一種雷達脈內常規(guī)脈沖信號頻率快速計算算法

向開福

（船舶重工集團公司723所，揚州225001）

0 引 言

頻率參數(shù)是雷達脈內信號的主要特征參數(shù)，也是影響雷達識別的關鍵因素之一。國內外研究已經提出了許多基于各種原理與方法的檢測手段，有簡單軟硬件實現(xiàn)的基于復雜算法的傅里葉變換法［1－2］、卡爾曼濾波法［3］、相關計數(shù)法［4］，以及過零檢測法［5－6］等。

文獻［1］、［2］中提出的快速算法測頻都是基于改進的快速傅里葉變換算法，其核心仍然為快速傅里葉變換，利用快速傅里葉變換計算信號頻率結果穩(wěn)定、精確性較高，但由于需要進行碟形運算，因而計算工作量很大。

文獻［3］提出了基于二階泰勒展開的擴展卡爾曼濾波測頻算法，該算法是為了提高頻率不定時變化正弦波信號頻率估計值的精確度而提出，主要是采用二階泰勒展開對非線性系統(tǒng)進行線性化近似的擴展卡爾曼濾波測頻。由于脈內常規(guī)信號頻率總體穩(wěn)定，因此采用該算法相對復雜。

文獻［4］提出了一種相關計數(shù)法測頻，相關計數(shù)法實際是過零點計數(shù)法的改進型，由文獻［4］可知，相關計數(shù)法測頻需要預先產生一個頻標，因而在信號的事后分析處理中并不適用。

在以上分析算法中，過零檢測法是一種簡單實用的脈內常規(guī)脈沖信號頻率檢測方法。其基本原理是利用信號兩過零點的時間間隔來計算信號周期，再對周期求倒數(shù)得到信號頻率。但實際應用中由于噪聲與干擾等因素導致檢測的實際信號過零點在理想過零點附近來回抖動，不僅增加了軟件過零點判別以及信號去抖的工作量，而且使得頻率計算結果誤差較大，這就限制了該方法在精確脈內細微特征分析中的應用。文獻［5］、［6］提出改進的過零點檢測法測頻，采用多重自相關運算，雖然有效提高了信噪比，但由于需要進行多重自相關運算，因此運算量較大。

針對現(xiàn)有技術在實際應用中過零點辨別困難的問題，本文提出了一種對信號過零檢測不敏感，對噪聲、干擾抑制能力強，并能有效提高脈內常規(guī)脈沖信號頻率準確度的常規(guī)脈沖信號頻率計算方法。

本文提出的這種常規(guī)脈沖信號頻率計算方法，是利用常規(guī)脈沖信號在過零點附近都可以近似等效為線性信號的基本原理，在粗略檢測到信號過零位置后，通過一元線性回歸理論對過零點附近信號進行統(tǒng)計分析，從而獲得常規(guī)脈沖信號過零點的精確時間，通過過零點時間差進而得到信號頻率。

1 一元線性回歸分析理論分析

在實際工程問題中，研究相互聯(lián)系的變量之間的相互關系通常有2類：一類是確定性關系，其特點是由一個或一組變量的值可唯一確定另一個變量的值；一類是非確定性關系，其特點是變量之間相互聯(lián)系但又不能由一個或一組變量的值唯一確定另一個變量的值。回歸分析就是為了尋找不完全確定變量間的數(shù)量關系，通過統(tǒng)計方法進行推斷的一種分析方法。當自變量只有一個的回歸分析叫一元回歸分析，若數(shù)學關系式同時為線性時稱為一元線性回歸。

常用的一元線性回歸的預測模型為：

式中：Xi為自變量X的第i個觀察值；Yi為因變量Y的第i個觀察值；n為實際觀察值的個數(shù)，亦稱樣本數(shù)據(jù)個數(shù)；為n個自變量觀察值的平均值；為n個因變量觀察值的平均值。

一元線性回歸分析是基于最小二乘法原理的信號統(tǒng)計分析方法，它所計算得到的結果滿足誤差平方和最小關系，因此它不僅對信號噪聲和干擾有很強的抑制作用，而且計算結果也具有較高的準確性。

2 脈內常規(guī)脈沖信號快速頻率估計的計算公式及推導

2.1 過零點時間計算公式

本文提出一種基于一元回歸分析方法得到的常規(guī)脈沖信號過零時間公式：

2.2 過零點時間計算公式推導

就脈內常規(guī)脈沖信號角度而言，信號波形、幅度a（t）與時間變量t之間為常規(guī)脈沖函數(shù)關系，基本屬于確定性關系，并且在過零點附近可以局部線性化。但是由于受噪聲與干擾的影響，該常規(guī)脈沖函數(shù)的參數(shù)幅度Am、頻率f與相位Φ都是服從一定分布函數(shù)的隨機變量，導致系統(tǒng)在過零點相位等局部特征呈現(xiàn)一定的隨機性。因此，可以把a（t）的過零點附近的觀察結果看成由兩部分疊加而成：一部分由時間t的線性函數(shù)引起，記為bt＋c；另一部分是由隨機因素引起的，記為ε，即：

式中：參數(shù)b與c主要是由信號的電壓、頻率、相位三者隨機變量的數(shù)學期望值EAm、Ef、EΦ決定；隨機變量ε是引起信號過零點抖動、甚至重復過零的主要因素，通常服從正態(tài)分布N（0，σ2）。

因此，信號過零點局部a（t）是隨機變量，且服從正態(tài)分布，即a（t）～N（bt＋c，σ2）。

E［a（t）］＝bt＋c是時間t的線性函數(shù)。在偵察系統(tǒng)中信號通常由模擬信號a（t）經過數(shù)字采集為離散數(shù)字信號。將輸入信號按每周期采樣點數(shù)為N進行數(shù)字化處理，則可得采樣數(shù)字信號為：

式中：f為信號采集頻率；f0為信號標準頻率值；k為信號的采集時間序列值。

在信號過零點左右基本對稱地取n個數(shù)字采樣值作為獨立觀察樣本，即（ti，ai），i＝1，2，…，n。利用a、t之間的近似線性關系，則可得以下關系式：

式中：各εi相互獨立，i＝1，2，…，n。

式（7）即是數(shù)字常規(guī)脈沖信號在過零點附近的一元線性回歸數(shù)學模型。

下面利用以上信號過零點左右的采樣樣本值試圖得到式（5）參數(shù)b、c的最佳估計值＾b 和＾c。

由式（5）可得以下一元線性回歸方程：

該值即為當前信號過零點時間的最佳估計值。為了得到參數(shù)b、c的最佳估計值和，現(xiàn)將實際采樣值（ti，ai）代入式（8）可得回歸值：

為了盡可能讓回歸值＾ai與實際值ai接近，按最小二乘估計法讓回歸值與實際值的誤差平方和最小，即滿足：

令：

將上式進行整理得：

對上式聯(lián)立求解得：

將式（14）代入式（9），可計算得到公式（4），即得到當前信號過零點時間的最佳估計值。

2.3 采樣點數(shù)選取分析仿真及信號頻率估計

得到了當前信號過零點時間的最佳估計值，即可利用信號前后兩過零時間差得到信號周期，對信號周期求倒數(shù)即得該信號的頻率。

由于本文是基于常規(guī)脈沖電壓過零點處信號可以局部線性化的這一特性為基本前提的，因此所需采樣點數(shù)應保證信號線性化所要求的精度。

采用數(shù)字濾波或曲線擬合后再求信號過零點也是一種可取的辦法，但一方面增加了計算工作量，另一方面工程應用中更關心的是信號過零點時間的準確位置，而并非信號擬合曲線精度。由于常規(guī)脈沖信號在零點左右為奇對稱信號，因此實際算法選擇點數(shù)應以粗過零點左右對稱選取采樣信號。仿真結果顯示，在大多數(shù)實際分析系統(tǒng)中，8點分析已經可以得到非常理想的分析精度。

本文采用公式（4）算法進行了仿真。信號頻率為1MHz，信噪比S／N＝3dB，采樣頻率分別為32MHz、64MHz、96MHz、128MHz，使得信號每周期的采樣點數(shù)為32點、64點、96點和128點，然后過零點左右對稱各取4個點（共8個點），按上述方法對正弦信號零點附近信號進行線性逼近。圖1為在不同采樣點數(shù)下的算法實現(xiàn)效果比較。由圖1可知，由于采樣率的不同，同樣取8個點進行線性逼近后的直線斜率有差異，但逼近后的直線過零點都能比較精確地與正弦信號理想過零點重合。

圖1 不同采樣點數(shù)下的過零點檢測算法實現(xiàn)效果比較

采集一個完整周期仿真信號，根據(jù)以上過零點算法計算得到的信號頻率和相對誤差分別見表1。

在一些干擾特別大的特殊應用場合，可采用幾個周期計算平均值使算法對信號噪聲有更好的抑制作用，這需要根據(jù)系統(tǒng)設計與實際應用環(huán)境而定。

表1 仿真計算得到的信號頻率和相對誤差

3 結束語

本文所述方法對信號源的噪聲與干擾也有很強的抑制作用，頻率計算精確度較高，而且計算工作量小，能滿足偵察系統(tǒng)實時性要求，因此可在高精度偵察系統(tǒng)中應用。本文所述方法也可用于脈內相位編碼信號和線性調頻信號的頻率及相位特征分析。

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