基于小波與灰色方法的半球諧振陀螺壽命預測

代成龍，皮德常

(南京航空航天大學計算機科學與技術學院，南京 210016)

1 概述

由于半球諧振陀螺具有小體積、低噪聲、高性能以及無磨損的特點，逐漸在國際上得到重視和應用[1-2]。但陀螺儀的成本高、批量小，給評估它們的可靠性以及預測其壽命帶來了困難。同時，據相關統計數據顯示[3]，慣導系統的故障40%由慣性平臺產生，其中60%又來自陀螺儀。因此，研究陀螺儀的可靠性和壽命預測方法對慣導系統的可靠性評估具有重要意義。目前國內外關于半球諧振陀螺壽命預測方法的研究文獻較少，一般只針對半球諧振陀螺的溫度補償[4]、動力學模型分析測試[5]以及隨機漂移誤差[6]等方面進行研究，但均未針對其壽命發表相關研究和報道。自文獻[7]提出灰色系統理論后，該理論在處理部分未知參數的系統中得到了廣泛應用。

灰色GM(1,1)模型是一種很適用的預測模型。累加生成操作[7]是其最重要的特點，該操作能有效降低數據的隨機性?；疑碚摰闹饕攸c在于它不需要大量的數據進行預測，而只需要4個數據即可。因此，灰色預測方法在熱導、電力消耗、集成電路、環境科學、農業等方面得到了廣泛應用。為提高GM(1,1)的預測精度，一些研究人員對GM(1,1)進行了改進并應用到電力需求預測[8-9]。同時，在許多時間序列預測中，為了獲取數據的規律，研究人員將小波分析方法也同樣應用到預測當中[10-11]。

為克服半球諧振陀螺壽命預測方法不足的困難以及解決半球諧振陀螺壽命預測問題，本文結合以上研究，利用小波分析對半球諧振陀螺的漂移數據進行處理，對GM(1,1)模型進行殘差修正，分析GM(1,1)模型與殘差修正GM(1,1)模型在半球諧振陀螺壽命預測應用中的預測精度，通過灰色關聯分析方法預測其工作壽命。

2 預測方法框架

半球諧振陀螺壽命預測方法結果框架如圖1所示。首先選用適當的小波組合方法對漂移數據進行處理，然后對預處理后的數據建立GM(1,1)模型，接著利用殘差值修正原始GM(1,1)并進行多周期數據預測，最后對GM(1,1)和殘差修正GM(1,1)的預測精度進行分析，結合灰色關聯方法分析出各半球諧振陀螺的失效階段，最終獲得半球諧振陀螺的預測壽命。

圖1 預測方法框架

3 壽命預測模型

3.1 GM(1,1)模型

GM(1,1)模型具有時變特點：當獲得新數據后，GM(1,1)模型將得到更新重建。

(1)假定原始序列為：

其中，X(0)為一非負數據序列；n為數據樣本量。

(2)為減少隨機性，對原始序列 X(0)作一次累加生成(1-AGO)，得到一組單調遞增的新序列 X(1)：

其中：

(3)建立GM(1,1)模型為：

其中，T[a,b]為模型參數，且：

(4)根據式(4)、式(5)，x(1)(t)在k時刻的時間響應為：

(5)使用1次累減生成(1-IAGO)，得到原始數據在k+1時刻的預測值：

3.2 殘差修正GM(1,1)模型

殘差修正GM(1,1)模型的目的在于對原始序列建立的GM(1,1)模型進行修正，以提高模型預測精度。其實質為對殘差序列進行一次類似于GM(1,1)建模處理。

(1)可建模殘差尾段(|ε(0)(k0)|,|ε(0)(k0+1)|,…,|ε(0)(n)|)記為：

(2)對可建模殘差尾段進行1-AGO操作：

對其進行GM(1,1)建模，得到k時刻的時間響應式：

3.3 灰色關聯分析模型

灰色關聯分析是根據序列曲線幾何形狀的相似程度來判斷它們之間的聯系是否緊密。曲線越接近，相應序列之間的關聯度就越大，反之越小。

設定 x0={x0(1),x0(2),…,x0(n}為參考序列，xi(i=1,2,…,m)為比較序列。其中：

故對于序列x0與xi中第k個數x0(k)與 xi(k)，其灰色關聯度為：

那么x0與xi2個序列之間的灰色關聯度為：

γ(x0,xi)越大，說明xi對x0的關聯程度越高，反之則越小。

4 實驗與分析

4.1 數據

本文所用的HRG數據是由某科研單位提供，對4個型號不同的半球諧振陀螺的隨機漂移(數據采集計算方法如式(13)和式(14)進行了測試，測試時間為2009-06-26至2012-02-08，共1590個數據。

其中，Oi為經平均處理后得到的陀螺輸出樣本，單位為V；為陀螺輸出平均值，單位為V；K為陀螺標度因數，單位為V/(°·s–1)；σ為隨機漂移，單位為°/h。由4 個半球諧振陀螺隨機漂移數據的計算方法可知，隨機漂移值均為非負。

4.2 數據預處理

為降低原始漂移數據中的噪聲，利用daubechies和symlets小波的不同組合對1#,2#,3#,4#HRG漂移數據進行分解、重構，找出處理結果相對較好的小波組合。

4個HRG的小波處理結果分別如圖2所示，其中黑折線表示原始數據。

圖2 4個半球諧振陀螺測試數據的小波預處理結果

圖2(a)～圖2(d)中第2子圖的小波分析較其他子圖能更好獲取原始數據的規律，在后文的研究中，均采用第2子圖中的小波預處理數據進行分析和預測。

4.3 模型預測與結果分析

國際上最長壽的10個航天器為：NASA外行星探測器Voyager2(1977.8–)，Voyager1(1977.9–)，NOAA 氣象衛星GOES(1978.6–)， NASA 實驗通訊衛星ATS-3(1967.11–2001)，海事衛星Mirasat F2(1976.6–2008.10)，NASA 遙感衛星Landsat 5(1984.3–2012.12)，NASA數據中繼衛星TDRS-1(1983.4–2009)，NOAA 氣象衛星GEOS 7(1987.2– 2012.4)，NASA數據中繼衛星TDRS-3(1988.9–)以及NOAA氣象衛星GOES2(1977.6–2001)。不難看出，以上最長壽的10個航天器目前為止的壽命約為24年～36年。因此，借鑒此10個最長壽航天器的壽命長度，本文對4個半球諧振陀螺的壽命預測長度設定為26年(即，9倍周期預測+1倍實驗周期，約為26年)。分別采用GM(1,1)和經過殘差修正后的GM(1,1)對以上4個HRG的預處理數據進行模擬序列預測及9倍周期數據預測(1周期為958天，每個周期共有1590個數據。9倍周期預測：從模擬序列預測之后預測出1590×9=14310個數據點)。4個半球諧振陀螺預測結果，即GM(1,1)與殘差修正GM(1,1)模型的預測結果分別如圖3～圖6所示。9倍周期預測為各圖橫坐標[1-10]區域的預測結果。

圖3 1#HRG預測結果

圖4 2#HRG預測結果

圖5 3#HR結果

圖6 4#HRG預測結果

根據圖3～圖6可知，4個半球諧振陀螺的GM(1,1)與殘差修正GM(1,1)預測效果比較表明：殘差修正GM(1,1)的預測效果優于GM(1,1)，修正后預測模型模擬序列(橫坐標[0-1]區域)與建模序列更接近，關聯更密切。由此推斷，第1倍～第9倍周期預測，殘差修正GM(1,1)的準確度高于GM(1,1)。

分別計算出GM(1,1)、殘差修正GM(1,1)的模擬序列與建模序列之間的殘差修正和、平均相對誤差、均方根誤差和標準均方誤差，具體如表1所示。

表1 GM(1,1)與殘差修正GM(1,1)的模擬序列預測精度

由表1所示，1#,2#,3#和4#殘差修正GM(1,1)的平均相對誤差、均方根誤差、標準均方誤差皆小于GM(1,1)，即利用殘差修正GM(1,1)預測4個半球諧振陀螺的效果較GM(1,1)更好，具有更高的預測精度。

利用殘差修正GM(1,1)模型對4個HRG分別進行1倍～9倍周期的漂移量預測，得到每個HRG的模型模擬序列、各周期預測序列與建模序列的灰色關聯度，如表2所示。

表2 10組預測數據與建模序列的灰色關聯度

根據預測數據曲線，4個半球諧振陀螺的殘差修正GM(1,1)模型的模擬序列曲線(各圖橫坐標[0-1]區域)與建模序列曲線最接近，相似度最高，第1倍～第9倍周期(橫坐標[1-10]區域)預測數據曲線與建模序列曲線的相似度較小，根據3.3節中灰色關聯分析方法，模擬序列的灰色關聯度最高，第1倍～第9倍周期預測序列的灰色關聯度較低，故以標準作為分析各半球諧振陀螺壽命的方法。

由表2可知，1#半球諧振陀螺的第8倍周期預測序列的灰色關聯度為0.8463，首次超過模擬序列的灰色關聯度0.8357，且此后各周期預測序列的灰色關聯度均高于模擬序列的灰色關聯度，因此，1#HRG的第8倍預測階段作為該類型陀螺儀的失效階段。則1#陀螺儀預測壽命為9倍周期(即，8倍預測周期+1個實驗周期=9倍周期，1周期為958天)，即958×9=8622天，約23.62年；同理，2#半球諧振陀螺的預測壽命為958×6=5748天，約15.74年；3#HRG預測壽命為958×7=6706天，約18.37年；4#HRG預測壽命為958×7=6706天，約18.37年。參照國際上最長壽命的10個航天器壽命，本文預測出的4個半球諧振陀螺的壽命符合實際情況，驗證了本文采用的復合方法的正確性。

5 結束語

本文針對國內外半球諧振陀螺壽命預測方法研究較少的情況，提出了一種基于小波分析與灰色關聯的灰色系統長壽命預測方法。該方法利用daubechies和symlets小波分解、重構半球諧振陀螺的漂移數據，獲得規律性更強的低噪聲建模數據，然后對GM(1,1)進行殘差修正，使用該修正后的模型進行多周期預測，預測結果表明殘差修正GM(1,1)的預測模擬數據精度高于GM(1,1)。最后利用灰色關聯方法分析、判斷出各半球諧振陀螺的失效階段，從而預測各陀螺儀的壽命：1#,2#,3#和4#這4個半球諧振陀螺一般可正常工作15年以上。根據國際上航天器的工作壽命情況，利用文中的復合方法得到的半球諧振陀螺壽命值具有一定的可信度，因而該預測方法和預測結果可為研究半球諧振陀螺工作壽命的機構提供相應參考。雖然文中的復合方法較傳統的GM(1,1)能更好地處理噪聲數據，得到更高精度的模擬序列并進行長周期壽命預測，但在實驗過程中，該方法自我學習能力不強，對數據規律要求較高，故今后會繼續研究學習能力更好的方法，對它們進行優化改進，從而更好地適應長期壽命預測場合，并將改進的方法應用到半球諧振陀螺工作壽命預測當中。

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