一類時滯弱奇異 Wendroff型積分不等式

梁 英

（湛江師范學院數學與計算科學學院,廣東湛江524048）

Gronwall不等式在微分方程、積分方程以及積分微分方程理論中是一個被廣泛應用的強有力工具,國內外許多研究人員開展了大量的研究工作［1-4］.近年來,隨著系統控制理論研究中時滯系統的大量出現,使得人們在對時滯控制的穩定性、漸近性等定性研究中,開始討論含時滯的Gronwall不等式［5-8］.另一方面,E.F.Beekenbaeh 等［9］分別在研究離散粒子在湍流中的擴散現象和熱傳導問題中遇到了Volterra型奇異積分微分方程

討論這些奇異積分微分方程解的形態和數值計算,都離不開相應的奇異積分不等式.

1981年D.Henry［10］提出了一種估計帶有弱奇異核的線性積分不等式解的方法,1994年H.Sano等［11］將此結果做出了進一步改進；但是他們給出的結果都是用疊代法以及復雜的冪級數形式表達某些奇異積分不等式解的界,使用時不夠方便.

為了避免這些結果的不足,1997年M.Medved［12］提出一種估計帶有奇異核的線性如（2）式和非線性如（3）式的Gronwall-Bellman-Bihari型積分不等式的新方法.

2002年Q.H.Ma等［13］進一步改進Medved 的方法,研究了弱奇性Volterra型積分不等式

得到了分片連續的顯式形式的界.

在此基礎上,2008年Y.Wu［14］研究了單變量具有時滯的弱奇性Volterra型積分不等式

本文在以上研究的基礎上,考慮了一類新的更具有一般形式的弱奇性Wendroff型積分不等式

與不等式（4）和（5）相比,首先是不等式含有2個獨立變量,其次形式更一般,所得的關于積分不等式（6）的估計更具有廣泛適用性.

1 定義和引理

這一節將給出一些記號與引理,它們將在后繼的證明中使用.R表示全體實數,R+＝［0,+∞）,D1z（x,y）和 D1z（x,y）表示 z（x,y）分別對 x 和 y 的一階偏導數.幾個假設條件（i＝1,2）:

（H1）φ是C（R+,R+）上嚴格單調遞增函數,且φ（∞）＝∞,

（H2） αi∈（0,1］,βi∈（0,1）,γi＞1-1/p且1/p+αi（βi-1） +γi-1≥0（p＞1）,

（H3） bi（t）滿足 0≤bi（t）≤t,t∈R+是連續可微函數,

2 主要結論

3 應用

［1］ Deng S.Nonlinear discrete inequalities with two variables and their applications［J］.Appl Math Comput,2010,217:2217-2225.

［2］ Medved M.On singular versions of Bihari and Wendroff-Pachpatte type integral inequalities and their application ［J］.Tatra Mt Math Publ,2007,38:163-174.

［3］ Wang W S.On a generalized retarded integral inequalities with two variables［J］.J Inequal Appl,2008,2008:518646.

［4］ Zheng K L,Wu Y,Deng S.Nonlinear integral inequalities in two independent variables and their applications ［J］.J Inequal Appl,2007,2007:32949.

［5］ Agarwal R P,Deng S,Zhang W.Generalization of a retarded Gronwall-like inequality and its applications［J］.Appl Math Comput,2005,165:599-612.

［6］ Deng S,Prather C.Generalization of an impulsive nonlinear singular Gronwall-Bihari inequality with delay［J］.J Inequal Pure Appl Math,2008,9:34.

［7］ Wu Y,Li X P,Deng S.Nonlinear delay discrete inequalities and their applications to Volterra type difference equations ［J］.Adv Difference Equ,2010,2010:795145.

［8］ Zheng K L.Some retarded nonlinear integral inequalities in two variables and applications［J］.J Inequal Pure Appl Math,2008,9:57.

［9］ Beekenbaeh E F,Bellman R.In Equalities［M］.New York:Springer-Verlag,1961.

［10］ Henry D.Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations［M］.New York:Springer-Verlag,1981.

［11］ Sano H,Kunimatsu N.Modified Gronwall's inequality and its application to stabilization problem for semilinear parabolic systems［J］.Syst Control Lett,1994,22:145-156.

［12］ Medved M.A new approach to an analysis of Henry type integral inequalities and their Bihari type versions ［J］.J Math Anal Appl,1997,214:349-366.

［13］ Ma Q H,Yang E H.Estimations on solutions of some weakly singular Volterra integral inequalities［J］.Acta Math Appl Sinca,2002,25:505-515.

［14］ Wu Y.A new type of weakly singular volterra integral inequalities［J］.Acta Math Appl Sinica,2008,31（4）:584-591.