用新的Lyapunov泛函處理帶有離散時滯和分布時滯的神經網絡的被動性

夏 曄, 鐘守銘, 鐘福利

（電子科技大學 數 學科學學院,四川 成 都611731）

近幾年神經網絡廣泛應用于模式識別、信號處理、圖像處理等方面.發現網絡的動態性是影響其應用的主要原因,因此要想更好地應用神經網絡就必須對其網絡的動態特性尤其是穩定性進行全面而深入分析和研究［1-3］.而時滯的存在往往會對系統的穩定性有所影響,因此研究有時滯的神經網絡更有實際意義［4-10］.被動分析是研究非線性系統的一個重要工具,被動理論經常應用于控制系統來更好地研究系統內部的穩定性,所以很多學者致力于研究這方面的問題［11-18］.其中文獻［11］通過用分段時滯構造新的Lyapunov泛函來判定混合時滯模型的被動性,文獻［12-14］研究帶有一個時滯的神經網絡系統的被動性,文獻［17-18］研究神經網絡的指數被動性.

本文在已有的基礎上進行了補充,研究帶有離散時滯和分布時滯的神經網絡,通過構造新的Lyapunov泛函,建立了判定帶有混合時滯的模型是被動的新標準.本文采用了Lyapunov穩定理論、線性矩陣不等式（LMI）及自由權矩陣等方法,實例很好地說明了本文結論是正確有效的,且在一定程度上降低了保守性.

1 問題描述

考慮如下帶有混合時滯的神經網絡系統

其中,x（t）＝［x1（t）,…,xn（t）］T∈Rn是神經元狀態向量,g（x（t））＝［g1（x1（t））,…,gn（xn（t））］T∈Rn代表激活函數向量,u（t）＝［u1（t）,…,un（t）］T是輸入向量,y（t）是輸出函數,變量h（t）和r（t）代表模型中混合時滯且滿足

A＝diag｛a1,…,an｝是正定的對角矩陣,W＝（wij）n×n、W1＝（w1ij）n×n、W2＝（w2ij）n×n是代表權重系數的互連矩陣,而且激活函數gi（xi）（i＝1,2,…,n）假定滿足如下條件:

2 主要結果及證明

3 實例仿真

表1 取不同值時,u可取到的上界Table 1 when gets different values,the upper bounds of u can get

表1 取不同值時,u可取到的上界Table 1 when gets different values,the upper bounds of u can get

ˉr 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 u 0.895 5 0.885 5 0.873 5 0.859 1 0.839 8 0.812 4 0.769 7 0.689 7 0.4235

表2 u取不同的值時,能取到的上界Table 2 when u gets different values,the upper bounds of can get

表2 u取不同的值時,能取到的上界Table 2 when u gets different values,the upper bounds of can get

u 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9ˉr 0.931 1 0.924 6 0.915 8 0.903 6 0.885 0 0.853 4 0.791 1 0.634 4 0.0503

由表1可知,當分布時滯的上界在0.1～0.9范圍內由小至大變化時,u能取得的最大值也發生相應的變化,u的上界隨的增大而減小,u最大值所允許的變化范圍是在0.423 5～0.895 5.當的變化范圍在0.6以下時,u所能取到的最大值均在0.8以上.其中當取0.1時,u最大可以取到0.895 5.本例的實驗結果說明當分布時滯上界的大小處在一定的范圍（0.1～0.9）時,u處于一個相對較寬的范圍內變化,能夠很好地保證模型穩定.

由表2可知,當u在0.1～0.9范圍由小至大變化時,能取得的最大值也發生相應的變化,的上界隨u的增大而減小,最大值的變化范圍為0.050 3～0.931 1,取值范圍較廣.當u的變化范圍在0.6以下時,的所能取到的最大值均在到0.8以上且變化的幅度不大.

綜合表1和表2中的數值實驗結果,可知在本文中u所允許的取值范圍較廣,當u處在一定范圍時,允許的分布時滯的上界也相對較寬,說明所提的方法在一定程度上降低了保守性,具有更好的實際應用性,同時驗證了本文結論是正確有效的.

本文主要研究帶有混合時滯的神經網絡的被動性,建立了判定的新標準,實例驗證了本文的結論是正確有效的,同時在一定程度上降低了保守性,具有一定的優越性,因而有更好的實際應用.

［1］ Shao H.New delay-dependent stability criteria for systems with interval delay［J］.Automatica,2009,45:744-749.

［2］ Xu X,Lam J,Ho D W C.Novel global robust stability criteria for interval neural networks with multiple time-varying delays［J］.Phys Lett,2005,A342:322-330.

［3］ Cao J,Yuan K,Li H X.Global asymptotical stability of recurrent neural networks with multiple discrete delays and distributed delays［J］.IEEE Trans Neural Networks,2006,17:1646-1651.

［4］ Liu X,Zhong S.T-S fuzzy model-based impulsive control of chaotic systems with exponential decay rate ［J］.Phys Lett,2007,A370（3/4）:260-264.

［5］ Liu X.Delay-dependent H control for uncertain fuzzy systems with time-varying delays［J］.Nonlinear Anal:TMA,2008,68（5）:1352-1361.

［6］ Liu X,Yu W,Wang L.Necessary and sufficient asymptotic stability criterion for 2-D positive systems with time-varying state delays described by Roesser model［J］.IET Cont Theory Appl,2011,5（5）:663-668.

［7］陳光淦,蒲志林,張健.變時滯Hopfield神經網絡模型的全局指數穩定性和全局吸引性［J］.工程數學學報,2005,22（5）:821-826.

［8］龍述君,向麗.一類具有分布時滯的Hopfield神經網絡的穩定性［J］.四川師范大學學報:自然科學版,2006,29（5）:566-569.

［9］趙亮,李樹勇.含時滯和脈沖的雙向聯想記憶的神經網絡模型的全局魯棒一致漸近穩定性分析［J］.四川師范大學學報:自然科學版,2013,36（2）:177-124.

［10］ Kwon O M,Park J H.New delay-dependent robust stability criterion for uncertain neural networks with time-varying delays［J］.Appl Math Comput,2008,205:417-427.

［11］ Li H Y,Lam J,Cheung K C.Passivity criteria for continuous time neural networks with mixed time-varying delays［J］.Appl Math Comput,2012,218:11062-11074.

［12］ Xu S,Zheng W,Zou Y.Passivity analysis of neural networks with time-varying delays［J］.IEEE Transcations on Circuits and Systems II,2009,56（4）:325-329.

［13］ Zhang Z,Mou S,Lam J,et al.New passivity criteria for neural networks with time-varying delay［J］.Neural Networks,2009,22（7）:864-868.

［14］ Park M J,Kwon O M,Park J H,et al.A new augmented Lyapunov-Krasovskii Functional approach for stability of linear systems with time-varying delays［J］.Appl Math Comput,2011,217:7197-7209.

［15］Kwon O M,Park J H.Exponential stability for uncertain cellular neural networks with discrete and distributed time-varying delays［J］.Appl Math Comput,2008,A203:813-823.

［16］ Park J H.Further results on passivity analysis of delayed cellular neural networks［J］.Chaos,Solitons＆ Fractals,2007,34:1546-1551.

［17］ Kwon O M,Park J H.A new augmented Lyapunov-Krasovskii functional approach to exponential passivity for neural networks with time-varying delays［J］.Appl Math Comput,2011,217:10231-10238.

［18］ Zhu S,Shen Y,Chen C.Exponential passivity of neural networks with time-varying delay and uncertainty［J］.Phys Lett,2010,A375:136-142.