一類廣義分式規(guī)劃的最優(yōu)性條件和對偶

張彩芬, 吳澤忠

（成都信息工程學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都610225）

設(shè)Rn表示n維空間,Rn+表示它的非負(fù)象限.文獻(xiàn)［1］考慮了如下規(guī)劃:

很多學(xué)者運(yùn)用函數(shù)的凸性對分式規(guī)劃做了相關(guān)的研究,文獻(xiàn)［2-4］分別在不變凸性、（F,ρ）-凸性和（F,α,ρ,d） -凸性的假設(shè)下,擴(kuò)展了文獻(xiàn)［1］ 的結(jié)果,得到規(guī)劃（P）的對偶規(guī)劃及其各自的弱對偶、強(qiáng)對偶、嚴(yán)格逆對偶定理；文獻(xiàn)［5-10］對可微廣義分式規(guī)劃做類似的研究并得出相應(yīng)的結(jié)論；文獻(xiàn)［11-14］對非可微廣義分式規(guī)劃及其對偶模型做了研究；文獻(xiàn)［15-17］運(yùn)用函數(shù)的凸性對多目標(biāo)分式規(guī)劃及對偶做相關(guān)的研究.本文將在廣義ρ-不變凸性的假設(shè)下,得到（P）的2個(gè)對偶規(guī)劃及其各自的弱對偶、強(qiáng)對偶和嚴(yán)格逆對偶定理.

1 預(yù)備知識

定義 1.1［18］令f:X→R（X?Rn） 是可微函數(shù),ρ∈R,d:X ×X→R（x1≠x2,d（x1,x2）≠0）,η:X×X→Rn.

（a） 若對 ?x ∈ X 都有 f（x） -f（x0） ≥▽f（x0）Tη（x,x0） +ρd2（x,x0）,則f在x0處是ρ -不變凸函數(shù)；

（b） 若對?x∈X,x≠x0,都有f（x）-f（x0） ＞▽f（x0）Tη（x,x0） +ρd2（x,x0）,則f在x0處是嚴(yán)格ρ-不變凸函數(shù)；

（c） 若對 ?x∈ X,都有 ▽f（x0）Tη（x,x0） ≥-ρd2（x,x0） → f（x） ≥ f（x0） 或 f（x） ＜ f（x0） →▽f（x0）Tη（x,x0） ＜-ρd2（x,x0）；則f在x0處是ρ -偽不變凸函數(shù)；

（d） 若對 ?x∈ X,x≠ x0,都有 ▽f（x0）Tη（x,x0） ≥-ρd2（x,x0） →f（x） ＞f（x0） 或f（x） ≤f（x0）→ ▽f（x0）Tη（x,x0） ＜-ρd2（x,x0）；則 f在 x0處是嚴(yán)格ρ-偽不變凸函數(shù)；

（e） 若對 ?x ∈ X 都有 f（x） ≤ f（x0） →▽f（x0）Tη（x,x0） ≤-ρd2（x,x0）,則f在x0處是ρ -擬不變凸函數(shù).

2 充分條件

3 對偶定理

3 結(jié)語

在廣義ρ-不變凸性的假設(shè)下,得到廣義分式規(guī)劃的最優(yōu)性的充分條件并得到2個(gè)對偶規(guī)劃的弱對偶、強(qiáng)對偶、嚴(yán)格逆對偶定理.廣義分式規(guī)劃在不同凸函數(shù)的基礎(chǔ)上,已有很多的研究成果,更有待進(jìn)一步去研究.ρ-不變凸性也可以運(yùn)用于研究多目標(biāo)分式規(guī)劃.

致謝成都信息工程學(xué)院2012年中青年學(xué)術(shù)帶頭人基金（J201218）和成都信息工程學(xué)院2012年人才引進(jìn)基金（KYTZ201203）對本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

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