π-整環上形式冪級數的容度準則

尹華玉, 陳幼華

（四川師范大學數學與軟件科學學院,四川成都610066）

1 引言及預備知識

本文恒設R是具有單位元的交換整環但不是域,K是R的商域.設A是K的R-子模,若存在非零元素a∈R,使得aA?R,這等價于存在非零元素c∈K,及R的非零理想I,使得A＝cI,則A稱為R的分式理想.從分式理想的定義可以看出,每個非零分式理想等價于一個非零理想,因此在關于整環的討論中,有時候用非零分式理想與非零理想互換,其等價刻畫的結論依然成立.以下用F（R）表示R的所有非零分式理想的集合,而所謂整環R上的星型算子,指的是從F（R）到自身上的一個映射*:A→A*,對?A,B∈F（R）,a∈K-0,滿足以下條件:

1） （a）*＝（a）,（aA）*＝aA*；

2） 若A?B,則A*?B*；

3） A?A*,且（A*）*＝A*.

對A∈F（R）,若A*＝A,則A稱為R的*-分式理想.若A是R的理想且A*＝A,則A稱為R的*-理想.若?B∈F（R）,使得（AB）*＝R,則 A稱為*-可逆的.若存在可數生成分式理想B,使得A*＝B*,則A稱為*-可數型的.對整環R,若其*-理想的乘積仍是*-理想,等價于說,對R的任何非零理想I和J,有（IJ）*＝I*J*,則稱R是*-乘法封閉的.令 A-1＝｛x∈K｜xA?R｝,有如下4類常見的星型算子:

1） Ad＝A；

2） Av＝（A-1）-1；

3）At＝∪｛Bv｜B取遍A的一切有限生成子分式理想｝；

4） Aw＝｛x∈K｜?J∈GV（R）,使 Jx?A｝,

其中,GV（R）＝｛J｜J是R的有限生成理想,且J-1＝R｝.關于星型算子的知識和文中的名詞術語及相關符號可參見文獻［1-20］.

設R是整環,稱其為Krull整環,如果它滿足如下條件:

1）R＝∩Rp,其中p取遍R的高度為1的素理想；

2）對R的任何高度為1的素理想p,Rp是離散賦值環；

3）R具有有限特征,即R中的每個非零元素只在有限多個賦值擴環中是非單位的.

眾所周知,Krull整環是一類非常經典的整環,其研究結果相當成熟.特別地,隨著20世紀80年代星型算子工具的引入,其研究顯得更加活躍.利用星型算子理論,Krull整環得到了更簡明的等價刻畫.例如,J.L.Mott等［21］證明了 R 是 Krull整環當且僅當R的每個非零理想是t-可逆的,F.G.Wang等［22］證明了R是Krull整環當且僅當R的每個非零理想是w-可逆的.另一方面,由Krull整環派生出與其性質相似的整環類也成為眾多環論學者關注的研究對象,例如π-整環、pre-Krull整環、semi-Krull整環［23-25］等.所謂的 π-整環,是指整環R滿足每個真主理想能表示為有限多個素理想的乘積.本文將通過可數理想、w-可數型理想與t-可數型理想,分別對Krull整環與π-整環進行研究,從而進一步導出π-整環上形式冪級數的一些容度準則.

2 π-整環上形式冪級數的容度準則

用K［［X］］*表示形式冪級數環 K［［X］］中非零形式冪級數的集合.設 f∈K［［X］］,用 c（f）表示K中由f的系數生成的R-子模,稱之為f的容度［2］.在討論π-整環上形式冪級數的容度準則之前,首先給出Krull整環與π-整環的一些預備結論.

引理1［21-22］對整環R,以下各條等價:

1）R是Krull整環；

2）R的每個非零理想是w-可逆的；

3）R的每個非零理想是t-可逆的；

4）R的每個非零分式理想是w-可逆的；

5）R的每個非零分式理想是t-可逆的.

引理2［19］對整環R,以下各條等價:

1）R是π-整環；

2）R是w-乘法封閉的Krull整環；

3）R是t-乘法封閉的Krull整環；

4）R是v-乘法封閉的Krull整環；

5）R是w-乘法封閉的完全整閉整環,且每一非零w-理想是v-理想.

定理3對整環R,以下各條等價:

1）R是Krull整環；

2）R的每個非零可數生成理想是w-可逆的；

3）R的每個非零可數生成理想是t-可逆的.

證明1）?2） 由引理1易知.

2）?3） 顯然.

3）?1） 設I是R的非零理想.假若對I的任意有限生成子理想J,都有It≠Jt,則存在It的無限子理想升鏈

這是一個矛盾.因此,存在I的某個有限生成子理想J,使得It＝Jt.顯然,J是t-可逆的,即存在分式理想 B,使得（JB）t＝R.故

（IB）t＝（ItB）t＝（JtB）t＝（JB）t＝R,

從而I也是t-可逆的.由引理1,R是Krull整環.

推論4對整環R,以下各條等價:

1）R是Krull整環；

2）R的每個非零可數生成分式理想是w-可逆的；

3）R的每個非零可數生成分式理想是t-可逆的.

定理5對整環R,以下各條等價:

1）R是π-整環；

2）R的每個非零w-理想是可逆的；

3）R的每個非零t-理想是可逆的；

4）R的每個非零w-可數型的w-理想是可逆的；

5）R的每個非零t-可數型的t-理想是可逆的.

證明1）?3） 由文獻［26］中定理4.4即知.

1）+3）?2） 由引理2可得.

2）?4）?5） 顯然.

5）?3） 設I是R的非零t-理想.假若對I的任意有限生成子理想J,都有I≠Jt,則存在I的無限子理想升鏈

這是一個矛盾.因此,存在I的某個有限生成子理想J,使得I＝Jt,從而I是可逆的.

推論6對整環R,以下各條等價:

1）R是π-整環；

2）R的每個非零w-分式理想是可逆的；

3）R的每個非零t-分式理想是可逆的；

4）R的每個非零w-可數型的w-分式理想是可逆的；

5）R的每個非零t-可數型的t-分式理想是可逆的.

命題7對整環R,以下各條等價:

1）R是π-整環；

（2）對?A,B∈F（R）,都?C∈F（R）,使得Aw＝BwCw；

3）對?A,B∈F（R）,都?C∈F（R）,使得At＝BtCt；

4）對R的任意非零可數生成分式理想A、B,都?C∈F（R）,使得Aw＝BwCw；

5）對R的任意非零可數生成分式理想A、B,都?C∈F（R）,使得At＝BtCt.

證明1）?2） 設R是π-整環,A,B∈F（R）.由引理1與引理2,R是w-乘法封閉的,且B是w-可逆的.于是（BB-1）w＝R,從而Aw＝（（BB-1）A）w＝（B（B-1A））w＝Bw（B-1A）w.令C＝B-1A,則C∈F（R）,且有Aw＝BwCw.

2）?4） 顯然.

4）?1） 設I是R的非零w-可數型的w-分式理想,則存在可數生成理想B,使得I＝Bw.顯然,又?C∈F（R）,使得Rw＝BwCw,即ICw＝R.于是I是可逆的,故由定理5,R是π-整環.

1）?3）?（5） 類似于1）?2）?4）的證明可得.

定理8對整環R,以下各條等價:

1）R是π-整環；

2）對?f,g∈R［［X］］*,都?h∈K［X］*,使得c（f）w＝c（g）wc（h）w；

3）對?f,g∈R［［X］］*,都?h∈K［X］*,使得c（f）t＝c（g）tc（h）t；

4）對?f∈R［X］*,g∈R［［X］］*,都?h∈K［X］*,使得c（f）w＝c（g）wc（h）w；

5）對?f∈R［X］*,g∈R［［X］］*,都?h∈K［X］*,使得c（f）t＝c（g）tc（h）t.

證明1）?2） 設f,g∈R［［X］］*,則c（f）,c（g）∈F（R）.由命題7,?C∈F（R）,使得c（f）w＝c（g）wCw.由推論6,Cw是可逆的,從而是有限生成的.不妨設Cw＝Rc1+…+Rcn,其中,c1,c2,…,cn∈K-0,則令h＝c1X+c1X2…+cnXn即可滿足要求.

2）?4） 顯然.

4）?1） 設I＝（Ra1+…+Ran+…）w是R的非零w-可數型的w-理想.令

f＝X, g＝a1X+…+anXn+…

則?h∈K［X］*,使得c（g）wc（h）w＝c（f）w.于是Ic（h）w＝R,即I是可逆的.故由定理5,R是π-整環.

1）?3）?5） 類似于1）?2）?4）的證明可得.

推論9設R是π-整環,則有:

1）對?f,g∈R［［X］］*,都?h∈K［X］*,使得c（f）v＝c（g）vc（h）v；

2）對?f∈R［X］*,g∈R［［X］］*,都?h∈K［X］*,使得c（f）v＝c（g）vc（h）v.

證明由引理2與定理8可得.

［1］王芳貴.交換環與星型算子理論［M］.北京:科學出版社,2006.

［2］Gilmer R.Multiplicative Ideal Theory［M］.New York:Marcel Dekker,1972.

［3］Anderson D D,Matijevic J.Graded π-rings［J］.Canad J Math,1979,31:449-457.

［4］Anderson D D.Globalization of some local properties in Krull domains［J］.Proc Am Math Soc,1982,85:141-145.

［5］Anderson D D,Anderson D F,Markanda R.The rings R（X）and R〈X〉［J］.J Algebra,1985,95:96-115.

［6］Malik S,Mott J L,Zafrullah M.On t-invertibility［J］.Commun Algebra,1988,16:149-170.

［7］Houston E G,Zafrullah M.On t-invertibility II［J］.Commun Algebra,1989,17:1955-1969.

［8］Anderson D D,Zafrullah M.On t-invertibility III［J］.Commun Algebra,1993,21:1189-1201.

［9］Anderson D D,Kang B G.Content formulas for polynomials and power series and complete integral closure［J］.J Algebra,1996,181:82-94.

［10］Fontana M,Huckaba J A,Papick I J.Prüfer Domains［M］.New York:Marcel Dekker,1997.

［11］Wang F G.w-dimension of domains［J］.Commun Algebra,1999,27:2267-2276.

［12］Anderson D D.GCD domains,Gauss'lemma,and contents of polynomials［C］//Chapman S T,Glaz S.Non-Noetherian Commutative Ring Theory.Mathematics and Its Applications.Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,2000:1-31.

［13］Anderson D D,Cook S J.Two star-operations and their induced lattices［J］.Commun Algebra,2000,28:2461-2475.

［14］Wang F G.w-dimension of domains II［J］.Commun Algebra,2001,29:2419-2428.

［15］李慶,王芳貴.UMV整環的一些性質［J］.四川師范大學學報:自然科學版,2007,30（5）:548-550.

［16］王芳貴.星型算子理論的發展及其應用［J］.四川師范大學學報:自然科學版,2009,32（2）:249-259.

［17］王芳貴.有限表現型模和w-凝聚環［J］.四川師范大學學報:自然科學版,2010,33（1）:1-9.

［18］張俊,王芳貴.有零因子的交換環上w-理想的升鏈條件［J］.四川師范大學學報:自然科學版,2010,33（2）:146-151.

［19］陳幼華,尹華玉.兩類整環在w-算子下的刻畫［J］.數學學報,2010,53（4）:685-690.

［20］趙松泉,王芳貴,陳翰林.交換環上的平坦模是w-模［J］.四川師范大學學報:自然科學版,2012,35（3）:364-366.

［21］Mott J L,Zafrullah M.On Krull domains［J］.Arch Math,1991,56:559-568.

［22］Wang F G,McCasland R L.On w-modules over strong Mori domains［J］.Commun Algebra,1997,25:1285-1306.

［23］Anderson D D.π-domains,overrings,and divisorial ideals［J］.Glasgow Math J,1978,19:199-203.

［24］Zafrullah M.Ascending chain conditions and star operations［J］.Commun Algebra,1989,17:1523-1533.

［25］Barucci V,Gabelli S,Roitman M.On semi-Krull domains［J］.J Algebra,1992,145:306-328.

［26］Kang B G.On the converse of a well-known fact about Krull domains［J］.J Algebra,1989,124:284-299.