淺議一元二次含參不等式的解法

聶向英

解含有參數的一元二次不等式是高中數學的一類重要題型，也是教學的一個重點.要想準確地解決這類問題，就必須從兩個方面入手：強化分類意識，進行合理分類；確定討論對象.一元二次含參不等式的討論主要有三類：討論二次項系數型；討論判別式型；討論根的大小型.本文就這三類題型作分析.

一、討論二次項系數型

當二次項系數為字母時，首先要討論二次項系數是否為零.若為零，則該不等式變為一元一次不等式；若不為零，則解集則與二次項系數的符號有關.

例1：設m∈R，解關于x的不等式：m■x■+2mx-3<0.

分析：該不等式二次項系數為字母，故需對其分m>0，m=0，m<0三類進行討論.

解：（1）m=0時，原不等式變為-3<0，該不等式恒成立，因此{x|x∈R}；

（2）m≠0時，原不等式可分解為（mx+3）（mx-1）<0，對應方程的兩根分別為x■=-■，x■=■，因此

當m>0時，原不等式的解集為{x|-■

當m<0時，原不等式的解集為{x|■

綜上所述：m=0時，{x|x∈R}；

m>0時，原不等式的解集為{x|-■

m<0時，原不等式的解集為{x|■

二、討論判別式型

當二次不等式中有字母，且不易觀察出所對應方程是否有實根時，應對方程有無實根進行討論，即討論判別式.

例2：解關于x的不等式：2x■+ax+2>0

分析：由于△=a■-16不為完全平方式，故不能確定對應方程有無實根，因此需分△>0，△=0，△<0三類討論.

解：△=a■-16

（1）△=0，即a■=16，也即a=±4時，x=-■，原不等式的解集為{x|x∈R且x≠-■}；

（2）△>0，即a>4或a<-4時，對應方程的兩根分別為x■=■（-a-■），x■=■（-a+■），故原不等式的解集為{x|x<■（-a-■）或x>■（-a+■）}；

（3）△<0，即-4

綜上所述：a=±4時，原不等式的解集為{x|x∈R且x≠-■}；

a>4或a<-4時，解集為{x|x<■（-a-■）或x>■（-a+■）}；-4

三、討論兩根的大小型

當一元二次不等式中有字母而導致根的大小不易區別時，應通過做差法，由根的大小確定字母范圍.

例3：解關于x的不等式：x■-2x+1-a■≥0.

分析：由于△=4a■，原不等式可分解為[x-（1-a）][x-（1+a）]≥0，從而對應方程的兩根分別為x■=1-a，x■=1+a，將兩根的大小分為x■>x■，x■=x■，x■

解：（1）當x■>x■時，即a<0時，原不等式的解集為{x|x≤1+a或x≥1-a}；

（2）當x■=x■時，即a=0時，原不等式的解集為{x|x∈R}；

（3）當x■0時，原不等式的解集為{x|x≥1+a或x≤1-a}.

綜上所述：當a<0時，原不等式的解集為{x|x≤1+a或x≥1-a}；

當a=0時，原不等式的解集為{x|x∈R}；

當x■

當一個二次含參不等式中需要同時討論二次項系數，判別式及兩根大小時，只需按二次項系數、判別式、兩根大小的順序討論即可.