本的數(shù)學(xué)手段和方法，是一門應(yīng)用極廣的大學(xué)必修課程.而行列式是線性代數(shù)的基礎(chǔ)，學(xué)好行列式是高校學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的良好開端.因此，熟練地掌握行列式的計(jì)算方法是非常重要的.本文在已學(xué)過行列式的計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，通過一些例子，具體介紹了行列式的計(jì)算方法和一些特殊行列式的計(jì)算.
一、計(jì)算行列式的一般方法
1.化為“三角形”
化為“三角形”是利用行列式的性質(zhì)，把所求行列式的主對角線下方的元素全化為零.
例1.計(jì)算行列式D= 3 1 -1 2-5 1 3 -4 2 0 1 -1 1 -5 3 -3
解：按行列式的性質(zhì)，把主對角線下方的元素全化為零.
D=-1 3 -1 21 -5 3 -40 2 1 -1-5 1 3 -3=1 3 -1 20 2 1 -10 -8 4 60 16 -2 7
=1 3 -1 20 2 1 -10 0 8 -100 0 0 ■=40
2.降階法
降階法是利用行列式性質(zhì)將行列式的某行或者某列化成只有一個(gè)元素不為零，然后根據(jù)行列式的展開定理，按此行（列）展開，達(dá)到降階.
例2.計(jì)算行列式D= 3 1 -1 2-5 1 3 -4 2 0 1 -1 1 -5 3 -3
解：按行列式的性質(zhì)，把行列式的第三行化為只含一個(gè)非零元素，然后再按第三行展開.
D= 5 1 -1 1-11 1 3 -1 0 0 1 0-5 -5 3 0
=（-1）■×1× 5 1 1-11 1 -1 -5 -5 0=40
3.升階法
升階法是將要計(jì)算的行列式添加一行一列，得到一個(gè)新的行列式，使新舊行列式相等，再計(jì)算新的行列式.
例3.計(jì)算行列式D■=1+a■ 1 … 1 1 1+a■ … 1 … … … … 1 1 1 1+a■
解：將此行列式添加一行一列，變成一個(gè)n+1階的行列式，但行列式的值不變.
D■=1 1 1 … 10 1+a■ 1 … 10 1 1+a■ … 1… … … … …0 1 1 … 1+a■
=1+■+…+■ 1 1 … 1 0 a■ 0 … 1 0 0 a■ … 1 … … … … … 0 0 0 … a■=a■a■… a■（1+■■）
4.拆項(xiàng)法
拆項(xiàng)法是根據(jù)行列式的性質(zhì)，將所給行列式拆成兩個(gè)或多個(gè)行列式之和，再求行列的值.
例4.求解方程1 1 1 … 11 a■ a■ … a■1 a■■ a■■ a■■… … … … …x a■■ a■■ … a■■=0
解：此行列式的第一列每個(gè)數(shù)可以寫成兩數(shù)之和
1 1 1 … 11 a■ a■ … a■1 a■■ a■■ a■■… … … … …x a■■ a■■ … a■■= 1+0 1 1 … 1 1+0 a■ a■ … a■ 1+0 a■■ a■■ a■■ … … … … …1+（x-1） a■■ a■■ … a■■
=1 1 1 … 11 a■ a■ … a■1 a■■ a■■ a■■… … … … …x a■■ a■■ … a■■+ 0 1 1 … 1 0 a■ a■ … a■ 0 a■■ a■■ a■■… … … … …x-1 a■■ a■■ … a■■
=■（a■-1）■（a■-a■）+（-1）■（x-1）■（a■-a■）
=0
因此，可得x=1+（-1）■■（a■-1）.
5.遞推法
遞推法是根據(jù)行列式的性質(zhì)，建立階行列式和階行列式的關(guān)系.
例5.計(jì)算行列式 x -1 0 … 0 0 0 x -1 … 0 0… … … … … … 0 0 0 … x -1 a■ a■ a■ … a■ x+a■
解：此行列式按第一列展開
D■=（-1）■a■-1 0 … 0 0 x -1 … 0 0… … … … … 0 0 … x -1
+（-1）■xx -1 … 0 0… … … … …0 0 … x -1a■ a■ … … x+a■
=a■+xD■
由此遞推關(guān)系，最后可得
D■=x■+a■x■+…+a■x+a■.
6.數(shù)學(xué)歸納法
對有些n階行列式，可以先猜想結(jié)果，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.例如范德蒙行列式的證明.
二、 一些特殊行列式的計(jì)算
1.行列式的每行元素之和相等
例6. 計(jì)算D= a b b … b b a b … b b b a … b… … … … … b b b … a
解：將第2，3，…，n列加到第1列后提出第1列的公因子
D=[a+（n-1）b] 1 b b … b 1 a b … b 1 b a … b… … … … … 1 b b … a
=[a+（n-1）b]（a-b）■
2. “爪形”行列式
例7. 計(jì)算D= 1 2 3 … n 2 1 0 … 0 3 0 1 … 0… … … … … n 0 0 … 1
解：將第2，3，…，n列的倍數(shù)都加到第1列上
D=1-2■-3■-…-n■ 2 3 … n 0 1 0 … 0 0 0 1 … 0 … … … … … 0 0 0 … 1
=1-■i■
3. 偽范德蒙行列式
例8. 計(jì)算D=1 1 1 1a b c da■ b■ c■ d■a■ b■ c■ d■
解：構(gòu)造范德蒙行列式，對比x■的系數(shù)
D=1 1 1 1 1a b c d xa■ b■ c■ d■ x■a■ b■ c■ d■ x■a■ b■ c■ d■ x■
=（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）（d-c）（d-b）（d-a）（c-a）（c-b）（b-a）
最后找出x3的系數(shù)即可.
參考文獻(xiàn)：
[1]李紅珍.行列式的計(jì)算方法與技巧[J].數(shù)理科學(xué)與化學(xué)研究，2013，1.
[2]徐杰.范德蒙行列式的應(yīng)用[J].科技信息，2009，17.
[3]賈敬堂，李玉海，史裕曙.高職數(shù)學(xué)行列式的計(jì)算方法及應(yīng)用[J]，邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，9.
[4]陳潔.關(guān)于線性代數(shù)教學(xué)上的研究與探討[J].考試周刊，2013，50.endprint
摘 要： 行列式的計(jì)算是線性代數(shù)的基礎(chǔ)和重要內(nèi)容之一.本文通過一些具體的例子，介紹了計(jì)算行列式的一般方法及一些特殊行列式的計(jì)算.
關(guān)鍵詞： 行列式 降階法 升階法
線性代數(shù)是理工科甚至部分文科專業(yè)一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，它為工程及社會實(shí)踐提供了基本的數(shù)學(xué)手段和方法，是一門應(yīng)用極廣的大學(xué)必修課程.而行列式是線性代數(shù)的基礎(chǔ)，學(xué)好行列式是高校學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的良好開端.因此，熟練地掌握行列式的計(jì)算方法是非常重要的.本文在已學(xué)過行列式的計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，通過一些例子，具體介紹了行列式的計(jì)算方法和一些特殊行列式的計(jì)算.
一、計(jì)算行列式的一般方法
1.化為“三角形”
化為“三角形”是利用行列式的性質(zhì)，把所求行列式的主對角線下方的元素全化為零.
例1.計(jì)算行列式D= 3 1 -1 2-5 1 3 -4 2 0 1 -1 1 -5 3 -3
解：按行列式的性質(zhì)，把主對角線下方的元素全化為零.
D=-1 3 -1 21 -5 3 -40 2 1 -1-5 1 3 -3=1 3 -1 20 2 1 -10 -8 4 60 16 -2 7
=1 3 -1 20 2 1 -10 0 8 -100 0 0 ■=40
2.降階法
降階法是利用行列式性質(zhì)將行列式的某行或者某列化成只有一個(gè)元素不為零，然后根據(jù)行列式的展開定理，按此行（列）展開，達(dá)到降階.
例2.計(jì)算行列式D= 3 1 -1 2-5 1 3 -4 2 0 1 -1 1 -5 3 -3
解：按行列式的性質(zhì)，把行列式的第三行化為只含一個(gè)非零元素，然后再按第三行展開.
D= 5 1 -1 1-11 1 3 -1 0 0 1 0-5 -5 3 0
=（-1）■×1× 5 1 1-11 1 -1 -5 -5 0=40
3.升階法
升階法是將要計(jì)算的行列式添加一行一列，得到一個(gè)新的行列式，使新舊行列式相等，再計(jì)算新的行列式.
例3.計(jì)算行列式D■=1+a■ 1 … 1 1 1+a■ … 1 … … … … 1 1 1 1+a■
解：將此行列式添加一行一列，變成一個(gè)n+1階的行列式，但行列式的值不變.
D■=1 1 1 … 10 1+a■ 1 … 10 1 1+a■ … 1… … … … …0 1 1 … 1+a■
=1+■+…+■ 1 1 … 1 0 a■ 0 … 1 0 0 a■ … 1 … … … … … 0 0 0 … a■=a■a■… a■（1+■■）
4.拆項(xiàng)法
拆項(xiàng)法是根據(jù)行列式的性質(zhì)，將所給行列式拆成兩個(gè)或多個(gè)行列式之和，再求行列的值.
例4.求解方程1 1 1 … 11 a■ a■ … a■1 a■■ a■■ a■■… … … … …x a■■ a■■ … a■■=0
解：此行列式的第一列每個(gè)數(shù)可以寫成兩數(shù)之和
1 1 1 … 11 a■ a■ … a■1 a■■ a■■ a■■… … … … …x a■■ a■■ … a■■= 1+0 1 1 … 1 1+0 a■ a■ … a■ 1+0 a■■ a■■ a■■ … … … … …1+（x-1） a■■ a■■ … a■■
=1 1 1 … 11 a■ a■ … a■1 a■■ a■■ a■■… … … … …x a■■ a■■ … a■■+ 0 1 1 … 1 0 a■ a■ … a■ 0 a■■ a■■ a■■… … … … …x-1 a■■ a■■ … a■■
=■（a■-1）■（a■-a■）+（-1）■（x-1）■（a■-a■）
=0
因此，可得x=1+（-1）■■（a■-1）.
5.遞推法
遞推法是根據(jù)行列式的性質(zhì)，建立階行列式和階行列式的關(guān)系.
例5.計(jì)算行列式 x -1 0 … 0 0 0 x -1 … 0 0… … … … … … 0 0 0 … x -1 a■ a■ a■ … a■ x+a■
解：此行列式按第一列展開
D■=（-1）■a■-1 0 … 0 0 x -1 … 0 0… … … … … 0 0 … x -1
+（-1）■xx -1 … 0 0… … … … …0 0 … x -1a■ a■ … … x+a■
=a■+xD■
由此遞推關(guān)系，最后可得
D■=x■+a■x■+…+a■x+a■.
6.數(shù)學(xué)歸納法
對有些n階行列式，可以先猜想結(jié)果，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.例如范德蒙行列式的證明.
二、 一些特殊行列式的計(jì)算
1.行列式的每行元素之和相等
例6. 計(jì)算D= a b b … b b a b … b b b a … b… … … … … b b b … a
解：將第2，3，…，n列加到第1列后提出第1列的公因子
D=[a+（n-1）b] 1 b b … b 1 a b … b 1 b a … b… … … … … 1 b b … a
=[a+（n-1）b]（a-b）■
2. “爪形”行列式
例7. 計(jì)算D= 1 2 3 … n 2 1 0 … 0 3 0 1 … 0… … … … … n 0 0 … 1
解：將第2，3，…，n列的倍數(shù)都加到第1列上
D=1-2■-3■-…-n■ 2 3 … n 0 1 0 … 0 0 0 1 … 0 … … … … … 0 0 0 … 1
=1-■i■
3. 偽范德蒙行列式
例8. 計(jì)算D=1 1 1 1a b c da■ b■ c■ d■a■ b■ c■ d■
解：構(gòu)造范德蒙行列式，對比x■的系數(shù)
D=1 1 1 1 1a b c d xa■ b■ c■ d■ x■a■ b■ c■ d■ x■a■ b■ c■ d■ x■
=（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）（d-c）（d-b）（d-a）（c-a）（c-b）（b-a）
最后找出x3的系數(shù)即可.
參考文獻(xiàn)：
[1]李紅珍.行列式的計(jì)算方法與技巧[J].數(shù)理科學(xué)與化學(xué)研究，2013，1.
[2]徐杰.范德蒙行列式的應(yīng)用[J].科技信息，2009，17.
[3]賈敬堂，李玉海，史裕曙.高職數(shù)學(xué)行列式的計(jì)算方法及應(yīng)用[J]，邯鄲職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，9.
[4]陳潔.關(guān)于線性代數(shù)教學(xué)上的研究與探討[J].考試周刊，2013，50.endprint
