在辯證統一中把握不等關系

孔凡哲 曾金炳

不等式是初中數學的重要內容之一，它是一元一次方程、二元一次方程組等內容的進一步發展.

不等式與方程、函數作為刻畫現實世界的數學模型，三者構成初中數學課程教學的最重要內容.

一、不等是大千世界中普遍存在的關系

對于某一變化過程中的兩個量a、b而言，隨著運動變化，a與b之間的關系有時相等，有時不等，這種數量關系就成了數學的研究對象之一.

1.不等是普遍的關系，而相等卻是暫時的、瞬間的關系.

對于運動變化過程中的兩個量a、b而言，其彼此相等往往是暫時的，而不等卻是普遍存在的.

例1 甲、乙兩位老師相約乘坐城際高鐵到省城參加教研活動.乙住處距省城64km，甲住處位于乙住處與省城之間，兩個住處相距12km.兩人乘坐高鐵（勻速行駛）同時同向出發，其距乙出發點距離與時間關系如圖1所示.那么，兩人8min后能同時到達省城嗎？其各自所乘坐高鐵的速度分別為多少？

2.尋找差異是衡量不等關系的重要工具，求差法、求比法是判斷不等關系的重要方法.

對于不等關系a>b，通常采取求差法進行分析研究，當a、b均為正數時，也可以采取求比法進行分析研究.

二、準確把握不等式所蘊涵的基本思想

學習不等式，除了理解、掌握不等式的基本概念和基本性質，還要注意體會把握不等式的重要思想方法.

1.模型思想.

與相等關系相比，不等關系是現實世界中更為普遍的關系，不等式是刻畫不等關系的重要模型.這種模型經常與方程、函數聯系在一起，三者都是刻畫現實世界中量與量之間變化規律的重要模型.在解決實際問題時，往往需要合理選擇這三種重要的數學模型.

例2某工廠現有甲種原料360kg，乙種原料290 kg，計劃利用這兩種原料生產A、B兩種產品，共50件，已知生產1件A種產品，需用甲種原料9kg，乙種原料3kg；生產1件B種產品，需用甲種原料4kg，乙種原料10kg.如果設生產A種產品x件，則按要求分別需要甲、乙兩種原料各多少？

按要求安排生產A、B兩種產品，可以有哪幾種方案？請你幫助設計.

解析：在這里，最重要的信息就是“計劃利用這兩種原料生產A、B兩種產品，共50件”，這里包含著兩個關鍵的數量關系：生產A、B兩種產品所使用的甲種原料的數量不超過360 kg，生產A、B兩種產品所使用的乙種原料的數量不超過290 kg.

如果設生產4種產品x件，那么，生產B種產品（50-x）件，于是，按要求需要甲種原料[9x+4（50-x）]kg，乙種原料[3x+10（50-x）]kg.從而，上面的兩個關系可以等價地表示為：生產A、B兩種產品所使用的甲種原料的千克數9x+4（50-x）不超過360.生產A、B兩種產品所使用的乙種原料的千克數3x+10（50-x）不超過290.

由上述過程知，建模包含了這樣的過程：

首先，用自然語言描述現實問題；其次，發現現實問題中的量，用自然語言描述多個量之間的不等關系；再次，用只含一個未知數的式子描述這些量之間的不等關系；最后，用不等式（組）表示不等關系.

2.辯證思想.

相等關系與不等關系是一對矛盾關系，但是，在引入松弛量的前提下，“a>b”與“存在一個正數c，滿足a=b+c”卻是等價的，這就是一種辯證思想.這意味著，即使是相互矛盾的一對關系，在一定條件下也可以相互轉化，

值得一提的是，恰當地運用這種思想，可以輕松解決相當多的問題，教材中本章的大部分問題，幾乎都可以利用這種思想加以解決.不等式的所有性質幾乎都可以采取引入松弛量的方法加以證明.

3.數形結合思想.

數軸是描述不等式（組）的解集的最佳方式之一.其主要的依據在于，每一個實數都能用數軸上的點表示，數軸上的每一個點都對應著一個實數.右邊的點對應的數總比左邊的點對應的數大.

從而，所有大于a的數對應的點，都排在數軸上數a對應的點A的右側.

按照這種思想，解不等式（組）就變得自然、簡單.

事實上，我們在解不等式（組）時，運用數軸表示不等式（組）的解集，就是數形結合思想的具體體現.

可見，在解決與不等式（組）有關的問題時，我們要注意數形結合，尤其要注意聯系數軸或者方程、等式等內容，注意不等式與等式之間的轉換.同時，要深刻體會不等關系的廣泛存在性，注意使用恰當的不等式來刻畫這種不等關系.

還記得解方程的核心方法是“化歸”嗎？解不等式其實也是如此，事實上，無論是一元一次不等式的解題過程，還是一元一次不等式組的解題過程，都是憑借不等式的相關性質，化繁為簡、合并消元，最終化歸為x>a等的形式.