夏—王定理在考研題中的應用

【摘 要】設X是一個連續(xù)型隨機變量，其密度函數為pX（x），g（x）是一個連續(xù)函數， 文獻[1]給出了用積分變換法求連續(xù)型隨機變量X的函數g（X）的密度函數的一個定理，文獻中稱為夏-王定理（見文獻[2]）， 本文用考研題說明了夏-王定理的應用.

【關鍵詞】夏-王定理；連續(xù)型隨機變量；密度函數；用積分變換法求連續(xù)型隨機變量函數的密度函數；碩士研究生考試

0 引言

設X是一個連續(xù)型隨機變量，其密度函數為pX（x），g（x）是一個連續(xù)函數. 如何求X的函數g（X）的密度函數是一個常見的問題. 經典的方法有兩種， 即 “分布函數法”和公式法，具體的細節(jié)見文獻[1-3].

2013年，夏天和王學仁（見文獻[4]）給出了一個定理，文獻中稱為夏-王定理（見文獻[5]），根據此定理，可以用積分變換法來求g（X）的概率密度函數.該方法比經典的兩種方法更簡捷.本文將用夏-王定理對考研數學中的試題來進行分析求解.

為了后面敘述的方便， 我們作一些規(guī)定：用〈α，β〉表示區(qū)間（可以是開區(qū)間，可以是閉區(qū)間，也可以是半開半閉區(qū)間）；由于定積分的值與被積函數在個別點上的值無關，故Y=g（X）的概率密度的表達式在某些點處的值可以不唯一.下面陳述夏-王定理[文獻4].

夏-王定理：設X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數pX（x）僅在 （a，b）上有非零值（這里a可以取-∞，b可以取+∞.如果可將（ii）由（1）式， 可令

方法被稱為為“積分變換法”.

1 用夏-王定理來求解考研試題

下面，舉例來說明用夏-王定理在考研試題中的應用.所有的試題見文獻[6].

例2 （1988年數學一試題）假設隨機變量X的概率密度函數

【參考文獻】

[1]夏樂天.應用概率統(tǒng)計[M].北京：機械工業(yè)出版社，2008：95.

[2]蘇淳.概率論[M].2版.北京：科學出版社，2010.

[3]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統(tǒng)計[M].4版.北京：高等教育出版社，2008.

[4]夏天，王學仁.用積分變換法求連續(xù)型隨機變量函數的密度函數[M].數學的的實踐與認識，2013，43（16）：262-270.

[5]夏天.關于用積分變換法求連續(xù)性隨機變量函數的密度函數的注記[J].科教文匯，2013，11（下旬）： 2013-11-30：51-52.

[6]全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學試題[OL].中國教育在線www.edu.cn.

[責任編輯：楊玉潔]