基于拱形函數的優化洛倫茲曲線

李華棟

【摘 要】洛倫茲曲線模型是當今研究收入及分配方面十分熱門的研究方向之一。本文利用拱形函數對比，通過數學推導給出了洛倫茲曲線的新模型。并采用當前通用數據，將本文中的模型應用效果與文獻中采取方法的應用效果進行比較，通過均方誤差、平均絕對誤差、最大絕對誤差三個標準的比較，說明新模型對現有模型有較大的優化效果。從而證明本文提出的洛倫茲曲線模型有著非常重要的應用價值，適用于我國收入分配的研究。

【關鍵詞】洛倫茲曲線；拱形曲線；收入分配

0 引言

洛倫茲曲線模型是研究收入及分配的理論與應用中十分重要的模型，它的作用是從分組數據出發構建收入及分配所形成的統計分布。世界上一些發達國家已創立收入及分配的抽樣數據庫，所以可以使用例如Kernel法生成收入及分配的統計分布。Kernel法的有點為可以體現大樣本的收斂性，也就是說當樣本量趨向于無窮時，所對應的統計分布依據概率可以收斂于總體的統計分布。但是對于大部分國家來說，可以使用的收入分配數據只是分組數據，這類數據中只能給出洛倫茲曲線上一些個別的點（ 一般只有十個左右）。經濟學界對此的研究已經進行多年，大家試圖尋找更加合適的模型可以更加接近這種分組數據，從而可以得到相應的統計分布，進一步能使用經濟理論中已經得到證明的理論和方法進行收入及分配的分析。國內有關洛倫茲曲線模型的研究還十分稀少，本文在直接求解洛倫茲曲線比較困難的情況下，本文根據45°直線與洛倫茲曲線的差值圖像形似拱形的特征，首先構造拱形曲線方程，進而構造了新的洛倫茲曲線模型

通過與其它10種模型比較得到在均方誤差、平均絕對誤差、最大絕對誤差三種評價標準下，新的洛倫茲曲線模型均優于其它10種模型。

1 洛倫茲曲線的研究現狀及進展

早期的洛倫茲曲線模型研究始于1970年代，至今已有40余年的歷史，其中較為有名的是帕累托分布對應洛倫茲曲線：

該模型的推出推動了美國的收入及分配的領域研究，相關研究可見于Basmann 等（1991）[4]。Kiwani（1986）提出了一種新型的多參數洛倫茲曲線模型：

通過實證發現（5）、（6）兩式的模型精度十分高，這增加了相關領域學者尋找更優化模型的信心，但是（5）、（6）兩式有十分明顯的缺點，即它們顯然不滿足洛倫茲曲線的適用條件，無法將其直接用于經濟領域。上文提到的（1）、（2）、（3）可以適用洛倫茲曲線的條件，但其缺點是精度極差，找到優化的洛倫茲曲線模型已經成為該領域工作者的當務之急Chotikapanich（1993）[6]給出新模型：

上述各公式均適用洛倫茲曲線的相關條件，這對有收入及分配的研究分析有重要的意義，洛倫茲曲線模型在各國的收入分配中有著廣泛的應用，其表達形式多種多樣，模型有簡有繁，精度不盡相同。

國內洛倫茲曲線模型相關領域研究少之又少。本文在直接求解洛倫茲曲線比較困難的情況下，本文根據45°直線與洛倫茲曲線的差值圖像形似拱形的特征，首先構造拱形曲線方程，進而構造了新的洛倫茲曲線模型

通過三種比較標準：均方誤差、平均絕對誤差、最大絕對誤差的比較，通過模擬分析的形式將其與具有代表性的10種洛倫茲曲線進行比較，說明其優化程度較好，從而構造一種洛倫茲曲線模型，并以實際數據說明模型的精度，以期此模型可以對我國收入分配的研究有所幫助。

2 基于拱形模型的優化洛倫茲曲線

由文獻[12]可知，如果Lp（p∈0，1）同時滿足以下四個條件：

L0=0；L1=1；LP′≥0；LP″≥0（13）

那么該方程對應的曲線為洛倫茲曲線。下面我們構造符合要求的新的洛倫茲曲線方程。

2.1 構造新的洛倫茲曲線

圖1 收入分配的洛倫茲曲線示意圖

圖1中橫軸表示人口比例p，縱軸表示總收入比例L（p）。上圖中，曲線L（p）（曲線OBA）位置越高，代表的收入分配就越平等。其中45°曲線（直線OA）可以為平等收入線，即是完全平等的收入分配。此時滿足

然后將題目表一所給的收入分配分組數據代入上述公式中，應用最小二乘法進行曲線的擬合，如圖2、圖3所示，曲線ODC和拱形曲線近乎重合，構造出的Lp曲線和期望得到的Lp也幾乎重合。最后將代入數據得出的Lp代入文獻[4]給的4個條件，發現是符合要求的。由此說明新構造的曲線方程（17）是合理的。

圖2 拱形擬合曲線

注：紅色曲線是原數據所得拱形曲線，黑色曲線為擬合拱形方程曲線.

圖 3 最終所得的Lp擬合曲線

注：紅色曲線是原數據所得Lp曲線，黑色曲線是擬合Lp方程曲線.

所以，我們可定義收入分配的新洛倫茲模型為

2.2 模型比較

為說明上述模型的可行性和優越性，我們從上文提到的參考文獻中找出了10種模型

下面給出一組我國收入分配接近實際的一組模擬數據：

表1中[xj，xj+1]是收入區間，單位為元，fj是該區間內的人口比例，pj是[0，xj+1]中人口比例，是中人口擁有的總收入比例，因此（pj，Lj）是洛倫茲曲線上的點，其中25000以上人口比例為1%。總平均收入μ=6603元。將上表所給出分配數據代入新模型L（p）和上述10個模型（下轉第38頁）（上接第10頁）中，用最小二乘法擬合模型的參數，然后分別就均方誤差、平均絕對誤差和最大絕對誤差三個方面，對這11個模型進行比較，結果如表2所示。

分析表2可以看出，我們構造出的新模型L（p）的MSE、MAE和MAS較其它10種模型取值都小，由此可以說明我們的新模型優于其它10種模型。

3 結語

根據上文描述，洛倫茲曲線在收入及分配領域的研究是有非常重要的使用價值。對于洛倫茲曲線的優化在經濟領域有著不可替代的重要作用。回顧對于洛倫茲曲線研究過程，經歷了函數形式的由簡到繁，參數的由少到多。但是無論如何變化，其基本的要求是滿足洛倫茲條件，這是其模型發展的基本所在。本文所給出的基于拱形函數的洛倫茲曲線模型優化了現有模型的，對其結果做了充分的實證分析，令其滿足洛倫茲條件的嚴格條件。給此領域的研究者提供了一種新穎的研究思路。但是，由于數據的選擇范圍略顯有限，新模型的優化程度有待于后續研究者給出充分的實證研究，總體來說，關于洛倫茲曲線的研究有著廣闊的研究空間，有待于相關研究人士的進一步研究。

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[責任編輯：薛俊歌]