再談圓錐曲線與通徑有關的一個統一性質的證明
2014-10-20 13:26:51孫占青包虎
考試周刊 2014年71期
孫占青+++包虎
文獻[1]給出了圓錐曲線與通徑有關的一個統一性質，即：性質1—3，在此基礎上歸納出如下定理：
定理：已知圓錐曲線C，點Q是過焦點F的通徑的一個端點，點P是曲線C上的任意一點，點P在過焦點F所在的對稱軸上的射影為點M，曲線C在點Q處的切線與直線PM交于點N，則|PF|=|MN|.
文獻[1]中只對圓錐曲線C分別為橢圓、雙曲線、拋物線的情形下分別給出了性質1—3的證明，對定理沒有給出統一證明.下面用極坐標給出定理的統一證明.
證法1：如圖所示，以焦點F為極點，過焦點F與準線n垂直的直線為極軸，建立極坐標系，設圓錐曲線的離心率為e，焦點到準線的距離為p，點E的極坐標為（-p，0）
則圓錐曲線的方程為■=e ①
當θ=■時，得Q點坐標（ep，■），設過QE的直線上任意一點的極坐標為（ρ，θ），
則直線QE的方程為■=e ②
聯立①②，解得sinθ=1，所以θ=■，ρ=ep，即直線EQ與圓錐曲線C只有一個公共點（ep，■），這說明直線EQ是圓錐曲線C在點Q處的切線。
由△EFQ～△EMN，可得■=■=e， 所以|MN|=e|ME|=|PF|.
證法2：先求直線l的極坐標方程，設極點F到直線l的距離為d，由F向直線l作垂線FA，垂足為A，由極軸Fx到直線FA的角度為α，則直線l的極坐標方程為
ρ=■，
當直線l過Q（ep，■）時，得ep=■=■，
所以直線l的方程可化為
ρ=■.
又曲線C的極坐標方程為■=e，
當直線l為曲線C在Q點處的切線時，方程組■=eρ=■只有一個解，
消去ρ，并化簡得sinα=（esinα+cosα）cosθ+sinαsinθ.
此方程有且僅有一個解的充要條件是
sin■α=（esinα+cosα）■+sin■α，
所以esinα=-cosα.
于是，直線l的方程再次化簡為
ρ=-■，當θ=π時，解得ρ=-p.
所以曲線C在Q點處的切線經過準線n與極軸Fx所在直線的交點E.
由△EFQ～△EMN，可得■=■=e， 得|MN|=e|ME|，
又P為圓錐曲線C的點，|PF|=e|ME|，
所以|MN|=|PF|.
參考文獻：
[1]彭世金.圓錐曲線與通徑有關的一個統一性質.數學通訊，2010（8下半月）.
[2]高存明，主編.普通高中課程標準實驗教科書（數學）.選修4—4.人民教育出版社，2007.endprint
文獻[1]給出了圓錐曲線與通徑有關的一個統一性質，即：性質1—3，在此基礎上歸納出如下定理：
定理：已知圓錐曲線C，點Q是過焦點F的通徑的一個端點，點P是曲線C上的任意一點，點P在過焦點F所在的對稱軸上的射影為點M，曲線C在點Q處的切線與直線PM交于點N，則|PF|=|MN|.
文獻[1]中只對圓錐曲線C分別為橢圓、雙曲線、拋物線的情形下分別給出了性質1—3的證明，對定理沒有給出統一證明.下面用極坐標給出定理的統一證明.
證法1：如圖所示，以焦點F為極點，過焦點F與準線n垂直的直線為極軸，建立極坐標系，設圓錐曲線的離心率為e，焦點到準線的距離為p，點E的極坐標為（-p，0）
則圓錐曲線的方程為■=e ①
當θ=■時，得Q點坐標（ep，■），設過QE的直線上任意一點的極坐標為（ρ，θ），
則直線QE的方程為■=e ②
聯立①②，解得sinθ=1，所以θ=■，ρ=ep，即直線EQ與圓錐曲線C只有一個公共點（ep，■），這說明直線EQ是圓錐曲線C在點Q處的切線。
由△EFQ～△EMN，可得■=■=e， 所以|MN|=e|ME|=|PF|.
證法2：先求直線l的極坐標方程，設極點F到直線l的距離為d，由F向直線l作垂線FA，垂足為A，由極軸Fx到直線FA的角度為α，則直線l的極坐標方程為
ρ=■，
當直線l過Q（ep，■）時，得ep=■=■，
所以直線l的方程可化為
ρ=■.
又曲線C的極坐標方程為■=e，
當直線l為曲線C在Q點處的切線時，方程組■=eρ=■只有一個解，
消去ρ，并化簡得sinα=（esinα+cosα）cosθ+sinαsinθ.
此方程有且僅有一個解的充要條件是
sin■α=（esinα+cosα）■+sin■α，
所以esinα=-cosα.
于是，直線l的方程再次化簡為
ρ=-■，當θ=π時，解得ρ=-p.
所以曲線C在Q點處的切線經過準線n與極軸Fx所在直線的交點E.
由△EFQ～△EMN，可得■=■=e， 得|MN|=e|ME|，
又P為圓錐曲線C的點，|PF|=e|ME|，
所以|MN|=|PF|.
參考文獻：
[1]彭世金.圓錐曲線與通徑有關的一個統一性質.數學通訊，2010（8下半月）.
[2]高存明，主編.普通高中課程標準實驗教科書（數學）.選修4—4.人民教育出版社，2007.endprint
文獻[1]給出了圓錐曲線與通徑有關的一個統一性質，即：性質1—3，在此基礎上歸納出如下定理：
定理：已知圓錐曲線C，點Q是過焦點F的通徑的一個端點，點P是曲線C上的任意一點，點P在過焦點F所在的對稱軸上的射影為點M，曲線C在點Q處的切線與直線PM交于點N，則|PF|=|MN|.
文獻[1]中只對圓錐曲線C分別為橢圓、雙曲線、拋物線的情形下分別給出了性質1—3的證明，對定理沒有給出統一證明.下面用極坐標給出定理的統一證明.
證法1：如圖所示，以焦點F為極點，過焦點F與準線n垂直的直線為極軸，建立極坐標系，設圓錐曲線的離心率為e，焦點到準線的距離為p，點E的極坐標為（-p，0）
則圓錐曲線的方程為■=e ①
當θ=■時，得Q點坐標（ep，■），設過QE的直線上任意一點的極坐標為（ρ，θ），
則直線QE的方程為■=e ②
聯立①②，解得sinθ=1，所以θ=■，ρ=ep，即直線EQ與圓錐曲線C只有一個公共點（ep，■），這說明直線EQ是圓錐曲線C在點Q處的切線。
由△EFQ～△EMN，可得■=■=e， 所以|MN|=e|ME|=|PF|.
證法2：先求直線l的極坐標方程，設極點F到直線l的距離為d，由F向直線l作垂線FA，垂足為A，由極軸Fx到直線FA的角度為α，則直線l的極坐標方程為
ρ=■，
當直線l過Q（ep，■）時，得ep=■=■，
所以直線l的方程可化為
ρ=■.
又曲線C的極坐標方程為■=e，
當直線l為曲線C在Q點處的切線時，方程組■=eρ=■只有一個解，
消去ρ，并化簡得sinα=（esinα+cosα）cosθ+sinαsinθ.
此方程有且僅有一個解的充要條件是
sin■α=（esinα+cosα）■+sin■α，
所以esinα=-cosα.
于是，直線l的方程再次化簡為
ρ=-■，當θ=π時，解得ρ=-p.
所以曲線C在Q點處的切線經過準線n與極軸Fx所在直線的交點E.
由△EFQ～△EMN，可得■=■=e， 得|MN|=e|ME|，
又P為圓錐曲線C的點，|PF|=e|ME|，
所以|MN|=|PF|.
參考文獻：
[1]彭世金.圓錐曲線與通徑有關的一個統一性質.數學通訊，2010（8下半月）.
[2]高存明，主編.普通高中課程標準實驗教科書（數學）.選修4—4.人民教育出版社，2007.endprint
