大學文科數學中求不定積分的幾種基本方法

何冬梅

摘 要： 高等數學是大學的一門重要學科，微積分是高等數學的核心內容.不定積分與定積分是本學科的重要章節，而不定積分是定積分的基礎，因此掌握好求不定積分的方法，對高等數學的學習起著至關重要的作用.

關鍵詞： 大學文科數學 不定積分 求解方法

高等數學是大學的一門重要學科，學生對本門課程學習掌握的情況，將會影響到后繼的其他學科的學習.不定積分是高等數學的一個重要章節，它是定積分、二重積分、三重積分等內容的基礎，因此求不定積分的方法，對于本門課程的學習有非常重要的作用.

一、求不定積分時存在的問題

當學完不定積分這一章后，綜合做題時，學生往往不知道該用什么方法求不定積分，學過的方法此時變得似是而非，甚至無從下手.

二、如何解決求不定積分時束手無策的問題

（一）學握不定積分的運算法則

1.？蘩kf（x）dx=k？蘩f（x）dx？搖？搖（k為不為0的常數）

2.？蘩[f（x）±g（x）]dx=？蘩f（x）dx±？蘩g（x）dx

（二）記住不定積分的基本公式

（三）掌握不定積分的幾種基本方法

1.直接積分法：即通過適當的變形及利用不定積分的運算法則、公式，求出不定積分的方法.

2.第一換元法（也叫湊微分法）

若F（u）為f（u）的原函數，則？蘩f[（x）]φ′（x）dx=？蘩f[φ（x）d[φ（x）]=F[φ（x）]+c

此種方法被稱為第一換元法（湊微分法），其中φ（x）可微.

例1：求？蘩sin3xdx=■？蘩sin3xd（3x）=-■cos3x+c

利用湊微分法，最好不要換元，因為換元后還需原變量，顯得更麻煩.

3.第二換元法（包含無理代換法、三角代換法）

設函數x=φ（t）單調可導，且φ（t）≠0，

若？蘩f[φ（t）]φ′（t）dt=F（t）+c，

則？蘩f（x）dx=？蘩f[φ（t）]φ′（t）dt=F[φ-1（x）]+c

其中t=φ-1（x）是x=φ（t）的反函數.

以上方法，被稱為第二換元法.

（1）無理代換法

當最簡根式中被開方式子里的變量的最高次數是1次時，用此法.令整個根式為新的變量，當然，若在被積函數中，同時出現幾個根指數不同的最簡根式，則令最大根指數的那個根式為新的變量.

例2：求？蘩■dx

解：令■=t，即x=t■，則dx=2tdt

原式=？蘩■·2tdt=2.2tdt=2？蘩■dt

=2？蘩（1-■）dt

=2t-2ln（t+2）+c=2■-2ln（■+2）+c

（2）三角代換法

當被積函數中有最簡根式，并且被開方式子中的未知數的最高次數2次時，即令未知數為一個恰當的三角函數，利用三角函數的恒等變形將根號去掉，再進一步求出不定積分，此種方法被稱為三角代換法.此情況下若用無理代換法，則行不通.

例3：求？蘩■[1]

解：令x=asint（或acost），則dx=acostdt

原式=？蘩a·cost·acostdt=a■？蘩cos■tdt

=■？蘩（1+cost）dt

=■t+■sin2t+c

=■t+■2sint·cost+c

根據x=asimt（acost）作輔助三角形如下圖：

得原式=■·arcsin·■+■x■+c

4.分部積分法

利用公式？蘩udv=uv-？蘩vdu進行積分的方法被稱為分部積分法，此種方法的關鍵是正確選擇u、v，一般原則是：使？蘩vdu要比？蘩udv更容易積出.

例4：？蘩arcsinxdx=x·arcsinx-？蘩xd（drcsinx）

=xarcsin-？蘩■dx

=xarcsinx-■？蘩（1-x■）■dx■

=xarcsin+■+c

（四）記住一些常用的湊微分的技巧

總之，求不定積分時要針對不同的被積函數選擇適當的方法，當然，有些不定積分不但需要運用一些靈活的做題技巧，而且需要綜合運用多種積分方法才能求出結果.對于大學文科的學生，只要掌握好以上計算方法，基本上就可以了.

參考文獻：

[1]沈聰.高等數學.首都經濟貿易大學出版社，2010.5.

[2]張國楚，張如生.大學文科高等數學.高等教育出版社，2005.12.

[3]四川大學數學系高等數學教研室.高等數學.高等教育出版社，2000.3.

[4]華東師范大學數學系.數學分析.高等教育出版社，1998.6.endprint

摘 要： 高等數學是大學的一門重要學科，微積分是高等數學的核心內容.不定積分與定積分是本學科的重要章節，而不定積分是定積分的基礎，因此掌握好求不定積分的方法，對高等數學的學習起著至關重要的作用.

關鍵詞： 大學文科數學 不定積分 求解方法

高等數學是大學的一門重要學科，學生對本門課程學習掌握的情況，將會影響到后繼的其他學科的學習.不定積分是高等數學的一個重要章節，它是定積分、二重積分、三重積分等內容的基礎，因此求不定積分的方法，對于本門課程的學習有非常重要的作用.

一、求不定積分時存在的問題

當學完不定積分這一章后，綜合做題時，學生往往不知道該用什么方法求不定積分，學過的方法此時變得似是而非，甚至無從下手.

二、如何解決求不定積分時束手無策的問題

（一）學握不定積分的運算法則

1.？蘩kf（x）dx=k？蘩f（x）dx？搖？搖（k為不為0的常數）

2.？蘩[f（x）±g（x）]dx=？蘩f（x）dx±？蘩g（x）dx

（二）記住不定積分的基本公式

（三）掌握不定積分的幾種基本方法

1.直接積分法：即通過適當的變形及利用不定積分的運算法則、公式，求出不定積分的方法.

2.第一換元法（也叫湊微分法）

若F（u）為f（u）的原函數，則？蘩f[（x）]φ′（x）dx=？蘩f[φ（x）d[φ（x）]=F[φ（x）]+c

此種方法被稱為第一換元法（湊微分法），其中φ（x）可微.

例1：求？蘩sin3xdx=■？蘩sin3xd（3x）=-■cos3x+c

利用湊微分法，最好不要換元，因為換元后還需原變量，顯得更麻煩.

3.第二換元法（包含無理代換法、三角代換法）

設函數x=φ（t）單調可導，且φ（t）≠0，

若？蘩f[φ（t）]φ′（t）dt=F（t）+c，

則？蘩f（x）dx=？蘩f[φ（t）]φ′（t）dt=F[φ-1（x）]+c

其中t=φ-1（x）是x=φ（t）的反函數.

以上方法，被稱為第二換元法.

（1）無理代換法

當最簡根式中被開方式子里的變量的最高次數是1次時，用此法.令整個根式為新的變量，當然，若在被積函數中，同時出現幾個根指數不同的最簡根式，則令最大根指數的那個根式為新的變量.

例2：求？蘩■dx

解：令■=t，即x=t■，則dx=2tdt

原式=？蘩■·2tdt=2.2tdt=2？蘩■dt

=2？蘩（1-■）dt

=2t-2ln（t+2）+c=2■-2ln（■+2）+c

（2）三角代換法

當被積函數中有最簡根式，并且被開方式子中的未知數的最高次數2次時，即令未知數為一個恰當的三角函數，利用三角函數的恒等變形將根號去掉，再進一步求出不定積分，此種方法被稱為三角代換法.此情況下若用無理代換法，則行不通.

例3：求？蘩■[1]

解：令x=asint（或acost），則dx=acostdt

原式=？蘩a·cost·acostdt=a■？蘩cos■tdt

=■？蘩（1+cost）dt

=■t+■sin2t+c

=■t+■2sint·cost+c

根據x=asimt（acost）作輔助三角形如下圖：

得原式=■·arcsin·■+■x■+c

4.分部積分法

利用公式？蘩udv=uv-？蘩vdu進行積分的方法被稱為分部積分法，此種方法的關鍵是正確選擇u、v，一般原則是：使？蘩vdu要比？蘩udv更容易積出.

例4：？蘩arcsinxdx=x·arcsinx-？蘩xd（drcsinx）

=xarcsin-？蘩■dx

=xarcsinx-■？蘩（1-x■）■dx■

=xarcsin+■+c

（四）記住一些常用的湊微分的技巧

總之，求不定積分時要針對不同的被積函數選擇適當的方法，當然，有些不定積分不但需要運用一些靈活的做題技巧，而且需要綜合運用多種積分方法才能求出結果.對于大學文科的學生，只要掌握好以上計算方法，基本上就可以了.

參考文獻：

[1]沈聰.高等數學.首都經濟貿易大學出版社，2010.5.

[2]張國楚，張如生.大學文科高等數學.高等教育出版社，2005.12.

[3]四川大學數學系高等數學教研室.高等數學.高等教育出版社，2000.3.

[4]華東師范大學數學系.數學分析.高等教育出版社，1998.6.endprint

摘 要： 高等數學是大學的一門重要學科，微積分是高等數學的核心內容.不定積分與定積分是本學科的重要章節，而不定積分是定積分的基礎，因此掌握好求不定積分的方法，對高等數學的學習起著至關重要的作用.

關鍵詞： 大學文科數學 不定積分 求解方法

高等數學是大學的一門重要學科，學生對本門課程學習掌握的情況，將會影響到后繼的其他學科的學習.不定積分是高等數學的一個重要章節，它是定積分、二重積分、三重積分等內容的基礎，因此求不定積分的方法，對于本門課程的學習有非常重要的作用.

一、求不定積分時存在的問題

當學完不定積分這一章后，綜合做題時，學生往往不知道該用什么方法求不定積分，學過的方法此時變得似是而非，甚至無從下手.

二、如何解決求不定積分時束手無策的問題

（一）學握不定積分的運算法則

1.？蘩kf（x）dx=k？蘩f（x）dx？搖？搖（k為不為0的常數）

2.？蘩[f（x）±g（x）]dx=？蘩f（x）dx±？蘩g（x）dx

（二）記住不定積分的基本公式

（三）掌握不定積分的幾種基本方法

1.直接積分法：即通過適當的變形及利用不定積分的運算法則、公式，求出不定積分的方法.

2.第一換元法（也叫湊微分法）

若F（u）為f（u）的原函數，則？蘩f[（x）]φ′（x）dx=？蘩f[φ（x）d[φ（x）]=F[φ（x）]+c

此種方法被稱為第一換元法（湊微分法），其中φ（x）可微.

例1：求？蘩sin3xdx=■？蘩sin3xd（3x）=-■cos3x+c

利用湊微分法，最好不要換元，因為換元后還需原變量，顯得更麻煩.

3.第二換元法（包含無理代換法、三角代換法）

設函數x=φ（t）單調可導，且φ（t）≠0，

若？蘩f[φ（t）]φ′（t）dt=F（t）+c，

則？蘩f（x）dx=？蘩f[φ（t）]φ′（t）dt=F[φ-1（x）]+c

其中t=φ-1（x）是x=φ（t）的反函數.

以上方法，被稱為第二換元法.

（1）無理代換法

當最簡根式中被開方式子里的變量的最高次數是1次時，用此法.令整個根式為新的變量，當然，若在被積函數中，同時出現幾個根指數不同的最簡根式，則令最大根指數的那個根式為新的變量.

例2：求？蘩■dx

解：令■=t，即x=t■，則dx=2tdt

原式=？蘩■·2tdt=2.2tdt=2？蘩■dt

=2？蘩（1-■）dt

=2t-2ln（t+2）+c=2■-2ln（■+2）+c

（2）三角代換法

當被積函數中有最簡根式，并且被開方式子中的未知數的最高次數2次時，即令未知數為一個恰當的三角函數，利用三角函數的恒等變形將根號去掉，再進一步求出不定積分，此種方法被稱為三角代換法.此情況下若用無理代換法，則行不通.

例3：求？蘩■[1]

解：令x=asint（或acost），則dx=acostdt

原式=？蘩a·cost·acostdt=a■？蘩cos■tdt

=■？蘩（1+cost）dt

=■t+■sin2t+c

=■t+■2sint·cost+c

根據x=asimt（acost）作輔助三角形如下圖：

得原式=■·arcsin·■+■x■+c

4.分部積分法

利用公式？蘩udv=uv-？蘩vdu進行積分的方法被稱為分部積分法，此種方法的關鍵是正確選擇u、v，一般原則是：使？蘩vdu要比？蘩udv更容易積出.

例4：？蘩arcsinxdx=x·arcsinx-？蘩xd（drcsinx）

=xarcsin-？蘩■dx

=xarcsinx-■？蘩（1-x■）■dx■

=xarcsin+■+c

（四）記住一些常用的湊微分的技巧

總之，求不定積分時要針對不同的被積函數選擇適當的方法，當然，有些不定積分不但需要運用一些靈活的做題技巧，而且需要綜合運用多種積分方法才能求出結果.對于大學文科的學生，只要掌握好以上計算方法，基本上就可以了.

參考文獻：

[1]沈聰.高等數學.首都經濟貿易大學出版社，2010.5.

[2]張國楚，張如生.大學文科高等數學.高等教育出版社，2005.12.

[3]四川大學數學系高等數學教研室.高等數學.高等教育出版社，2000.3.

[4]華東師范大學數學系.數學分析.高等教育出版社，1998.6.endprint