基于最小函數偏差的圓弧及橢圓插補算法

帥旗

【摘 要】對于圓弧和橢圓在步進驅動中的插補計算，傳統逐點比較法和數字積分法，存在插補過程計算步驟較多，誤差較大，機床進給效率較低問題，提出了一種最小偏差脈沖增量的插補方法，這種方法通過對插補函數偏差值進行計算及比較，并選擇最小偏差方向為插補方向，同時給出了插補計算的推導算式，通過一系列實例驗算比較，驗證了這種插補方法具有較好的插補計算精度和效率。

【關鍵詞】最小偏差；插補計算；數控技術；步進驅動

0 引言

數控機床的進給運動需要由數控系統發指令給進給軸伺服控制系統，伺服控制系統再驅動電機等執行部件。當機床需實現直線、圓弧、橢圓或其他曲線軌跡運動時，需多個坐標軸聯動。多個坐標軸聯動由數控系統經過插補運算，再生成各進給軸的控制指令。對于經濟型數控機床，一般采用開環控制步進驅動方式[1]，由于步進系統通過脈沖信號進行控制，所以開環步進系統通過脈沖增量方式進行插補運算。傳統脈沖增量方式有逐點比較法、數字積分法[2]。逐點比較法、數字積分法對圓弧形狀進行插補計算時，存在計算步驟較多，插補誤差較大，機床進給效率低下等問題，也難以對橢圓形狀進行插補計算。相比較逐點比較法和數字積分法，最小偏差法有較好的插補充精度[3]，但其應用于圓弧及橢圓計算較為復雜。如文獻[4-5]其提出了應用于圓弧插補的最小偏差計算方法，對橢圓插補難以適用。文獻[6]提出了橢圓的一種最小偏差插補方法，其計算過程較為復雜。本文提出一種的基于函數最小偏差值的快速推導算式，不但能完成圓弧的插補計算，同時能完成橢圓的插補計算。

1 插補計算原理

對于圓弧的計算式為x2+y2=R2，橢圓的計算式為x2/a2+y2/b2=1，可把圓弧和橢圓統一為式：c1x2+c2y2=c3，對于插補坐標起長分別是△x和△y。如在插補點（xi，yi）處進給，存在只X方向進給△x，只Y方向進給△y，同時進給△x、△y三種情況。如只進給△x則有：

Fi+1|？駐x=Fi+2c1？駐xxi+c1？駐x2（1）

如只進給△y則有：

Fi+1|？駐y=Fi+2c2？駐yyi+c2？駐y2（2）

如同時進給△x、△y有：

Fi+1|？駐x，？駐y=Fi+2c1？駐xxi+2c2？駐yyi+c1？駐x2+c2？駐y2（3）

若點（xi，yi）落于曲線上時有Fi（xi，yi）=0，當選擇插補方向時候可以通過比較（1）、（2）、（3）式使Fi為最小作為方向選擇。如表1所示插補計算時用J1、J2、J3分別存儲Fi+1|△x、Fi+1|△y和Fi+1|△x，△y值，用δi存儲Fi值。如X、Y軸每次進給△x、△y為單位步長，以順時針圓弧插補為例，則在四象限的有：（表1）。

2 實例驗證

2.1 圓弧插補計算舉例

對于第一象限圓弧x2+y2=25設起點坐標為（0，5）終點坐標為（5，0）圓心坐標為（0，0），進行順時針插補，采用本文所述方法插補過程如表2所示：

表2 第一象限圓弧插補計算舉例

2.2 橢圓插補計算舉例

對于第三象限橢圓9x2+25y2=225，插補設起點坐標為（0，-3）終點坐標為（-5，0）圓心坐標為（0，0），進行順時針插補，采用本文所述方法插補過程如表3所示。

3 插補方法計算結果比較

對于圓弧插補，因為四個象限圓弧形狀具有對稱性，本文以第一象限的順時針圓弧為例，將本文所提的插補方法與逐點比較法和數字積分法等方法對于圓弧的插補結果進行比較，比較內容包括插補計算步驟數NC、插補點最大函數偏差值maxFi。其中表（下轉第267頁）4為圓弧方程x2+y2=25起點坐標為（0，5），終點坐標為（5，0），圓心坐標為（0，0）圓弧插補計算結果比較；表5為圓弧方程x2+y2=144起點坐標為（0，12），終點坐標為（12，0），圓心坐標為（0，0）圓弧插補計算結果比較；表6為圓弧方程x2+y2=10000起點坐標為（0，100），終點坐標為（100，0），圓心坐標為（0，0）圓弧插補計算結果比較。

表6 圓弧插補計算結果比較（x2+y2=10000）

4 結論

通過以上實例插補計算并與其他插補方法進行比較，此插補方法可以完成圓弧及橢圓插補，具有插補計算次數少、計算效率高、計算偏差小的特點，適合應用于需進行快速控制的步進驅動系統。

【參考文獻】

[1]劉寶廷， 程樹康，等.步進電動機及其驅動控制系統[M].哈爾濱工業大學出版社，1997.

[2]陳富安.數控機床原理與編程[M].西安電子科技大學出版社，2004.

[3]李功俊，任玉田，王宏甫.數控系統中的插補新算法偏差比較法[J].北京理工大學學報，1993，13（1）：55-63.

[4]王太勇，趙巍，李宏偉.快速最小偏差插補算法[J].組合機床與自動化加工技術，2003，6（1）：38-40.

[5]王光第，申莉莉.基于最小偏差插補法的圓弧算法研究[J].天津工程師范學院學報，2005，15（1）：42-45.

[6]趙巍，王太勇，李宏偉.最小偏差橢圓插補方法誤差分析[J].機床與液壓，2005，1（1）：20-21.

[責任編輯：楊玉潔]