基于T?S模糊模型的機(jī)器人軌跡跟蹤控制

劉桂林+高道祥+閆磊

摘要： 為了解決機(jī)器人跟蹤控制的建模誤差和擾動所引起的不穩(wěn)定問題，設(shè)計一種基于T?S模糊模型的滑模控制器。首先對機(jī)器人動力學(xué)方程進(jìn)行扇區(qū)非線性處理，建立T?S模糊模型，然后設(shè)計出保證機(jī)器人系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的滑模控制器。對二連桿機(jī)器人進(jìn)行給定軌跡實驗時，系統(tǒng)具有良好的軌跡跟蹤性能，系統(tǒng)誤差很快收斂到零。實驗結(jié)果表明該方法對非線性系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒穩(wěn)定性， 驗證了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞： T?S模糊模型； 滑模控制； 軌跡跟蹤控制； 機(jī)器人

中圖分類號： TN911?34； TP273文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）08?0102?03

Robot trajectory tracking control based on T?S fuzzy model

LIU Gui?lin， GAO Dao?xiang， YAN Lei

（College of Technology， Beijing Forestry University， Beijing 100083， China）

Abstract： An adaptive sliding mode controller based on T?S fuzzy model was designed for overcoming the instability resulted from modelling error and perturbation of robotic tracking manipulator. A T?S fuzzy model is established by using sector nonlinearity processing for robot dynamic equations. The sliding mode controller is designed to ensure asymptotical stability of robot system. In the given track experiment of the two?link robot， the system achieved perfect trajectory tracking effect， and the system error was converged to zero rapidly. The results show that the method proposed in this paper has high robust stability for nonlinear system. The effectiveness of the method was verified in the experiment.

Keywords： T?S fuzzy model； sliding mode control； trajectory tracking control； robot

0引言

軌跡跟蹤和穩(wěn)定性是控制中的兩個典型問題[1]。機(jī)器人軌跡跟蹤控制的主要目的是通過給定各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩，使得機(jī)器人的位置、速度等狀態(tài)變量跟蹤給定的理想軌跡[2]。傳統(tǒng)的軌跡跟蹤控制方法大多數(shù)是基于確定、定量化的數(shù)學(xué)模型來設(shè)計控制器，而現(xiàn)實世界大多數(shù)控制系統(tǒng)由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和擾動的存在，系統(tǒng)精確的數(shù)學(xué)模型難以得到。但是，基于模型的控制可以讓大多數(shù)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)線性化[3]。針對非線性系統(tǒng)軌跡跟蹤和穩(wěn)定性問題，目前已做了大量的研究。文獻(xiàn)[4]針對輪式移動機(jī)器人的非完整運(yùn)動學(xué)模型，利用自適應(yīng)反演控制技術(shù)設(shè)計了具有全局漸近穩(wěn)定性的自適應(yīng)控制器并利用李雅普諾夫理論證明了其具有全局漸近穩(wěn)定，仿真結(jié)果驗證了所設(shè)控制器的有效性和正確性。文獻(xiàn)[5] 設(shè)計反演非奇異終端神經(jīng)滑模控制處理具有不確定干擾和建模誤差的多關(guān)節(jié)機(jī)械臂的軌跡跟蹤問題，仿真結(jié)果表明該方法具有良好的軌跡跟蹤性能。文獻(xiàn)[6]針對具有廣義不確定性的非線性系統(tǒng)，設(shè)計自適應(yīng)模糊反演控制器，仿真結(jié)果表明該控制方法具有良好的動態(tài)品質(zhì)和跟蹤性能，對非線性控制系統(tǒng)具有很強(qiáng)的魯棒性和自適應(yīng)性。文獻(xiàn)[7]在一種穩(wěn)定的機(jī)器人神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（NN）控制器基礎(chǔ)上，提出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器和監(jiān)督控制器相結(jié)合的控制方案，仿真結(jié)果表明該方法具有較好的魯棒性和跟蹤效果。文獻(xiàn)[8]針對產(chǎn)生回歸軌跡的連續(xù)非線性動態(tài)系統(tǒng)，基于確定學(xué)習(xí)理論，使用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為機(jī)器人任務(wù)空間跟蹤控制設(shè)計了一種新的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法，不僅實現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)所有信號的最終一致有界，而且在穩(wěn)定的控制過程中，沿著回歸跟蹤軌跡實現(xiàn)了部分神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的方式存儲，可以用來改進(jìn)系統(tǒng)的控制性能，也可以應(yīng)用到類似的控制任務(wù)中，能夠有效地節(jié)約時間和能量。這些方法各有優(yōu)劣，大多數(shù)都用性不強(qiáng)，或者控制器設(shè)計過程復(fù)雜。

Takagi和Sugeno在1985年提出了T?S模糊建模的方法。作為通用的逼近器，T?S模糊模型已被證明可以任意精度逼近非線性系統(tǒng)。本文針對機(jī)器人模型的非線性，通過扇區(qū)非線性方法建立T?S模糊模型，考慮到與實際模型之間的差異和擾動的存在，設(shè)計了滑模控制器，并利用李雅普諾夫理論證明了其穩(wěn)定性。設(shè)計方法簡單，通用性強(qiáng)。

1問題描述

1.1n連桿機(jī)器人動力學(xué)方程

不考慮摩擦力等外界干擾的作用，n連桿機(jī)器人的動力學(xué)方程可以表示為[9]：

[Mqq+Cq,qq+Gq=τ] （1）

式中：[q] ，[q] ，[q]是n×1向量，表示各個關(guān)節(jié)的位置，速度，加速度；[Mq]是機(jī)器人的n×1階對稱正定慣性矩陣；[Cq,qq]是n×1向量，表示離心力和哥氏力；[G(q)]是n×1向量，表示重力項；[τ]為外界輸入的控制力矩。

令[x=(qT,qT)T]，則式（1）可改寫為，

[Mx+Cx+G=u] （2）

式中：[M=IOOM；C=OIOC；G=OG；u=Oτ]

由于M正定，所以[M]可逆，式（2）兩邊同乘以[M-1]，可以改寫為：

[x=Ax+Bu+Χ] （3）

式中：[A=-M-1C，B=-M-1，Χ=-M-1G]

取[xd]為指令，[e=x-xd]為誤差，則：

[e=x-xd=Ae+Bu+Χ+Axd-xd] （4）

令[d(t)=Χ+Axd-xd]，則式（4）可改寫為：

[e(t)=A(t)e(t)+B(t)u(t)+d(t)] （5）

1.2T?S模糊模型

機(jī)器人動力學(xué)方程可以由以下動力學(xué)T?S模糊模型表示，用IF?THEN規(guī)則描述為[10]：[規(guī)則i：if?z1(t)?is?Fi1?and…and?zp(t)?is?Fipthen?e(t)=Ai(t)e(t)+Bi(t)u(t)+di(t)? i=1,2,…,m.] （6）

式中：[Fij(i=1,2…,m,j=1,2,…,p)]是由隸屬度函數(shù)[μFji]描述的模糊集；[z1(t)～zp(t)]為可觀測變量或非線性函數(shù)，即前件變量；m是模糊規(guī)則數(shù)；p是前件變量數(shù)。第i條規(guī)則的隸屬度函數(shù)定義為[μi(z(t))=j=1pμFij(z(t))]，[i=1mμi(z(t))=1]。[u(t)∈Rn]是輸入向量，[Ai(t),Bi(t)∈Rn×n,][di(t)∈Rn]分別是常數(shù)矩陣和向量。

由此式（5）可以改寫為：

[e(t)=A(t)e(t)+B(t)u(t)+d(t)] （7）

式中：[A(t)=i=1mμiAi(t)，B(t)=i=1mμiBi(t)，d(t)=i=1mμidi(t)]

式（7）是在不考慮任何模型不確定性和內(nèi)部擾動情況下對式（5）線性化的模糊模型，而式（7）和實際物理模型之間存在建模誤差，為了分析這種方法的適用性和魯棒性，加上擾動部分：

[e(t)=A(t)e(t)+B(t)u(t)+d(t)+Δp(e,u)] （8）

式中：

[Δp(e,u)≤ρ0+ρ1x(t)+ρ2u(t)] （9）

式中：常數(shù)[ρ0,ρ1,ρ2>0]。

1.3動力學(xué)T?S模糊模型的扇區(qū)非線性處理

文獻(xiàn)[11]最早在模糊模型中使用了扇區(qū)非線性處理的方法。 假設(shè)動力學(xué)式（1）中[Mq]、[Cq,q]、[Gq]包含p個不同的非線性函數(shù)，這些非線性函數(shù)用[zi(x)(i=1,2,…,p)]表示。如果[zi(x)]的最大值和最小值[12]為[zmaxi]和[zmini]，那么：

[zi(x)=E1izmaxi+E2izmini，i=1,2,…,p] （10）

式中[E1j]和[E2j(j=1,2,…,p)]為隸屬度函數(shù)，且滿足[E1j+E2j=1]。因此，隸屬度函數(shù)可以表示為：

[E1i=zi-zminizmaxi-zminiE2i=zmaxi-zizmaxi-zmini] （11）

式中：[i=1,2,…,p]。將式（8）代入機(jī)器人動力學(xué)方程式（5），在式（6）中可以得到機(jī)器人動力學(xué)T?S模糊模型，第i條規(guī)則的隸屬度函數(shù)[Nji]可以選為[E1j]和[E2j]。

2滑模控制器的設(shè)計

取滑模函數(shù)為[S?[s1?,s2,?…,?sn]?T∈Rn×1]，使得系統(tǒng)一旦進(jìn)入到滑模面，則[S=0]。定義滑模面為:

[S=Ce]（12）

式中:[C={Λ,I}∈Rn×2n,Λ=diag(λ1…λn)>0,]向量[C]的選取滿足[CB(t)]非奇異。

由式（8）、 式（12）可求得[S]關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)：

[S=CAe+CBu+Cd(t)+CΔp] （13）

取控制律為：

[u(t)=-[CB(t)]-1[CA(t)e+Cd(t)]+us(t)] （14）

式中：

[us(t)=-[CB(t)]-1[ξ1+ξ2+?C(ρ0+ρ1e)]SS,S≠00,???????????S=0] （15）

[ξ2=k?[CB(t)]-1·C1-k[CB(t)]-1·C[ξ1+?C(Ae+d+ρ0+ρ1e)]] （16）

式中：[ξ1]是需要設(shè)計正常數(shù)，[ρ2≤k<1C·(CB)-1]。

證明：取李雅普諾夫函數(shù)為：

[V=12S2] （17）

當(dāng)[S≠0]時，將式（17）對t求導(dǎo)，并結(jié)合式（9）、 式（13）得：

[[V=SS=S[CAe+CBu+Cd(t)+CΔp]??≤S·CΔp-S[ξ1-ξ2-C·(ρ0+ρ1e)]??≤(-ξ1-ξ2)S+C·S[ρ0+ρ1e+ρ2u-??(ρ0+ρ1e)]??≤-ξ1S+S·[-ξ2+ρ2C·[CB(t)]-1·(CAe+??Cd+ξ1+ξ2+C(ρ0+ρ1e))]??≤-ξ1S+S[-ξ2(1-kC[CB(t)]-1)+kC·??[CB(t)]-1(ξ1+C·(Ae+d+ρ0+ρ1e))]??≤-qξ1S<0]&]

由此可知，在有限的時間內(nèi)[V]和[S]將趨近于零。

3仿真實例

下面是一個關(guān)于二連桿機(jī)器人的仿真，機(jī)器人機(jī)械機(jī)構(gòu)的具體參數(shù)設(shè)置：連桿質(zhì)量[m1=10kg，][ m2=5kg]；連桿長度[r1=r2=1m]，連桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量： [I1=56kg?m2,?I2=512kg?m2]。機(jī)器人關(guān)節(jié)空間的期望軌跡為：

[q1d=sin(0.67t）+sin(0.3t)radq2d=sin(0.39t)+sin(0.5t)rad]

機(jī)器人關(guān)節(jié)的初始位置與速度為：

[q10=q20=1rad，q10=q20=0rad/s]

假設(shè)：[q1，q2∈[-π，π]；q1，q2∈[-4，4]]。

忽略摩擦力等干擾，其動力學(xué)方程為：[D11D12D12D22q1q2=F12q22+2F12q1q2 F12q21+h1gh2g+u1u2]（18）

式中：

[D11=(m1+m2)r21+m2r22+2m2r1r2cosq2+I1，D12=m2r22+m2r1r2cosq2，D22=m2r22+I2，h1=-(m1+m2)r1cosq1-m2r2cos(q1+q2)，h2=-m2r2cos(q1+q2)，F(xiàn)12=m2r1r2sinq2]

動力學(xué)方程中包含5個非線性條件：

[z1=m2r1r2cosq2z2=m2r1r2sinq2q2z3=m2r1r2sinq2q1z4=-m2r2cos(q1+q2)z5=-(m1+m2)r2cosq1] （19）

由于[zmaxi]和[zmini]由式（19）決定，將式（19）代入式（18），改寫成式（5）形式，可以得到以下32條規(guī)則的動力學(xué)T?S模糊模型：

[[規(guī)則i：if?z1(t)?is?Fi1?and…and?z5(t)?is?Fi5then?e(t)=Ai(t)e(t)+Bi(t)u(t)+di(t)? i=1,2,…,32?]&]

仿真結(jié)果如圖1、圖2所示。其中，圖1中軌跡1、2分別為連桿1、2的軌跡跟蹤，圖2為連桿1、2軌跡偏差。可以看出，系統(tǒng)跟蹤誤差很快收斂到零，到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，響應(yīng)時間快，跟蹤效果較好。

圖1 連桿1、2軌跡跟蹤

圖2 連桿1、2軌跡跟蹤誤差

4結(jié)語

針對具有建模誤差和外部擾動的機(jī)器人軌跡跟蹤問題設(shè)計了基于T?S模糊模型的滑模控制，與大多數(shù)T?S模糊控制不同，對具有非線性機(jī)器人模型進(jìn)行了扇區(qū)非線性處理獲得T?S模糊模型。利用李雅普諾夫理論證明了滑模控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由仿真結(jié)果可見，所設(shè)計的滑模控制，具有較好的軌跡跟蹤性能，系統(tǒng)誤差很快收斂到零，響應(yīng)時間快，跟蹤效果較好。實驗結(jié)果表明該方法對非線性系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒穩(wěn)定性。

參考文獻(xiàn)

[1] TSENG C S， CHEN B S， UANG H J. Fuzzy tracking control design for nonlinear dynamic systems via TS fuzzy model [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2001， 9（3）： 381?392.

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[11] KAWAMOTO S， TADA K， ISHIGAME A， et al. An approach to stability analysis of second order fuzzy systems [C]// 1992 IEEE International Conference on Fuzzy Systems. [S.l.]： IEEE， 1992： 1427?1434.

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由此式（5）可以改寫為：

[e(t)=A(t)e(t)+B(t)u(t)+d(t)] （7）

式中：[A(t)=i=1mμiAi(t)，B(t)=i=1mμiBi(t)，d(t)=i=1mμidi(t)]

式（7）是在不考慮任何模型不確定性和內(nèi)部擾動情況下對式（5）線性化的模糊模型，而式（7）和實際物理模型之間存在建模誤差，為了分析這種方法的適用性和魯棒性，加上擾動部分：

[e(t)=A(t)e(t)+B(t)u(t)+d(t)+Δp(e,u)] （8）

式中：

[Δp(e,u)≤ρ0+ρ1x(t)+ρ2u(t)] （9）

式中：常數(shù)[ρ0,ρ1,ρ2>0]。

1.3動力學(xué)T?S模糊模型的扇區(qū)非線性處理

文獻(xiàn)[11]最早在模糊模型中使用了扇區(qū)非線性處理的方法。 假設(shè)動力學(xué)式（1）中[Mq]、[Cq,q]、[Gq]包含p個不同的非線性函數(shù)，這些非線性函數(shù)用[zi(x)(i=1,2,…,p)]表示。如果[zi(x)]的最大值和最小值[12]為[zmaxi]和[zmini]，那么：

[zi(x)=E1izmaxi+E2izmini，i=1,2,…,p] （10）

式中[E1j]和[E2j(j=1,2,…,p)]為隸屬度函數(shù)，且滿足[E1j+E2j=1]。因此，隸屬度函數(shù)可以表示為：

[E1i=zi-zminizmaxi-zminiE2i=zmaxi-zizmaxi-zmini] （11）

式中：[i=1,2,…,p]。將式（8）代入機(jī)器人動力學(xué)方程式（5），在式（6）中可以得到機(jī)器人動力學(xué)T?S模糊模型，第i條規(guī)則的隸屬度函數(shù)[Nji]可以選為[E1j]和[E2j]。

2滑模控制器的設(shè)計

取滑模函數(shù)為[S?[s1?,s2,?…,?sn]?T∈Rn×1]，使得系統(tǒng)一旦進(jìn)入到滑模面，則[S=0]。定義滑模面為:

[S=Ce]（12）

式中:[C={Λ,I}∈Rn×2n,Λ=diag(λ1…λn)>0,]向量[C]的選取滿足[CB(t)]非奇異。

由式（8）、 式（12）可求得[S]關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)：

[S=CAe+CBu+Cd(t)+CΔp] （13）

取控制律為：

[u(t)=-[CB(t)]-1[CA(t)e+Cd(t)]+us(t)] （14）

式中：

[us(t)=-[CB(t)]-1[ξ1+ξ2+?C(ρ0+ρ1e)]SS,S≠00,???????????S=0] （15）

[ξ2=k?[CB(t)]-1·C1-k[CB(t)]-1·C[ξ1+?C(Ae+d+ρ0+ρ1e)]] （16）

式中：[ξ1]是需要設(shè)計正常數(shù)，[ρ2≤k<1C·(CB)-1]。

證明：取李雅普諾夫函數(shù)為：

[V=12S2] （17）

當(dāng)[S≠0]時，將式（17）對t求導(dǎo)，并結(jié)合式（9）、 式（13）得：

[[V=SS=S[CAe+CBu+Cd(t)+CΔp]??≤S·CΔp-S[ξ1-ξ2-C·(ρ0+ρ1e)]??≤(-ξ1-ξ2)S+C·S[ρ0+ρ1e+ρ2u-??(ρ0+ρ1e)]??≤-ξ1S+S·[-ξ2+ρ2C·[CB(t)]-1·(CAe+??Cd+ξ1+ξ2+C(ρ0+ρ1e))]??≤-ξ1S+S[-ξ2(1-kC[CB(t)]-1)+kC·??[CB(t)]-1(ξ1+C·(Ae+d+ρ0+ρ1e))]??≤-qξ1S<0]&]

由此可知，在有限的時間內(nèi)[V]和[S]將趨近于零。

3仿真實例

下面是一個關(guān)于二連桿機(jī)器人的仿真，機(jī)器人機(jī)械機(jī)構(gòu)的具體參數(shù)設(shè)置：連桿質(zhì)量[m1=10kg，][ m2=5kg]；連桿長度[r1=r2=1m]，連桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量： [I1=56kg?m2,?I2=512kg?m2]。機(jī)器人關(guān)節(jié)空間的期望軌跡為：

[q1d=sin(0.67t）+sin(0.3t)radq2d=sin(0.39t)+sin(0.5t)rad]

機(jī)器人關(guān)節(jié)的初始位置與速度為：

[q10=q20=1rad，q10=q20=0rad/s]

假設(shè)：[q1，q2∈[-π，π]；q1，q2∈[-4，4]]。

忽略摩擦力等干擾，其動力學(xué)方程為：[D11D12D12D22q1q2=F12q22+2F12q1q2 F12q21+h1gh2g+u1u2]（18）

式中：

[D11=(m1+m2)r21+m2r22+2m2r1r2cosq2+I1，D12=m2r22+m2r1r2cosq2，D22=m2r22+I2，h1=-(m1+m2)r1cosq1-m2r2cos(q1+q2)，h2=-m2r2cos(q1+q2)，F(xiàn)12=m2r1r2sinq2]

動力學(xué)方程中包含5個非線性條件：

[z1=m2r1r2cosq2z2=m2r1r2sinq2q2z3=m2r1r2sinq2q1z4=-m2r2cos(q1+q2)z5=-(m1+m2)r2cosq1] （19）

由于[zmaxi]和[zmini]由式（19）決定，將式（19）代入式（18），改寫成式（5）形式，可以得到以下32條規(guī)則的動力學(xué)T?S模糊模型：

[[規(guī)則i：if?z1(t)?is?Fi1?and…and?z5(t)?is?Fi5then?e(t)=Ai(t)e(t)+Bi(t)u(t)+di(t)? i=1,2,…,32?]&]

仿真結(jié)果如圖1、圖2所示。其中，圖1中軌跡1、2分別為連桿1、2的軌跡跟蹤，圖2為連桿1、2軌跡偏差。可以看出，系統(tǒng)跟蹤誤差很快收斂到零，到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，響應(yīng)時間快，跟蹤效果較好。

圖1 連桿1、2軌跡跟蹤

圖2 連桿1、2軌跡跟蹤誤差

4結(jié)語

針對具有建模誤差和外部擾動的機(jī)器人軌跡跟蹤問題設(shè)計了基于T?S模糊模型的滑模控制，與大多數(shù)T?S模糊控制不同，對具有非線性機(jī)器人模型進(jìn)行了扇區(qū)非線性處理獲得T?S模糊模型。利用李雅普諾夫理論證明了滑模控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由仿真結(jié)果可見，所設(shè)計的滑模控制，具有較好的軌跡跟蹤性能，系統(tǒng)誤差很快收斂到零，響應(yīng)時間快，跟蹤效果較好。實驗結(jié)果表明該方法對非線性系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒穩(wěn)定性。

參考文獻(xiàn)

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[8] 吳玉香，王聰.基于確定學(xué)習(xí)的機(jī)器人任務(wù)空間自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[J].自動化學(xué)報，2013，39（6）：806?815.

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由此式（5）可以改寫為：

[e(t)=A(t)e(t)+B(t)u(t)+d(t)] （7）

式中：[A(t)=i=1mμiAi(t)，B(t)=i=1mμiBi(t)，d(t)=i=1mμidi(t)]

式（7）是在不考慮任何模型不確定性和內(nèi)部擾動情況下對式（5）線性化的模糊模型，而式（7）和實際物理模型之間存在建模誤差，為了分析這種方法的適用性和魯棒性，加上擾動部分：

[e(t)=A(t)e(t)+B(t)u(t)+d(t)+Δp(e,u)] （8）

式中：

[Δp(e,u)≤ρ0+ρ1x(t)+ρ2u(t)] （9）

式中：常數(shù)[ρ0,ρ1,ρ2>0]。

1.3動力學(xué)T?S模糊模型的扇區(qū)非線性處理

文獻(xiàn)[11]最早在模糊模型中使用了扇區(qū)非線性處理的方法。 假設(shè)動力學(xué)式（1）中[Mq]、[Cq,q]、[Gq]包含p個不同的非線性函數(shù)，這些非線性函數(shù)用[zi(x)(i=1,2,…,p)]表示。如果[zi(x)]的最大值和最小值[12]為[zmaxi]和[zmini]，那么：

[zi(x)=E1izmaxi+E2izmini，i=1,2,…,p] （10）

式中[E1j]和[E2j(j=1,2,…,p)]為隸屬度函數(shù)，且滿足[E1j+E2j=1]。因此，隸屬度函數(shù)可以表示為：

[E1i=zi-zminizmaxi-zminiE2i=zmaxi-zizmaxi-zmini] （11）

式中：[i=1,2,…,p]。將式（8）代入機(jī)器人動力學(xué)方程式（5），在式（6）中可以得到機(jī)器人動力學(xué)T?S模糊模型，第i條規(guī)則的隸屬度函數(shù)[Nji]可以選為[E1j]和[E2j]。

2滑模控制器的設(shè)計

取滑模函數(shù)為[S?[s1?,s2,?…,?sn]?T∈Rn×1]，使得系統(tǒng)一旦進(jìn)入到滑模面，則[S=0]。定義滑模面為:

[S=Ce]（12）

式中:[C={Λ,I}∈Rn×2n,Λ=diag(λ1…λn)>0,]向量[C]的選取滿足[CB(t)]非奇異。

由式（8）、 式（12）可求得[S]關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)：

[S=CAe+CBu+Cd(t)+CΔp] （13）

取控制律為：

[u(t)=-[CB(t)]-1[CA(t)e+Cd(t)]+us(t)] （14）

式中：

[us(t)=-[CB(t)]-1[ξ1+ξ2+?C(ρ0+ρ1e)]SS,S≠00,???????????S=0] （15）

[ξ2=k?[CB(t)]-1·C1-k[CB(t)]-1·C[ξ1+?C(Ae+d+ρ0+ρ1e)]] （16）

式中：[ξ1]是需要設(shè)計正常數(shù)，[ρ2≤k<1C·(CB)-1]。

證明：取李雅普諾夫函數(shù)為：

[V=12S2] （17）

當(dāng)[S≠0]時，將式（17）對t求導(dǎo)，并結(jié)合式（9）、 式（13）得：

[[V=SS=S[CAe+CBu+Cd(t)+CΔp]??≤S·CΔp-S[ξ1-ξ2-C·(ρ0+ρ1e)]??≤(-ξ1-ξ2)S+C·S[ρ0+ρ1e+ρ2u-??(ρ0+ρ1e)]??≤-ξ1S+S·[-ξ2+ρ2C·[CB(t)]-1·(CAe+??Cd+ξ1+ξ2+C(ρ0+ρ1e))]??≤-ξ1S+S[-ξ2(1-kC[CB(t)]-1)+kC·??[CB(t)]-1(ξ1+C·(Ae+d+ρ0+ρ1e))]??≤-qξ1S<0]&]

由此可知，在有限的時間內(nèi)[V]和[S]將趨近于零。

3仿真實例

下面是一個關(guān)于二連桿機(jī)器人的仿真，機(jī)器人機(jī)械機(jī)構(gòu)的具體參數(shù)設(shè)置：連桿質(zhì)量[m1=10kg，][ m2=5kg]；連桿長度[r1=r2=1m]，連桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量： [I1=56kg?m2,?I2=512kg?m2]。機(jī)器人關(guān)節(jié)空間的期望軌跡為：

[q1d=sin(0.67t）+sin(0.3t)radq2d=sin(0.39t)+sin(0.5t)rad]

機(jī)器人關(guān)節(jié)的初始位置與速度為：

[q10=q20=1rad，q10=q20=0rad/s]

假設(shè)：[q1，q2∈[-π，π]；q1，q2∈[-4，4]]。

忽略摩擦力等干擾，其動力學(xué)方程為：[D11D12D12D22q1q2=F12q22+2F12q1q2 F12q21+h1gh2g+u1u2]（18）

式中：

[D11=(m1+m2)r21+m2r22+2m2r1r2cosq2+I1，D12=m2r22+m2r1r2cosq2，D22=m2r22+I2，h1=-(m1+m2)r1cosq1-m2r2cos(q1+q2)，h2=-m2r2cos(q1+q2)，F(xiàn)12=m2r1r2sinq2]

動力學(xué)方程中包含5個非線性條件：

[z1=m2r1r2cosq2z2=m2r1r2sinq2q2z3=m2r1r2sinq2q1z4=-m2r2cos(q1+q2)z5=-(m1+m2)r2cosq1] （19）

由于[zmaxi]和[zmini]由式（19）決定，將式（19）代入式（18），改寫成式（5）形式，可以得到以下32條規(guī)則的動力學(xué)T?S模糊模型：

[[規(guī)則i：if?z1(t)?is?Fi1?and…and?z5(t)?is?Fi5then?e(t)=Ai(t)e(t)+Bi(t)u(t)+di(t)? i=1,2,…,32?]&]

仿真結(jié)果如圖1、圖2所示。其中，圖1中軌跡1、2分別為連桿1、2的軌跡跟蹤，圖2為連桿1、2軌跡偏差。可以看出，系統(tǒng)跟蹤誤差很快收斂到零，到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，響應(yīng)時間快，跟蹤效果較好。

圖1 連桿1、2軌跡跟蹤

圖2 連桿1、2軌跡跟蹤誤差

4結(jié)語

針對具有建模誤差和外部擾動的機(jī)器人軌跡跟蹤問題設(shè)計了基于T?S模糊模型的滑模控制，與大多數(shù)T?S模糊控制不同，對具有非線性機(jī)器人模型進(jìn)行了扇區(qū)非線性處理獲得T?S模糊模型。利用李雅普諾夫理論證明了滑模控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由仿真結(jié)果可見，所設(shè)計的滑模控制，具有較好的軌跡跟蹤性能，系統(tǒng)誤差很快收斂到零，響應(yīng)時間快，跟蹤效果較好。實驗結(jié)果表明該方法對非線性系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒穩(wěn)定性。

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