“韓信點兵”問題的一種新解法探索

唐海軍　陳佳

摘 要：通過研究韓信點兵問題得到關于中國剩余問題的一般解法，加深了對數論中一次同余式的認識，有助于中學生解決數學競賽問題以及學習算法。

關鍵詞：剩余問題 同余 解法

中圖分類號：O141.2 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）06（b）-0255-02

Abstract：Now by studying the question of”Han Xin Calculate the Sum Total of Soldiers”，we can get the general solution of the Chinese surplus theorem and the new method has deepened our knowledge of congruences in member theory， It also helps high school students to slove the problems about math competition and learning algorithm.

Keywords：Chinese Surplus Theorem； Congruence；Solution

已知某個正整數分別被一些小于該數的正整數除所得的余數求原數，這就是我國從古至今流傳很廣的“余數問題”[1]或中國剩余問題。它是一類同余問題。這類問題在古代有不少有趣味的名稱，“韓信點兵”也是其中之一[2]?！耙淮?，韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰。苦戰一場，楚軍不敵，敗退回營，漢軍也死傷四五百人，于是韓信整頓兵馬也返回大本營。當行至一山坡，忽有后軍來報，說有楚軍騎兵追來……，韓信兵馬到坡頂，見來敵不足五百騎，便急速點兵迎敵。他命令士兵3人一排，結果多出2名；接著命令士兵5人一排，結果多出3名；他又命令士兵7人一排，結果又多出2名。韓信馬上向將士們宣布：我軍有1073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人?！盵3]。這種解法也可以應用于其它類似的問題，如《孫子算經》中的物不知數問題[4]。這類問題和解法，一般也稱它為孫子定理，外國人稱其為“中國剩余定理”。剩余是數論中的重要概念，剩余類與剩余系及其性質是一種解決數論問題的重要工具[5]。中國剩余問題不但是中國古代數學中的著名問題，也是現在中學數學競賽中一個重要內容。對其解法的一般性研究，不但加深對數論中一次同余方程組的認識，也便于高中生學習算法、編寫程序以及利用研究中提出的定理來解決一些競賽數學上的問題。

參考文獻

[1] 彭月英.求解“韓信點兵”問題的算法研究[J].廣西師范學院學報，1997，14（2）：43-48.

[2] 張興華.由“韓信點兵”引發的思考[J].數學教育研究，2008（3）：17.

[3] 奚建萍.“韓信點兵”之疑[J].數學之友，2010（20）：65.

[4] 李文林.數學史概論[M].北京：高等教育出版社，2005：89-90

[5] 鄒明.剩余類與剩余系在競賽中的應用[J].中等數學，2011（10）：6-10.endprint

摘 要：通過研究韓信點兵問題得到關于中國剩余問題的一般解法，加深了對數論中一次同余式的認識，有助于中學生解決數學競賽問題以及學習算法。

關鍵詞：剩余問題 同余 解法

中圖分類號：O141.2 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）06（b）-0255-02

Abstract：Now by studying the question of”Han Xin Calculate the Sum Total of Soldiers”，we can get the general solution of the Chinese surplus theorem and the new method has deepened our knowledge of congruences in member theory， It also helps high school students to slove the problems about math competition and learning algorithm.

Keywords：Chinese Surplus Theorem； Congruence；Solution

已知某個正整數分別被一些小于該數的正整數除所得的余數求原數，這就是我國從古至今流傳很廣的“余數問題”[1]或中國剩余問題。它是一類同余問題。這類問題在古代有不少有趣味的名稱，“韓信點兵”也是其中之一[2]。“一次，韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰。苦戰一場，楚軍不敵，敗退回營，漢軍也死傷四五百人，于是韓信整頓兵馬也返回大本營。當行至一山坡，忽有后軍來報，說有楚軍騎兵追來……，韓信兵馬到坡頂，見來敵不足五百騎，便急速點兵迎敵。他命令士兵3人一排，結果多出2名；接著命令士兵5人一排，結果多出3名；他又命令士兵7人一排，結果又多出2名。韓信馬上向將士們宣布：我軍有1073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人?！盵3]。這種解法也可以應用于其它類似的問題，如《孫子算經》中的物不知數問題[4]。這類問題和解法，一般也稱它為孫子定理，外國人稱其為“中國剩余定理”。剩余是數論中的重要概念，剩余類與剩余系及其性質是一種解決數論問題的重要工具[5]。中國剩余問題不但是中國古代數學中的著名問題，也是現在中學數學競賽中一個重要內容。對其解法的一般性研究，不但加深對數論中一次同余方程組的認識，也便于高中生學習算法、編寫程序以及利用研究中提出的定理來解決一些競賽數學上的問題。

參考文獻

[1] 彭月英.求解“韓信點兵”問題的算法研究[J].廣西師范學院學報，1997，14（2）：43-48.

[2] 張興華.由“韓信點兵”引發的思考[J].數學教育研究，2008（3）：17.

[3] 奚建萍.“韓信點兵”之疑[J].數學之友，2010（20）：65.

[4] 李文林.數學史概論[M].北京：高等教育出版社，2005：89-90

[5] 鄒明.剩余類與剩余系在競賽中的應用[J].中等數學，2011（10）：6-10.endprint

摘 要：通過研究韓信點兵問題得到關于中國剩余問題的一般解法，加深了對數論中一次同余式的認識，有助于中學生解決數學競賽問題以及學習算法。

關鍵詞：剩余問題 同余 解法

中圖分類號：O141.2 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）06（b）-0255-02

Abstract：Now by studying the question of”Han Xin Calculate the Sum Total of Soldiers”，we can get the general solution of the Chinese surplus theorem and the new method has deepened our knowledge of congruences in member theory， It also helps high school students to slove the problems about math competition and learning algorithm.

Keywords：Chinese Surplus Theorem； Congruence；Solution

已知某個正整數分別被一些小于該數的正整數除所得的余數求原數，這就是我國從古至今流傳很廣的“余數問題”[1]或中國剩余問題。它是一類同余問題。這類問題在古代有不少有趣味的名稱，“韓信點兵”也是其中之一[2]?！耙淮危n信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰?？鄳鹨粓?，楚軍不敵，敗退回營，漢軍也死傷四五百人，于是韓信整頓兵馬也返回大本營。當行至一山坡，忽有后軍來報，說有楚軍騎兵追來……，韓信兵馬到坡頂，見來敵不足五百騎，便急速點兵迎敵。他命令士兵3人一排，結果多出2名；接著命令士兵5人一排，結果多出3名；他又命令士兵7人一排，結果又多出2名。韓信馬上向將士們宣布：我軍有1073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人?！盵3]。這種解法也可以應用于其它類似的問題，如《孫子算經》中的物不知數問題[4]。這類問題和解法，一般也稱它為孫子定理，外國人稱其為“中國剩余定理”。剩余是數論中的重要概念，剩余類與剩余系及其性質是一種解決數論問題的重要工具[5]。中國剩余問題不但是中國古代數學中的著名問題，也是現在中學數學競賽中一個重要內容。對其解法的一般性研究，不但加深對數論中一次同余方程組的認識，也便于高中生學習算法、編寫程序以及利用研究中提出的定理來解決一些競賽數學上的問題。

參考文獻

[1] 彭月英.求解“韓信點兵”問題的算法研究[J].廣西師范學院學報，1997，14（2）：43-48.

[2] 張興華.由“韓信點兵”引發的思考[J].數學教育研究，2008（3）：17.

[3] 奚建萍.“韓信點兵”之疑[J].數學之友，2010（20）：65.

[4] 李文林.數學史概論[M].北京：高等教育出版社，2005：89-90

[5] 鄒明.剩余類與剩余系在競賽中的應用[J].中等數學，2011（10）：6-10.endprint