泰勒公式與研究型教學

李為東++廖福成++徐巖

摘 要：研究型教學是新近發展起來的一種新的教學理念。文章以數學分析課程中重要的泰勒公式教學為例，探討了研究型教學在數學基礎課中的具體實現。文章以計算的觀點，展現了在現實的教學中從幾個常見的極限和近似計算公式出發，深入追尋這些熟識的結果的意義和聯系，進而提出和解決更一般的問題，最終導出泰勒公式的過程。這樣的教學過程也是充分貼近歷史發展的本來面貌的。

關鍵詞：研究型教學 泰勒公式 極限 指數函數

中圖分類號：O156 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）08（b）-0188-02

研究型教學是一種針對傳統的講授式教學提出的新的教學模式。在講授式教學中，教師是教學活動的主體和支配者，內容和方式均由教師決定。學生處于被動接受的地位，他們完全可以沒有對知識的見解，全部學習任務就是記住老師講授的內容并在考試中將其正確復述。這樣的教學方式雖然可以使教師傳遞更大的信息量給學生，但是嚴重打擊了學生對知識的興趣及學習的熱情。當今時代，僅僅通過接受高等教育獲得知識對于現代大學生來說是遠遠不夠的，他們不僅要有獲得知識的能力，更要有發現和創造知識的能力。因此，研究型教學應運而生了[1～2]。

研究型教學是指教師以問題研究的形式組織教學，學生在研究中獲得知識和研究方法的教學模式。教學過程中滲入了科學研究的各個元素：科學精神、知識水平、科學素養、科學思維、洞察能力、科學道德、評價能力、批評精神、合作精神、敬業精神、嚴謹作風等[3]。

區別于講授式教學對知識本身的獲得，研究型教學更注重對知識發現或再發現的過程。教學目的不僅僅是使學生獲得知識，更重要的是培養學生的科研素養及學生對知識的渴求和興趣。

在經典的基礎學科中，具體實踐研究型教學并不容易。數學分析是數學專業的重要基礎課之一，其主體是講解經典微積分理論。在這樣的課程中，實踐研究型教學需要教師更靈活地使用已有的教學資料，通過“提出問題—特例實驗—歸納猜想—證明結論—建立定理—提出新問題”的模式組織教學，引導學生自主實現“發現問題—解決問題”的研究過程。在此過程中，學生首先看到的不再是定理內容，而是從實際問題引申出的數學問題，知識獲得了它應有的背景，很多神奇的證明也獲得了應有的根基。學生在獲得知識的同時也收獲了研究的經歷，更有可能從知識的被動接受者轉變為知識的主動發現者或再發現者。

本文以泰勒公式的教學為例，探討經典知識的研究型教學的具體實踐。我們從幾個常見的極限和近似計算公式出發，追尋這些熟識的結果的意義和聯系，進而提出和解決更一般的問題，最終導致泰勒公式的建立。

1 源起

在數學分析及微積分教材中，幾乎都有如下近似計算公式[4]：

而且，是可以隨便指定的。

在教學中，許多耳熟能詳的簡單結論是可以再利用的。這里，利用極限可以把一個近似計算問題的近似度不斷提高。

2 反思

得到（7）與（8）之后，反思一下是有益的。首先，（7）是一個極限式！也就是說，這里的等號并非相等，而且由此派生出的（8）只能在的絕對值遠遠小于的時候才成立。那我們能否在任何情況下都找到與多項式函數的真實差距呢？注意，這里代表一個極限過程，而我們需要的是一個確定的表達式或者什么別的東西。總之，我們需要找到差

的大小。一個大概可以與之相比的量是。引入函數

與

對函數與在區間（或者）上反復使用柯西中值定理得到：

這里（或者）。這樣我們實際上證明了一個重要的公式，

（9）

是任意自然數，而則介于與之間。這就是指數函數的帶有拉格朗日型余項的麥克勞林公式。

由于

因此，理論上我們得到一個可以計算的值的計算公式，并可以確定該計算的精確度。

在教學中，對問題與結論的反思是有益的。深入分析可以看到問題與定理的本質，并進一步提出新問題。在研究型教學中，能夠提出新問題是其取得成功的基礎。

3 推廣

推廣結論是數學中常做的研究工作。得到指數函數的麥克勞林公式后，思考其它函數，如三角函數、反三角函數、對數函數等是否也有各自的麥克勞林公式呢？

設是一個初等函數，我們可以先假定它具有一切我們所需要的良好性質。先類比計算在時，的近似值。（2）式啟發我們去計算與的比值的極限，得到

于是，得到第一組公式

進一步，（3）又引導我們去計算極限

因此，得到并證明（8）式的推廣

帶有皮亞諾型余項的麥克勞林公式 設是定義在的某鄰域內的函數，且在點有階導數，那么一定有：

（10）

證明：對下面極限式使用次洛必塔法則及一次導數定義，得到：

…

現在我們可以急切地寫出并證明（8）式的推廣

帶有拉格朗日型余項的麥克勞林公式 設是定義在的某鄰域內的函數，且在該鄰域內有階導數，那么對該鄰域中的任意一定有：

其中介于0與之間。

證明：引入輔助函數

以及

在區間（或者）上，有階連續導數，且

.

對函數連續使用柯西中值定理得到：

至此，我們已經得到了函數的麥克勞林公式，一個簡單的變量代換替換為就可以使我們得到重要的泰勒定理。

（1）帶有皮亞諾型余項的泰勒公式。設是定義在的某鄰域內的函數，且在點有階導數，那么在該鄰域內有：

（2）帶有拉格朗日型余項的泰勒公式。設是定義在的某鄰域內的函數，且在該鄰域內有階導數，那么對該鄰域中的任意一定有：

其中介于與之間。

在教學中，由于與處于完全相同的地位，因此把指數函數的麥克勞林公式的內容及證明推廣到一般情況，進一步得到泰勒公式是順理成章的事情了。學生幾乎可以自己建立定理，并完成整個證明，他們甚至可以發現只要把換成，并對加一些相應的限制條件就可以了，而這是他們事先所不可想象的。endprint

4 歷史[5～6]

17世紀末，航海、天文學、地理學等學科的發展要求更精確地計算三角函數、對數函數等函數的數值。格雷高里、牛頓等利用差分法對此問題進行了深入研究。泰勒公式正是在這樣的背景之下產生的。

泰勒公式是Brook Taylor（1685-1731） 于1712指出并在他1715年出版的《增量法及其逆》中給出的。泰勒最初給出的是函數展開的無窮級數形式，即我們所知的泰勒級數。帶有余項形式的泰勒公式是拉格朗日在1797年出版的《解析函數論》中首次給出的，他還發現了泰勒公式對于微分學的重要意義。首個較嚴密地證明這個公式的人是另一位分析學大師——柯西。

歷史有時是令人費解的。麥克勞林（Colin Maclaurin，1698-1746）利用待定系數法得到了麥克勞林公式，雖然他指出這只是泰勒公式的一個特例，也許是出于對這一公式記憶起來更為簡便的褒獎，后人把這一特例歸功于麥克勞林。

而泰勒公式并不完美。除了難以確定的余項，其它項簡潔、優美。設想一下，如果泰勒公式中那些優美的項無限進行下去，余項會因為找不到自己的位置而被迫消失，于是

這正是泰勒當年得到的結果的現代形式！

5 討論

在經典理論課程中實現研究性教學并不容易。學生更多的是體驗研究的經歷而非解決問題。事實上，解決每一個習題都是在做一個研究工作，但這不是研究型教學所要追求的。

本文討論的以研究型教學的思路引入泰勒公式的方式是自然的，這里教師只需要向學生展示兩個簡單的公式（1）、（2），并提出兩個簡單問題。

（1）如何計算指數函數的近似值？

（2）如何把指數函數算得更準確？

剩下的事情就是讓學生去展開想象，教師只需要參與學生的研究和討論。歸納和類比的方法在證明中得到充分的體現，提問和證明可以很好的融為一體。

參考文獻

[1] 楊小遠，李尚志，孫玉泉，等.《工科數學分析》開放式教學探討[J].大學數學，2011，27（3）：1-6.

[2] 向昭銀，黃廷祝.研究型教學融入數學分析習題課的教學原則[J].大學數學，2012，28（4）：151-154.

[3] 盧德馨，研究型教學.

[4] 華東師范大學數學系編.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[5] （美）M.Kline.古今數學思想[M].上海：上海科學技術出版社，1986.

[6] 龔升，林立軍.簡明微積分發展史[M].長沙：湖南教育出版社，2005.endprint

4 歷史[5～6]

17世紀末，航海、天文學、地理學等學科的發展要求更精確地計算三角函數、對數函數等函數的數值。格雷高里、牛頓等利用差分法對此問題進行了深入研究。泰勒公式正是在這樣的背景之下產生的。

泰勒公式是Brook Taylor（1685-1731） 于1712指出并在他1715年出版的《增量法及其逆》中給出的。泰勒最初給出的是函數展開的無窮級數形式，即我們所知的泰勒級數。帶有余項形式的泰勒公式是拉格朗日在1797年出版的《解析函數論》中首次給出的，他還發現了泰勒公式對于微分學的重要意義。首個較嚴密地證明這個公式的人是另一位分析學大師——柯西。

歷史有時是令人費解的。麥克勞林（Colin Maclaurin，1698-1746）利用待定系數法得到了麥克勞林公式，雖然他指出這只是泰勒公式的一個特例，也許是出于對這一公式記憶起來更為簡便的褒獎，后人把這一特例歸功于麥克勞林。

而泰勒公式并不完美。除了難以確定的余項，其它項簡潔、優美。設想一下，如果泰勒公式中那些優美的項無限進行下去，余項會因為找不到自己的位置而被迫消失，于是

這正是泰勒當年得到的結果的現代形式！

5 討論

在經典理論課程中實現研究性教學并不容易。學生更多的是體驗研究的經歷而非解決問題。事實上，解決每一個習題都是在做一個研究工作，但這不是研究型教學所要追求的。

本文討論的以研究型教學的思路引入泰勒公式的方式是自然的，這里教師只需要向學生展示兩個簡單的公式（1）、（2），并提出兩個簡單問題。

（1）如何計算指數函數的近似值？

（2）如何把指數函數算得更準確？

剩下的事情就是讓學生去展開想象，教師只需要參與學生的研究和討論。歸納和類比的方法在證明中得到充分的體現，提問和證明可以很好的融為一體。

參考文獻

[1] 楊小遠，李尚志，孫玉泉，等.《工科數學分析》開放式教學探討[J].大學數學，2011，27（3）：1-6.

[2] 向昭銀，黃廷祝.研究型教學融入數學分析習題課的教學原則[J].大學數學，2012，28（4）：151-154.

[3] 盧德馨，研究型教學.

[4] 華東師范大學數學系編.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[5] （美）M.Kline.古今數學思想[M].上海：上海科學技術出版社，1986.

[6] 龔升，林立軍.簡明微積分發展史[M].長沙：湖南教育出版社，2005.endprint

4 歷史[5～6]

17世紀末，航海、天文學、地理學等學科的發展要求更精確地計算三角函數、對數函數等函數的數值。格雷高里、牛頓等利用差分法對此問題進行了深入研究。泰勒公式正是在這樣的背景之下產生的。

泰勒公式是Brook Taylor（1685-1731） 于1712指出并在他1715年出版的《增量法及其逆》中給出的。泰勒最初給出的是函數展開的無窮級數形式，即我們所知的泰勒級數。帶有余項形式的泰勒公式是拉格朗日在1797年出版的《解析函數論》中首次給出的，他還發現了泰勒公式對于微分學的重要意義。首個較嚴密地證明這個公式的人是另一位分析學大師——柯西。

歷史有時是令人費解的。麥克勞林（Colin Maclaurin，1698-1746）利用待定系數法得到了麥克勞林公式，雖然他指出這只是泰勒公式的一個特例，也許是出于對這一公式記憶起來更為簡便的褒獎，后人把這一特例歸功于麥克勞林。

而泰勒公式并不完美。除了難以確定的余項，其它項簡潔、優美。設想一下，如果泰勒公式中那些優美的項無限進行下去，余項會因為找不到自己的位置而被迫消失，于是

這正是泰勒當年得到的結果的現代形式！

5 討論

在經典理論課程中實現研究性教學并不容易。學生更多的是體驗研究的經歷而非解決問題。事實上，解決每一個習題都是在做一個研究工作，但這不是研究型教學所要追求的。

本文討論的以研究型教學的思路引入泰勒公式的方式是自然的，這里教師只需要向學生展示兩個簡單的公式（1）、（2），并提出兩個簡單問題。

（1）如何計算指數函數的近似值？

（2）如何把指數函數算得更準確？

剩下的事情就是讓學生去展開想象，教師只需要參與學生的研究和討論。歸納和類比的方法在證明中得到充分的體現，提問和證明可以很好的融為一體。

參考文獻

[1] 楊小遠，李尚志，孫玉泉，等.《工科數學分析》開放式教學探討[J].大學數學，2011，27（3）：1-6.

[2] 向昭銀，黃廷祝.研究型教學融入數學分析習題課的教學原則[J].大學數學，2012，28（4）：151-154.

[3] 盧德馨，研究型教學.

[4] 華東師范大學數學系編.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[5] （美）M.Kline.古今數學思想[M].上海：上海科學技術出版社，1986.

[6] 龔升，林立軍.簡明微積分發展史[M].長沙：湖南教育出版社，2005.endprint