天然裂縫影響下的復雜壓裂裂縫網絡模擬

趙金洲 李勇明 王松 江有適 張烈輝

“油氣藏地質及開發工程”國家重點實驗室·西南石油大學

常規水力壓裂裂縫模擬，一般是假設均質地層中不考慮天然縫存在，井眼兩側形成垂直于最小主應力方向的對稱雙翼平面縫［1］。但從直接的礦井壓裂測試［2］到間接的微地震監測［3］，都表明在天然裂縫發育的頁巖氣儲層，會形成不對稱、不規則的復雜裂縫網絡。

開啟和擴展天然裂縫是形成縫網的基礎。眾多學者通過實驗和理論分析，研究了人工裂縫與天然縫相交后的物理現象，并建立了裂縫延伸的判定準則［4－5］；Warpinski［6］采用線摩擦理論考慮作用在裂縫面的剪應力引起的剪切滑移破壞，并以摩爾庫倫準則分析作用在裂縫面的正應力引起的張性破壞。Beugelsdijk等［7］通過實驗分析了水平應力差、排量和黏度對分支縫延伸的影響。研究表明，與天然縫相交后形成的裂縫網絡復雜程度不僅與地應力相關，而且受到巖石力學參數、天然縫參數、壓裂施工參數以及工作液物性所影響［8－10］。

壓裂過程中人工縫與天然縫相交后，分支縫的起裂與延伸機理對形成復雜裂縫網絡的幾何尺寸和復雜程度有重要影響。筆者以斷裂力學理論為基礎，引入起裂與延伸判定計算準則；在此基礎上，考慮附加應力場影響，建立頁巖氣壓裂復雜裂縫網絡模型，在求解過程中以等壓力梯度值劃分裂縫延伸方向上的計算節點，將節點壓力作為關鍵變量顯式求解裂縫網絡幾何尺寸參數；并將起裂與延伸準則作為分支縫擴展依據，避免常規擬三維裂縫模擬中對縫長延伸的復雜擬合過程。與線網模型［11］，該模型能夠充分考慮儲層中任意分布的天然縫對整個裂縫網絡結構的影響，井眼兩側的縫網整體形態是非對稱且內部的分支縫非均勻間距，更符合微地震測試結果。與非常規裂縫模型相比［12］，建立的起裂與延伸判斷準則時考慮了剪應力與正應力共同作用下的裂縫尖端周向應力，能夠合理解釋延伸過程中裂縫轉向的物理現象并能計算分支縫擴展延伸中的角度變化；并且通過改進數值求解方法能有效提高計算速度。

1 裂縫起裂與延伸條件分析

1.1 剪應力產生的應力強度因子

在地應力作用下橢圓形天然縫表面的剪應力所產生的Ⅱ型應力強度因子為：

式中K（κ）和E（κ）分別為第一、二類橢圓完整積分；τ為剪應力，MPa；υ為泊松比；ω為剪應力方向與橢圓長軸夾角；θ為橢圓裂縫邊緣任意點與長軸夾角；a和b分別為裂縫長、短半軸長度，m。

1.2 正應力產生的應力強度因子

在水力裂縫延伸過程中，不斷擴展的裂縫長度和縫內壓力重新分布將導致由正應力引起的裂縫尖端應力強度因子動態變化。根據初始起裂位置沿著裂縫延伸方向上按照等壓力梯度劃分節點，再使用疊加原理得到在不同節點壓力作用下的裂縫尖端應力強度因子的值。壓力節點劃分如圖1所示。

圖1 裂縫壓力節點劃分圖

由不同節點壓力所形成的應力強度因子為［13］：

式中l（i）為第i個壓力節點與初始位置的間距；l為人工裂縫長度；pnet（i）為第i個節點處凈壓力。

在此基礎上可得到正應力作用下的Ⅰ型應力強度因子為：

式中n為劃分的壓力節點總數。

1.3 附加應力場

多條分支裂縫在延伸的同時，相互之間會受到作用在臨近裂縫的正、剪應力影響，而形成附加應力場。按照Crouch等人提出的一種解析計算公式，并經Olson［14］改進后，其表達式為：

式中Cijns、Cijnn分別為平面應變彈性影響系數；Djs和Djn分別是各個微段上剪應力和正應力引起的不連續位移（即基于流固耦合計算而得到的裂縫寬度）；Gij為Olson提出的三維修正系數，引入縫高和裂縫間距對附加應力場影響。

在數值計算中的每一時步都需計算該附加應力場，然后將其作用在地應力場上，用于進行延伸和起裂壓力計算公式和迭代求解不同節點處的裂縫幾何參數。

2 裂縫起裂與延伸判定準則

當壓裂液進入天然縫，只要縫內壓力大于裂縫面正應力及巖石抗張強度，將會開啟天然縫并形成具有一定寬度的分支裂縫。根據裂縫面上正應力計算公式：式中T0為巖石抗張強度，MPa；σ為裂縫面正應力，MPa；σ2為垂向應力，MPa；σ1、σ3分別為水平應力，MPa；α、β、γ分別為裂縫面法線與主應力方向夾角。

可得到不同節點處的凈壓力為：

將不同節點處的凈壓力帶入式（3）可得到裂縫起裂判定計算方程：

式中m為裂縫開啟時對應的節點數，m≤n。

基于Erdogan提出的最大周向應力理論［15］，可推導Ⅰ－Ⅱ復合型裂縫延伸角度方程：以及Ⅰ－Ⅱ復合型裂縫延伸判定計算方程：

3 復雜裂縫網絡模型

模型假設條件：①天然裂縫都是垂直分布；②在無天然裂縫區域設定地層是均質、各向同性的連續線彈性體；③儲層厚度較大，不發生穿層現象；④裂縫在垂直方向上的延伸速度小于在長度方向上的延伸速度。復雜裂縫網絡模型包含以下控制方程。

1）起裂與延伸判定公式：見式（7）、（9）。

2）縫寬方程

假設產層足夠厚，縫內凈壓pnet＝pf（x，t）－σ′，σ′＝σ＋σin，得到裂縫橫截面上任意z位置的縫寬方程為：

3）壓降方程

根據Nolte平板間壓降公式，并引入管道形狀j（n）因子的方法，可得到縫內壓降方程：

4）高度方程

5）連續性方程

模型初、邊值條件與擬三維模型類似，但在裂縫相交后，交點處流量需重新平均分配。

式中xj為裂縫長度，m；wj（x，z，t）為縫寬，m；hj（x，t）為裂縫高度，m；pnet（x，t）為縫內壓力，MPa；qj（x，t）為流量，m3／min；E 為楊氏模量，GPa；n為流態指數，無因次；K為稠度系數，Pa·sn；Ct為濾失系數，m·min－0.5；Aj為裂縫橫切面積，m2；t為施工時間，min；τ（x）為t時刻液體到達縫內x處的時間，min；下標j代表縫網中某條分支縫。

改進的復雜裂縫模型求解方法如下所述。

1）先以二維PKN模型的縫長公式計算在不同時步下的初始裂縫長度：并根據井底或交點壓力作為初始條件在縫長方向上以等壓 降 值 劃 分 計 算 節 點： （pnet＋ Δp）（i）＝，將得到的節點壓力帶入起裂判定方程計算實際能夠開啟的裂縫長度。

2）根據節點處的壓力值，帶入縫高方程求出不同節點處的縫高。

3）將得到的縫高和該節點處的壓力帶入縫寬方程可求解不同節點處的縫寬。

4）將前面求得的幾何尺寸和初始流量分布帶入壓降方程，可得到節點處的新的壓力值，此時需要對比前面等壓降節點處的差值，并調整和擬合初始節點壓力，使其滿足｜p′net（i）－pnet（i）｜≤ε。

5）進一步將一維流動的連續性方程按照不同節點對應的參數值帶入相應的縫寬、縫高值，以求出不同節點處的流量分布，將該流量值與初始假設的節點流量分布比較。若不一致，則改變初始流量分布關系式，重復第1步至第5步，最終實現流量擬合｜q′（i）－q（i）｜≤η。

6）在時步更新之前，需要考慮裂縫延伸判定條件，用該時刻的裂縫尖端方位、縫內壓力值和附加應力場為已知條件判定裂縫是否會在下一個時刻繼續擴展，并計算動態變化的延伸角。若滿足條件則進入下一時步，重復步驟第1步至第6步，直至裂縫停止擴展。

針對頁巖氣壓裂實際過程提出裂縫網絡模擬程序流程如圖2所示。

圖2 復雜裂縫模擬流程圖

4 模擬結果分析

4.1 裂縫延伸角度

根據延伸角計算公式，可分析水平地應力差、縫內凈壓和夾角對分支縫延伸軌跡的影響（圖3）。

當水平應力差不變、縫內凈壓力的增大，延伸角度減小，分支縫延伸軌跡的曲率半徑增大，不僅能有效擴大縫網寬度，也易于在空間上與其他縫相遇。而當凈壓力不變、水平應力差逐步增大時，延伸角變化越大，延伸軌跡的曲率半徑減小，裂縫面在較小的范圍內迅速垂直于最小主應力方向，使得縫內壓力遞減迅速，延伸或起裂難度加大。為提高壓裂改造效果，應選取天然縫較為發育或者水平地應力差較小的適宜體積壓裂的有利區塊或層位，并通過優化施工參數和改進壓裂材料，提高縫內凈壓力。

圖3 裂縫延伸角變化關系圖

4.2 裂縫延伸壓力

根據裂縫延伸判斷準則，定量分析水平應力差、裂縫半徑、夾角、巖石斷裂韌性對延伸所需壓力的影響（圖4）。

模擬結果表明：決定天然縫能否延伸的關鍵因素是自身長度和方位角，而巖石斷裂韌性的變化對裂縫延伸壓力的影響不明顯。因此對于頁巖氣長水平井段壓裂應選擇天然縫發育程度較高，密度較大的區域射孔；在布井時不一定完全按照最小主應力方向，要充分考慮天然縫的走向對整個裂網形態影響。

4.3 復雜裂縫網絡

根據頁巖氣壓裂的“大液量、大排量、低黏度、低濾失”等特點，結合某海相頁巖氣井地質、施工參數，模擬了復雜裂縫網絡形成過程和各分支裂縫幾何尺寸，具體輸入參數如下：水平最大主應力為37.5MPa，水平最小主應力為34.5MPa，楊氏模量為23.37GPa，泊松比為0.25，巖石抗張強度為3MPa，壓裂液黏度為30mPa·s（施工／模擬可控關鍵變量），壓裂液密度為1.02g／cm3，綜合濾失系數為0.000 9m·min－0.5（施工／模擬可控關鍵變量），巖石斷裂韌性為1.21MPa·m0.5，平均施工排量為8.5m3（施工／模擬可控關鍵變量），井底壓力為55MPa（施工／模擬可控關鍵變量），計算時間步長為2min。天然縫參數位置隨機分布，手動輸入，與最小水平主應力方向夾角為±0°～40°，傾角為90°。

將整個縫網與微地震解釋結果比較，幾何尺寸能夠實現與微震數據點分布范圍的較好擬合，而且能夠以裂縫復雜程度的差異形態解釋數據點分布密度的變化（圖5）。對比驗證了模型計算結果，并能初步用于壓裂設計優化。

圖4 裂縫延伸壓力變化關系圖

圖5 天然縫影響下裂縫延伸變化模擬圖

5 結論

1）通過引入起裂與延伸判斷準則、建立復雜裂縫網絡模型、改進數值計算方法，實現了對含有大量天然縫的頁巖氣藏壓裂裂縫網絡的模擬研究，并結合微地震測試結果驗證模型的準確性。

2）該模型實現了對頁巖氣體積壓裂中非對稱、不規則的復雜網絡裂縫幾何尺寸的計算，其成果可用于頁巖氣井壓裂設計優化。

3）優選頁巖氣地質“甜點”應注重對天然裂縫長度、方位角、傾角、密度等物性參數的識別及描述，不僅是保證模擬結果可靠性的關鍵輸入參量，而且是影響縫網幾何尺寸及復雜性的物質基礎。

4）對復雜裂縫網絡模擬的最大難點就在于同時兼顧縫網復雜形態的分析和分支縫尺寸的計算，需要進一步在理論模型和數值解法上尋求新的突破。

［1］ 王鴻勛，張士誠.水力壓裂設計數值計算方法［M］.北京：石油工業出版社，1998：178－186.Wang Hongxun，Zhang Shicheng.Numerical computation of hydraulic fracturing design［M］.Beijing：Petroleum Industry Press，1998：178－186.

［2］ WARPINSKI N R，TEUFEL L W.Influence of geologic discontinuities on hydraulic fracture propagation［J］.Journal of Petroleum Technology，1987，39（2）：209－220.

［3］ FISHER M K，WRIGHT C A，DAVISON B M，et al.Integrating fracture mapping technologies to optimize stimulations in the Barnett Shale［C］∥paper 77441－MS presented at the SPE Annual Technical Conference and Exhibition，29 September －2October 2002，San Antonio，Texas，USA.New York：SPE，2002.

［4］ BLANTON T L.An experimental study of interaction between hydraulically induced and pre－existing fractures［C］∥paper 10847－MS presented at the SPE Unconventional Gas Recovery Symposium，16－18May 1982，Pittsburgh，Pennsylvania，USA.New York：SPE，1982.

［5］ 胡永全，賈鎖剛，趙金洲，等.縫網壓裂控制條件研究［J］.西南石油大學學報：自然科學版，2013，35（4）：126－132.HU Yongquan，JIA Suogang，ZHAO Jinzhou，et al.Study on controlling conditions in network hydraulic fracturing［J］.Journal of Southwest Petroleum University：Science ＆Technology Edition，2013，35（4）：126－132.

［6］ WARPINSKI N R.Hydraulic fracturing in tight fissured media［J］.Journal of Petroleum Technology，1991，43（2）：146－152.

［7］ BEUGELSDIJK L J，PATER D，SATO C J.Experimental hydraulic propagation in Multi－fractured Medium［C］∥paper 59419－MS presented at the SPE Asia Pacific Conference on Integrated Modelling for Asset Management，25－26A－pril 2000，Yokohama，Japan.New York：SPE，2000.

［8］ 李勇明，彭瑀，王中澤.頁巖氣壓裂增產機理與施工技術分析［J］.西南石油大學學報：自然科學版，2013，35（2）：91－96.LI Yongming，PENG Yu，WANG Zhongze.Analysis of shale gas fracture stimulation mechanism and operating techniques［J］.Journal of Southwest Petroleum University：Science ＆ Technology Edition，2013，35（2）：91－96.

［9］ 李進步，白建文，朱李安，等.蘇里格氣田致密砂巖氣藏體積壓裂技術與實踐［J］.天然氣工業，2013，33（9）：65－69.LI Jinbu，BAI Jianwen，ZHU Li′an，et al.Volume fracturing and its practices in Sulige tight sandstone gas reservoirs，Ordos Basin［J］.Natural Gas Industry，2013，33（9）：65－69.

［10］ 程遠方，李友志，時賢，等.頁巖氣體積壓裂縫網模型分析及應用［J］.天然氣工業，2013，33（9）：53－59.CHENG Yuanfang，LI Youzhi，SHI Xian，et al.Analysis and application of fracture network models of volume fracturing in shale gas reservoirs［J］.Natural Gas Industry，2013，33（9）：53－59.

［11］ XU W，CALVEZ J L，THIERCELIN M.Characterization of hydraulically－induced fracture network using treatment and microseismic data in a tight－gas formation：A geomechanical approach［C］∥paper 125237－MS presented at the SPE Tight Gas Completions Conference，15－17June 2009，San Antonio，Texas，USA.New York：SPE，2009.

［12］ WENG X，KRESSE O，COHEN C，et al.Modeling of hydraulic fracture network propagation in a naturally fractured formation［J］.SPE Production ＆ Operations，2001，26（4）：368－380.

［13］ WU X R，CARLSON A J.Weight functions and stress intensity factor solutions［M］.Oxford：Pergamon Press，1991：78－82.

［14］ OLSON J E，TALEGHANI A D.Modeling simultaneous growth of multiple hydraulic fractures and their interaction with natural fractures［C］∥paper 119739－MS presented at the SPE Hydraulic Fracturing Technology Conference，19－21January 2009，the Woodlands，Texas，USA.New York：SPE 2009.

［15］ 丁遂棟，孫利民.斷裂力學［M］.北京：機械工業出版社，1997.DING Suidong，SUN Limin.Fracture mechanics［M］.Beijing：Engineering Industry Press，1997.