例析幾何概型中的常見考點

黃遠生

幾何概型的概率公式中的“測度”只與大小有關，而與形狀和位置無關. 在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法.

考點1 與長度有關的幾何概型

例1 在半徑為1的圓內一條直徑上任取一點，過這個點作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內接的等邊三角形邊長的概率是 .

解析 記事件[A]為“弦長超過圓內接等邊三角形的邊長”， 如圖.

不妨在過等邊三角形BCD的頂點B的直徑BE上任取一點F作垂直于直徑的弦. 當弦為CD時，就是等邊三角形的邊長.

弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF，

而OF=OC·sin30°=[12]，

由幾何概型公式得，[P（A）=12×22=12].

答案 [12]

點撥 （1）與線段長度有關的幾何概型：利用幾何概型公式求解，直接利用兩線段的長度之比即可.（2）與曲線長度有關的幾何概型：利用幾何概型公式，求曲線的長度之比即可.（3）與時間有關的幾何概型：利用幾何概型公式，求時間段之比即可.（4）與不等式有關的幾何概型：利用幾何概型公式，求兩實數間的距離之比即可.

考點2 與角度有關的幾何概型

例2 如圖所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高[AD=3]，在∠BAC內作射線AM交BC于點M，求BM<1的概率.

解析 因為∠B=60°，∠C=45°，所以∠BAC=75°.

在Rt△ABD中，[AD=3]，∠B=60°，

所以[BD=ABtan60°=1]，∠BAD=30°.

記事件N為“在∠BAC內作射線AM交BC于點M，使BM<1”，

則可得∠BAM<∠BAD時事件N發生.

由幾何概型的概率公式，得[P（N）=30°75°=25].

點撥 當涉及射線的轉動，扇形中有關落點區域問題時，應以角的大小作為區域度量來計算概率，切不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段.

考點3 與面積有關的幾何概型

例3 已知不等式組[x-y≥0，x+y≥0，x≤a（a>0）]表示平面區域[M]，若點[P（x，y）]在所給的……