基于倒譜和偏相干分析的噪聲源分離方法

楊德森，韓闖，時(shí)勝國(guó)，于樹華，時(shí)潔

(哈爾濱工程大學(xué)水聲技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江哈爾濱150001)

在以往的研究中，利用偏相干方法來(lái)解決噪聲源的分離、識(shí)別等問題已經(jīng)得到了許多專家學(xué)者的認(rèn)同并且獲得了眾多優(yōu)秀的研究成果［1-7］。但傳統(tǒng)的偏相干理論需滿足某些限定條件，限定條件之一是輸入間不存在強(qiáng)相干信號(hào)。當(dāng)測(cè)量結(jié)果中不同測(cè)點(diǎn)間存在強(qiáng)相干信號(hào)時(shí)，視為由其中某一聲源引起而傳播到其他測(cè)點(diǎn)所致。而在實(shí)際的工程應(yīng)用中，往往要分析某一設(shè)備附近各個(gè)位置的振動(dòng)和噪聲，此時(shí)各測(cè)點(diǎn)間必然存在強(qiáng)相干信號(hào)，或者由同一主機(jī)帶動(dòng)的不同設(shè)備之間，也會(huì)存在強(qiáng)相干信號(hào)。限定條件之二是假設(shè)輸入間雖然存在影響，但均為弱耦合。即耦合產(chǎn)生的信號(hào)比原信號(hào)弱。但機(jī)械系統(tǒng)中經(jīng)常出現(xiàn)強(qiáng)耦合情況，因此必須得到輸入間的因果關(guān)系以排除耦合的干擾。另外，如果可以確定輸入間的因果關(guān)系，就可以直接確定輸入排序，這樣避免了循環(huán)排序計(jì)算，從而大大減少了計(jì)算量?，F(xiàn)有的輸入間因果關(guān)系分析方法［8-12］均存在一定缺陷，如對(duì)噪聲敏感、不能分析帶限信號(hào)或不能分頻段分析。

針對(duì)以上問題，本文將倒譜法引入到噪聲源識(shí)別的分析中，綜合倒頻譜分析和希爾伯特變換分析，提出一種判斷輸入之間因果關(guān)系的新方法。該方法首先對(duì)各個(gè)輸入間的互譜做倒譜分析，準(zhǔn)確直觀地判斷輸入間的因果關(guān)系。再結(jié)合希爾伯特變換分析，可以確定某輸入除了由其他輸入傳遞的能量之外，自身是否含有有用的信息，即該輸入是否為重復(fù)測(cè)量。最后根據(jù)上述方法對(duì)輸入進(jìn)行排序同時(shí)剔除重復(fù)信息，并以各輸入的偏相干輸出譜為依據(jù)，通過層次分析方法實(shí)現(xiàn)對(duì)強(qiáng)相干噪聲源貢獻(xiàn)量的判定。另外，上述方法意在解決偏相干分析中輸入間因果關(guān)系問題以及分離強(qiáng)相干聲源的問題，因此顯然也適用于無(wú)因果關(guān)系或非相干聲源的情況。

1 利用倒譜和偏相干理論分離相干噪聲源

在噪聲識(shí)別、量化過程中，噪聲測(cè)量系統(tǒng)均可簡(jiǎn)化為一個(gè)或多個(gè)多輸入單輸出系統(tǒng)。多輸入單輸出系統(tǒng)模型見圖1。

圖1 多輸入單輸出系統(tǒng)模型Fig.1 M ultiple-input/single-output model

圖中:xi(t)是輸入量，Hiy(f)是輸入對(duì)輸出的傳遞函數(shù)，Hij(f)是輸入間的傳遞函數(shù)，y(t)是系統(tǒng)輸出的測(cè)量值，n(t)是混入的噪聲。系統(tǒng)中輸入間存在相互影響，并且在某些頻率下輸入間可能存在強(qiáng)相干情況。

對(duì)于上述系統(tǒng)，利用倒譜和偏相干理論對(duì)噪聲源分離、量化的步驟為:

1)分析比較各輸入和輸出的自功率譜，找到感興趣的頻率范圍;

2)分析輸入間的相干函數(shù);

3)對(duì)于強(qiáng)相干的輸入，通過倒頻譜分析和希爾伯特變換分析確定因果關(guān)系，將由其他輸入引起的輸入排序靠后或剔除;

4)利用基于偏相干輸出譜的層次分析方法分析確定各輸入對(duì)輸出的貢獻(xiàn)量。方法流程圖見圖2。

圖2 判斷各輸入對(duì)輸出貢獻(xiàn)量的流程圖Fig.2 Identification flow chart of inputs contribution to output

1.1 基于倒譜和希爾伯特變換的輸入間因果關(guān)系判斷

在偏相干分析中，輸入間的因果關(guān)系至關(guān)重要。準(zhǔn)確的因果關(guān)系判斷不僅可以避免強(qiáng)耦合帶來(lái)的影響，更能為輸入排序提供依據(jù)，有效降低計(jì)算量，讓偏相干分析更加快速有效。為得到準(zhǔn)確的因果關(guān)系，本文引入倒頻譜分析［13-17］和希爾伯特變換分析［18］。

倒頻譜是對(duì)功率譜Sx(f)的對(duì)數(shù)值做傅里葉逆變換的結(jié)果，用Cp(τ)表示:

式中:F-1［］表示傅里葉逆變換;倒頻譜Cp(τ)的自變量τ被稱作倒頻率，與相關(guān)函數(shù)Rx(τ)的自變量τ物理意義相同，都具有時(shí)間的量綱。

如果信號(hào)中存在混響，那么在倒頻譜上可以很清晰地分辨，并可以確定混響時(shí)間。對(duì)于復(fù)雜噪聲源，本文將兩聲源的互譜做倒譜分析。如果兩聲源間存在因果關(guān)系，則可以很明顯地判別出來(lái)，并能確定信號(hào)的時(shí)延。由于兩聲源做互譜的先后順序不同，會(huì)存在相位變化的問題，之后的倒譜也就隨之存在正負(fù)的區(qū)別。根據(jù)此特點(diǎn)，先做輸入1與輸入2的互譜倒譜，再做輸入2與輸入1的互譜倒譜，相互比較之后便可確定兩輸入的因果關(guān)系。

以帶限信號(hào)為例:

式中:G(fm，fn)(f)表示上下限頻率分別為fm和fn的帶限信號(hào)，N是混入的噪聲，X1是x1(t)的傅里葉變換，f1=100 Hz，f2=500 Hz，f3=800 Hz，f4=1 600 Hz，系統(tǒng)的頻響函數(shù):

式中:0.01即是信號(hào)的傳遞時(shí)延。顯然，輸入間存在強(qiáng)耦合，在100～500 Hz頻帶內(nèi)，x2的能量全部來(lái)自x1，x3的一部分能量來(lái)自x1。

對(duì)x2與x1的互譜C21、x1與x2的互譜C12分別作倒譜分析，結(jié)果見圖3。

圖3 x1與x2之間的互譜倒譜Fig.3 Cross cepstrum s between x1 and x2

根據(jù)圖3可以得到以下結(jié)論:

1)C12與C21的倒譜大小基本相同但相位相反，因此可以通過比較C12與C21的倒譜確定因果關(guān)系。

2)互譜倒譜的各個(gè)尖峰之間的時(shí)間間隔相等，并且該時(shí)間間隔與兩輸入間由于系統(tǒng)傳遞所帶來(lái)的時(shí)延相等，互譜倒譜的時(shí)間分辨力顯然與采樣頻率有關(guān)，Δτ=1/fs。如果要分辨小時(shí)延，就要提高采樣頻率。

在利用倒譜確定輸入間因果關(guān)系后，還要進(jìn)一步確定，除由其他輸入傳遞的信號(hào)外，該輸入本身是否存在其他信號(hào)。根據(jù)柯西積分定理可知，因果系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)的實(shí)部和虛部是一對(duì)希爾伯特變換對(duì)。設(shè)因果系統(tǒng)的頻響函數(shù):

那么實(shí)部和虛部的關(guān)系為

仍以上文的帶限信號(hào)為例，對(duì)x2與x1的互譜C21，x3與x1的互譜C31分別作倒譜分析，結(jié)果見圖4。

圖4 C21與C31的倒譜Fig.4 Cepstrums of C21 and C31

可見僅用倒譜分析只能確定它們之間存在因果關(guān)系卻無(wú)法判斷x2和x3本身是否存在與x1同頻的信號(hào)。此時(shí)可根據(jù)希爾伯特變換對(duì)條件來(lái)判斷輸入間是否為單純的因果關(guān)系。如果在某一頻帶內(nèi)，兩輸入間的傳遞函數(shù)滿足希爾伯特變換對(duì)關(guān)系，說明其中一個(gè)輸入的信息完全來(lái)自另一個(gè)輸入;如果不滿足則說明該輸入本身含有另外的信息。

圖5 傳遞函數(shù)的希爾伯特分析Fig.5 Hilbert analysis of the transfer function

從圖5(a)可以判斷，H＇12在100～500 Hz之間滿足希爾伯特變換對(duì)關(guān)系，即x2自身不含100～500 Hz的信號(hào)。而圖5(b)則不同，雖然可以通過圖4判斷x1與x3之間存在因果關(guān)系，但H＇13在100～500 Hz之間不滿足希爾伯特變換對(duì)關(guān)系，說明x3自身同樣含有100～500 Hz的信號(hào)。因此在100～500 Hz頻帶內(nèi)做偏相干分析時(shí)，就可將x1排序靠前，將x2剔除。

1.2 基于偏相干輸出譜的層次分析

根據(jù)條件譜分析方法［19］，可以將圖1所示多輸入單輸出系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成條件輸入的多輸入單輸出系統(tǒng)，見圖6。其中 Xq·(q-1)!表示去掉前(q-1)個(gè)輸入的線性影響后第q個(gè)輸入的傅里葉變換，Lqy是根據(jù)Xq·(q-1)!預(yù)測(cè)的最優(yōu)線性系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)。

式中:下標(biāo)·m!表示去掉前m個(gè)輸入影響以后的值，第r個(gè)輸入與輸出的偏相干函數(shù)為

第r個(gè)輸入對(duì)輸出的偏相干輸出譜為

偏相干輸出譜具有與功率譜相同的物理意義。

圖6 條件輸入的多輸入單輸出系統(tǒng)Fig.6 Multiple-input/single output model for conditioned inputs

噪聲源的貢獻(xiàn)量即在某一頻帶內(nèi)各個(gè)噪聲源的能量占總噪聲能量的比例。利用偏相干輸出譜計(jì)算貢獻(xiàn)量可有效避免由聲源的相干性帶來(lái)的干擾。

表1 以ΔS為依據(jù)的賦值規(guī)則Table 1 Assignment rules according toΔS

層次分析法主要用于分析多因素的權(quán)重問題.該方法將多個(gè)因素進(jìn)行兩兩比較并根據(jù)不同的規(guī)則形成判斷矩陣。當(dāng)判斷矩陣滿足一致性條件時(shí)，利用特征根法即可計(jì)算出各因素對(duì)總體的影響程度。關(guān)于層次分析法詳細(xì)的介紹以及構(gòu)造判斷矩陣的方法等，可參考文獻(xiàn)［20-21］。在聲源貢獻(xiàn)量的分析中，層次分析法有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)。

在本文中，采用1～9標(biāo)度，并把層次分析法中的“同樣重要”到“極端重要”量化。在構(gòu)建判斷矩陣時(shí)，以輸入間偏相干輸出譜為比較對(duì)象，將各輸入的偏相干輸出譜從小到大排列并按分貝表示，最小的賦值1，其余的按相鄰2個(gè)值的差ΔS的大小進(jìn)行賦值。賦值規(guī)則詳見表1。

以上考慮都是基于大量仿真實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。在存在相干聲源時(shí)，偏相干輸出譜由于去掉了聲源間的線性影響，會(huì)變得非常小。但它在物理上仍然是有意義的，在數(shù)學(xué)上仍然是可計(jì)算的。這也是表1中以ΔS作為賦值條件的原因。

2 仿真分析

按圖1所示，對(duì)三輸入單輸出系統(tǒng)進(jìn)行仿真。輸入均為帶限白噪聲，輸入間存在強(qiáng)耦合，并且在某些頻段內(nèi)輸入間相干函數(shù)接近1。將各輸入表示為

式中:g(fm，fn)(t)表示上下限頻率分別為fm和fn帶限噪聲的時(shí)域信號(hào)，本文中利用白噪聲經(jīng)過帶通濾波器得到，為達(dá)到強(qiáng)相干的效果，文中用同一高斯白噪聲經(jīng)過不同帶通濾波器再混入噪聲來(lái)模擬各輸入;n(t)是噪聲;h13(t)是x1(t)到x3(t)的系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)，它的傅里葉變換為

此時(shí)x1和x3間強(qiáng)耦合。輸出

式中:hiy是各輸入到輸出的系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，均設(shè)為1。

首先對(duì)各輸入和輸出做功率譜分析，確定感興趣頻率范圍，見圖7。

通過觀察比較可知，噪聲基本在40 dB以下，而分析的頻率范圍可分為100～400 Hz，400～500 Hz，500 ～1 000 Hz。

下面分析各輸入的相干函數(shù)，判斷輸入間是否存在強(qiáng)相干情況，見圖8。

圖7 輸入和輸出的自功率譜Fig.7 Power spectrums of inputs and output

圖8 各輸入間的相干函數(shù)Fig.8 Coherence functions between each input

分析發(fā)現(xiàn)各輸入間均存在強(qiáng)相干的情況，因此對(duì)各輸入做互譜倒譜分析，見圖9。

可知在3個(gè)輸入之間，x1和x3間存在因果關(guān)系。根據(jù)1.1節(jié)中的互譜倒譜分析方法，可以確定x3中含有x1的信號(hào)能量。下面通過希爾伯特分析來(lái)確定x3除含有x1的部分能量外，是否還含有獨(dú)立的能量信息。

圖9 各輸入間的互譜倒譜Fig.9 Cross cepstrum s between each inputs

圖10的希爾伯特分析Fig.10 Hilbert analysis of

根據(jù)圖7可知x1和x3中所含信號(hào)的頻率均在100～1 000 Hz范圍內(nèi).而比較圖10可以發(fā)現(xiàn)，在100～400 Hz和500～1 000 Hz范圍內(nèi)，H＇13實(shí)部和虛部的希爾伯特變換非常接近。因此可以判斷雖然x3的能量大于x1，但x3在上述頻段中的信號(hào)完全來(lái)自x1，本文在處理中選擇將其剔除。而400～500 Hz范圍內(nèi)的信號(hào)是x3自身就存在的。根據(jù)圖9(b)，可知信號(hào)由x1傳到x3的時(shí)間為0.000 1 s。若系統(tǒng)中聲波傳播速度約為6 000 m/s。那么，x1與x3測(cè)點(diǎn)之間的距離約為0.6 m。這一結(jié)果可以在實(shí)際的工程分析中作為輔助分析的依據(jù)。

下面在不同頻段內(nèi)，利用各輸入的偏相干譜做層次分析，以確定各自的貢獻(xiàn)量。表2～4給出了各輸入對(duì)輸出的判斷矩陣，表中給出判斷矩陣的一致性指數(shù)CR均為0。根據(jù)表2～4，可以得到不同頻率范圍內(nèi)各聲源對(duì)輸出的貢獻(xiàn)量，同時(shí)根據(jù)原始信號(hào)給出了理論值，見表5。

表2 100～400 Hz帶寬內(nèi)輸入對(duì)輸出的判斷矩陣Table2 Inputs to the output judgmentmatrix over 100～400 Hz

表3 400～500 Hz帶寬內(nèi)輸入對(duì)輸出的判斷矩陣Table3 Inputs to the output judgment matrix over 400～500 Hz

表4 500～1 000 Hz帶寬內(nèi)輸入對(duì)輸出的判斷矩陣Table4 Inputs to the output judgment matrix over 500～1000Hz

表5 不同頻率范圍內(nèi)各輸入對(duì)輸出的貢獻(xiàn)量Table5 Contribution of each input to the output overeach frequency range

通過比較表5中的分析結(jié)果和理論值可知，以上對(duì)噪聲源貢獻(xiàn)量分析的方法可行、有效。

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

在雙層圓柱殼中進(jìn)行了噪聲源量化實(shí)驗(yàn)。模型中的激勵(lì)源為疏水泵。疏水泵通過隔振浮筏與艙壁相連。測(cè)點(diǎn)1和2分別在疏水泵電機(jī)機(jī)腳右上和左下位置;測(cè)點(diǎn)3和4分別在疏水泵機(jī)腳右上和左下位置;測(cè)點(diǎn)5～8分別在筏架隔振器上端的右后、右前、左后和左前位置。測(cè)點(diǎn)9在模型底端的艙壁位置。模型示意圖及測(cè)點(diǎn)位置見圖11、12。

圖11 模型正視圖Fig.11 Front view of themodel

圖12模型俯視圖Fig.12 Top view of the model

由于各測(cè)點(diǎn)均由同一激勵(lì)源引起，所以必然是強(qiáng)相干的。以測(cè)點(diǎn)1、2和測(cè)點(diǎn)3、4為例，它們的相干函數(shù)見圖13。

根據(jù)測(cè)點(diǎn)1、2的自功率譜，可確定疏水泵的基頻為50 Hz。100 Hz信號(hào)較強(qiáng)，以100 Hz單頻信號(hào)為例分析各輸入的貢獻(xiàn)量。根據(jù)各輸入的偏相干輸出譜建立的判斷矩陣以及各輸入的貢獻(xiàn)量見表6～8。

圖13 測(cè)點(diǎn)間的相干函數(shù)Fig.13 Coherence functions between inputs

圖14 測(cè)點(diǎn)的自功率譜Fig.14 Power spectrum s of inputs

表6 測(cè)點(diǎn)1、2對(duì)測(cè)點(diǎn)3的判斷矩陣及貢獻(xiàn)量Table 6 Judgment matrix and contribution of measuring points1＆2 to point 3

表7 測(cè)點(diǎn)3、4對(duì)測(cè)點(diǎn)5的判斷矩陣及貢獻(xiàn)量Table 7 Judgment matrix and contribution of measuring points 3＆4 to point 5

表8 測(cè)點(diǎn)5～8對(duì)測(cè)點(diǎn)9的判斷矩陣及貢獻(xiàn)量Table 8 Judgment matrix and contribution of measuring points 5～8 to point 5

結(jié)果表明，在疏水泵電機(jī)機(jī)腳中，右上的機(jī)腳位置振動(dòng)較強(qiáng);在筏架隔振器上端，左后位置振動(dòng)最強(qiáng)，右前位置振動(dòng)最弱。結(jié)果與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象相吻合。

4 結(jié)論

本文針對(duì)目前偏相干理論尚不適用的兩種情況——輸入間存在強(qiáng)耦合的情況和存在強(qiáng)相干聲源的情況展開研究，并進(jìn)行了仿真計(jì)算和實(shí)驗(yàn)分析，初步得到以下結(jié)論:

1)利用互譜倒譜分析方法和希爾伯特變換分析，可以較好的獲得各輸入間的因果關(guān)系，從而能有效避免輸入間耦合帶來(lái)的影響，同時(shí)能在偏相干分析中得到正確的輸入排序以減少計(jì)算量。

2)在分析相干聲源的貢獻(xiàn)量問題時(shí)，基于偏相干輸出譜的層次分析方法有效可行。

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