自適應變系數EV模型系數函數估計的模擬

陳汝杰　陳石生　周英晚　周麗

【摘 要】本文主要介紹了自適應變系數EV模型的由來，并討論一種特殊形式的自適應變系數EV模型，然后利用MATLAB將兩步核估計出來的結果進行了檢驗.

【關鍵詞】變系數EV模型；參數估計；MATLAB軟件

模型是現在很流行的一個詞，在各行各業中，只要涉及數據，就要建立模型，每年國家都會組織數學建模競賽，目的在于用數學模型解決現實生活中的實際問題.現在最流行的就是線性模型，非線性模型，變系數模型等等，這里在現有的基礎上給出一類新的模型-自適應變系數EV模型.

1 自適應變系數EV模型

1.1 自適應變系數模型

變系數模型（Varying-coefficient Models）由Cleveland Grosse and Shyu（1991）在將局部回歸方法從一元推廣到多元的情形時提出.Jianqing Fan，QIweiYao和Zongwu Cai（2000）提出了自適應變系數模型并對其性質進行了研究. 在實踐中，該模型已被廣泛地應用于生物、醫學、經濟學、金融保險等方面.

變系數模型（Varying-coefficient model）一般形式為：

該模型中的系數均為函數，其他許多模型如：線性模型、部分線性模型、可加模型以及動態廣義線性模型等都可以看成變系數模型特殊形式.例如：

的獨立同分布（i.i.d）的隨機變量.gj（·）（j≤p）是有界連續、足夠光滑的函數，且gj（·）≠0（j=0，1，…，p）.

1.2 EV模型

EV（errors-in-variables）模型，又稱測量誤差（measurement error）模型，其一般形式如下：

由于EV模型的特殊結構，在討論問題時考慮了測量誤差，對它的研究要比經典的回歸模型（4）困難，EV模型的參數估計的存在性及其相合性問題比經典的回歸模型要復雜的多.

Stone（1977），OHagan（1978）[2]和Cleverland（1979）討論了自適應模型. 關于自適應變系數模型的討論還處在起步階段. 2003年，Jianqing Fan[1]等研究了這類模型； 將自適應變系數模型與EV模型結合起來就得到了一類新的變系數EV模型，關于自適應變系數EV模型研究的文章目前還少見.

2 自適應變系數EV模型系數函數估計及模擬

2.1 自適應變系數EV模型系數函數估計

本文我們考慮如下形式的自適應變系數EV模型：

態隨機變量，且ε，e與x相互獨立.我們使用Epanechnikov核函數.

窗寬取固定窗寬hn=0.01.樣本數據我們用Matlab隨機產生樣本容量n=1000.

（1）第一步核估計模擬[5]的結果：

t0=linspace（0，1，100）；%guji de shijian dian lie向量

n=1000；

t=normrnd（0，1，n，1）；%suiji shijian dian lie向量

x1=normrnd（5，1，n，1）；%bian liang yi lie向量

x2=normrnd（1，1，n，1）；%bian liang er lie向量

u1=normrnd（0，1，n，1）；%lie向量

u2=normrnd（0，1，n，1）；%lie向量

e=normrnd（0，0.1，n，1）；%lie向量

X1=x1+u1；

X2=x2+u2；

for i=1：n；

Y0（i）=sin（32*t（i））*X1（i）+exp（t（i））*X2（i）+e（i）；

i=i+1；

end；

Y=Y0'；

l=ones（n，1） ；I=eye（n）； %gei chu danwei xiangliang he danwei juzhen

X=X2；

S=X'*X；

P=X*（S^（-1））*X'；

dn=n+l'*P*l；

a=dn^（-1）*（l'*（I-P）*Y）；

b=（S^（-1））*X'*Y-（S^（-1））*X'*l*a；

for q=1：100；

hn=1/100；

for r=1：n；

T（r）=（t0（q）-t（r））/hn；

if （T（r）>-1） & （T（r）<1）

K（r）=（3/4）*（1-（T（r））^2）；

else

K（r）=0；

end；

end；% gei chu he hanshu

k0=0；

for j=1：n

k0=K（j）+k0；j=j+1；

end；% gei chu he hanshu de he

for m=1：n；

wn（m）=K（m）/k0；

end；

b0（q）=0；%dui b0 chushi zhi fu zhi

for r=1：n；

b0（q）=wn（r）*（Y（r）-X（r）'*b）/5+b0（q）；

r=r+1；

end；

q=q+1；

end；

b0；

y2=sin（32.*t0）；

cha=[t0'，y2'，b0'，b0'-y2'，]

plot（t0，y2，t0，b0，'r*'，'MarkerSize'，5）；

t0=linspace（0，1，150）；%guji de shijian dian lie向量

n=1000；%yang ben de rong liang

t=normrnd（0，1，n，1）；%suiji shijian dian lie向量

x1=normrnd（5，1，n，1）；%bian liang yi lie向量

x2=normrnd（1，1，n，1）；%bian liang er lie向量

u1=normrnd（0，1，n，1）；%lie向量

u2=normrnd（0，1，n，1）；%lie向量

e=normrnd（0，1，n，1）；%lie向量

X1=x1+u1；%di yi ge bian liang de chu shi zhi

X2=x2+u2；%di er ge bian liang de chu shi zhi

for i=1：n；

Y0（i）=sin（32*t（i））*X1（i）+exp（t（i））*X2（i）+e（i）；

i=i+1；

end；

Y=Y0'；%bian liang Y de chu shi zhi

l=ones（n，1） ；I=eye（n）； %gei chu danwei xiangliang he danwei juzhen

X=X2；

S=X'*X；

P=X*（S^（-1））*X'；

dn=n+l'*P*l；

a=dn^（-1）*（l'*（I-P）*Y）；% a de gu ji zhi

b=（S^（-1））*X'*Y-（S^（-1））*X'*l*a；%xi shu b de gu ji zhi

for q=1：n； %dui 150 ge shi jian dian jin xing gu ji

hn=1/100； %chuang kuan

for r=1：n；

T（r）=（t（q）-t（r））/hn；

if （T（r）>-1） & （T（r）<1）

K（r）=（3/4）*（1-（T（r））^2）；

else

K（r）=0；

end；

end；% gei chu he hanshu

k0=0；

for j=1：n

k0=K（j）+k0；j=j+1；

end；% gei chu he hanshu de he

for m=1：n；

wn（m）=K（m）/k0；

end； % gei chu quan zhong

b0（q）=0；%dui b0 chushi zhi fu zhi

for r=1：n；

b0（q）=wn（r）*（Y（r）-X（r）'*b）/5+b0（q）；

r=r+1；

end；

q=q+1；

end；

b0；%xi shu han shu de di er bu gu ji zhi

for h=1：n

g（h）=X1（h）*b0（h）；

h=h+1；

end；

g；%gei chu yi zhong ti dai

b1=（S^（-1））*X'*（Y0-g）'；%gei chu xi shu de di er bu gu ji

for q1=1：150； %dui 150 ge shi jian dian jin xing gu ji

hn1=1/100； %chuang kuan

for r1=1：n；

T1（r1）=（t0（q1）-t（r1））/hn1；

if （T1（r1）>-1） & （T1（r1）<1）

K1（r1）=（3/4）*（1-（T1（r1））^2）；

else

K1（r1）=0；

end；

end；% gei chu he hanshu

k10=0；

for j1=1：n

k10=K1（j1）+k10；j1=j1+1；

end；% gei chu he hanshu de he

for m1=1：n；

wn1（m1）=K1（m1）/k10；

end； % gei chu quan zhong

b10（q1）=0；%dui b0 chushi zhi fu zhi

for r1=1：n；

b10（q1）=wn1（r1）*（Y（r1）-X（r1）'*b1）/5+b10（q1）；

r1=r1+1；

end；

q1=q1+1；

end；

b10；%xi shu han shu de gu ji zhi

%cha=[b1'，b10'，b1'-b10']；

y2=sin（32*t0）；%yi zhi de xi shu han shu

cha=[t0'，y2'，b10'，b10'-y2'，] %qiu chu guji zhi yu zhen shi zhi de cha

plot（t0，y2，t0，b10，'r*'，'MarkerSize'，5）% hua chu tu xing

【參考文獻】

[1]Fan，J.Q.&O.w.Yao&Z.W，Cai.Adaptive Varying-coefficient linear models [J].RStatist.SOC.B， 2003，65（1）：57-80.

[2]周麗，張智順，周道軍.自適應變系數EV模型系數函數的估計[J].湖南文理學院學報：自然科學版，2010，22（3）：3-4，11.

[3]周麗，張智順，許健，劉萬榮.自適應變系數EV模型系數函數中β的估計[J].吉首大學學報：自然科學版，2009，30（2）：17-18.

[4]王沫然.MATLAB與科學計算[M].北京：電子工業出版社，2006.

[5]李澤華，劉萬榮.變系數EV模型系數參數的一步核估計[J].湖南師范大學學報：自然科學版，2006（1）：14-17.

[責任編輯：楊玉潔]