T-S模糊系統(tǒng)非脆弱跟蹤控制器設(shè)計(jì)

程權(quán)成，常曉恒

（渤海大學(xué) 工學(xué)院,遼寧 錦州 121013）

T-S模糊系統(tǒng)非脆弱跟蹤控制器設(shè)計(jì)

程權(quán)成，常曉恒

（渤海大學(xué) 工學(xué)院,遼寧 錦州 121013）

針對(duì)T-S模糊系統(tǒng)，研究了非脆弱H∞跟蹤控制器的設(shè)計(jì)問題。目的是通過設(shè)計(jì)跟蹤控制器使得被控閉環(huán)系統(tǒng)滿足給定的H∞跟蹤控制性能指標(biāo)。本文采用線性矩陣不等式（LMI）方法，求解過程不必通過二次迭代的兩步算法，所設(shè)計(jì)的控制器在一定的加性參數(shù)變化情況下,仍能保證系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性。最后，通過單關(guān)節(jié)剛性機(jī)械臂系統(tǒng)的仿真實(shí)驗(yàn)表明了該方法的有效性。

T-S模糊系統(tǒng)；非脆弱；H∞跟蹤控制；LMI

跟蹤控制作為控制理論活躍的研究領(lǐng)域之一，被廣泛應(yīng)用于機(jī)器人軌跡跟蹤、飛行器軌跡跟蹤、高精度機(jī)械加工等領(lǐng)域。實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定和跟蹤是控制理論的兩類典型問題，然而對(duì)于非線性系統(tǒng)而言，其跟蹤控制問題比穩(wěn)定性問題更加復(fù)雜。早在1997年，Kung就曾針對(duì)離散系統(tǒng)通過反饋線性化方法設(shè)計(jì)了模糊跟蹤控制器[1]，然而得到的模糊控制器并不能保證非最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Lam研究了連續(xù)模糊系統(tǒng)的模型跟蹤控制問題，在假定狀態(tài)變量可測(cè)的前提下，分析了模糊控制器設(shè)計(jì)的魯棒性問題[2]。為解決[1]中可能存在的不穩(wěn)定性和[2]中狀態(tài)變量不可測(cè)時(shí)的局限性，Tseng針對(duì)T-S模糊模型提出了對(duì)于所有輸入有界參考信號(hào)的跟蹤控制性能指標(biāo)，不必通過反饋線性化和復(fù)雜的自適應(yīng)算法便可達(dá)到系統(tǒng)性能要求[3]，但其研究的T-S模糊模型中并沒有考慮實(shí)際系統(tǒng)中可能存在的不確定性，于是Mansouri在Tseng的研究基礎(chǔ)上用含有不確定性的T-S模糊模型來描述非線性系統(tǒng)[4]，增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。在控制方法和控制性能指標(biāo)上也有很多改進(jìn)[5-7]，這些方法均為跟蹤控制問題提供了更加寬泛的理論分析方法。綜上所述，目前針對(duì)復(fù)雜模糊系統(tǒng)模型設(shè)計(jì)的跟蹤控制器，需要通過二次迭代的兩步算法或其他復(fù)雜算法進(jìn)行變換求解，不僅增加了系統(tǒng)的保守性，而且降低了系統(tǒng)的時(shí)效性。同時(shí)，以上關(guān)于跟蹤控制器及觀測(cè)器的研究中均未考慮非脆弱控制問題[8]。因此，本文通過設(shè)計(jì)非脆弱跟蹤控制器使得被控閉環(huán)系統(tǒng)滿足給定的H∞跟蹤控制性能指標(biāo)，所設(shè)計(jì)的控制器考慮存在一定的加性參數(shù)變化，控制器的存在條件以線性矩陣不等式（LMI）的形式表示，避免了二次迭代的兩步算法，可行性更高。

1 問題描述

考慮如下的連續(xù)T-S模糊系統(tǒng)：

為指定預(yù)定軌跡，考慮參考模型如下：

其中，xr(t)∈Rn為參考狀態(tài)變量，r(t)為有界參考輸入變量，Ar為穩(wěn)定矩陣。

選取模糊非脆弱觀測(cè)器和控制器的整體模型為：

如果不考慮初始狀態(tài)，采用與跟蹤誤差y(t)-yr(t)相關(guān)的H∞跟蹤控制性能指標(biāo)如下[7]：

其中，Q為正定的加權(quán)矩陣，γ為給定的性能衰減指標(biāo)。

為推導(dǎo)本文的結(jié)果，將用到如下引理：

引理 1[9]：對(duì)于任意的矩陣 Xi，i=1,2,…,r和矩陣 S＞0，可

引理2[10]：如果下述兩個(gè)矩陣不等式條件成立

引理 4[12]：對(duì)于給定適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣 W=WT，H，E和△T(t)△(t)≤I，那么對(duì)于任意常數(shù) σ＞0有：W+H△(t)E+(H△(t)E)T≤W+σ-1HHT+σETE

2 H∞跟蹤控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)基于線性矩陣不等式方法，給出了非脆弱 H∞跟蹤控制器及觀測(cè)器的存在條件。定理1考慮閉環(huán)系統(tǒng)（4），對(duì)于給定的 γ＞0，如果存在矩陣 X＞0，Y＞0，P1＞0，P2＞0，P3＞0，，和正常數(shù) σKij，σLij，i，j=1,2…，r使得下述矩陣不等式成立:γii＜0，Γii＜0，i=1，2，…，r γij+γji＜0 Γij+Γji＜0 i，j=1,2，…，r，i＜j

證明：定義 Lyapunov 函數(shù),V(ψ(t))=ψT(t)Pψ(t),P＞0 (6)

代入系統(tǒng)（4），由引理1可知下式成立

其中，γij，Γij的形式同定理 1。

3 仿真實(shí)例

為證明提出方法的有效性，考慮如下的單關(guān)節(jié)剛性機(jī)械臂系統(tǒng)[13]：

選取參考模型如下：

假定跟蹤控制器和觀測(cè)器中的不確定參數(shù)形如：HK1=-0.1,HK2=0.1,EK1=[-0.1-0.1],EK2=[0.3-0.2],HL1=[-0.3-0.4]T,HL2=[-0.1 0.5]T,EL1=0.1,EL2=-0.6。考慮Q=I時(shí)，通過Matlab LMI工具箱求解定理1中的矩陣不等式條件，解得g=7.764時(shí)，控制器參數(shù)為：K1=[3.134 6-0.871 2]， K2=[-3.268 2-0.834 9]，L1=[-29.573 8 10.027 3]T，L2=[-23.348 7 8.070 4]T。當(dāng)觀測(cè)器和控制器的內(nèi)部擾動(dòng)為△Ki(t)=△Li(t)=cos(t)，系統(tǒng)的測(cè)量噪聲為v(t)=[exp(-0.1*t)0]T，得到圖1的仿真結(jié)果。

圖1 輸出變量y(t)與參考信號(hào)輸出變量yr(t)響應(yīng)曲線Fig.1 The responses of output variable y(t)and reference output variable yr(t)

4 結(jié)論

文中針對(duì)T-S模糊系統(tǒng)，研究了H∞跟蹤控制器的設(shè)計(jì)問題，所設(shè)計(jì)的控制器考慮了加性參數(shù)變化的存在。本文的結(jié)果以線性矩陣不等式（LMI）的形式給出，求解過程不需要二次迭代，通過該方法求得的跟蹤控制器能夠滿足給定的性能指標(biāo)。最后，利用對(duì)單關(guān)節(jié)剛性機(jī)械臂系統(tǒng)的仿真實(shí)驗(yàn)證明了提出方法的有效性。

[1]Kung C C,Li H H.Tracking control of nonlinear systems by fuzzy model-based controller[C]//Proceedings of the 6th IEEE International Conference on Fuzzy Systems,Barcelona:[s.n.].1997:623-628.

[2]Lam H K,Leung F H F,Tam P K S.Fuzzy control of a class of multivariable nonlinear systems subject to parameter uncertainties:model reference approach[J].International Journal of Approximate Reasoning,2001,26(2):129-144.

[3]Tseng C S,Chen B S,Uang H J.Fuzzy tracking control design for nonlinear dynamic systems via T–S fuzzy model[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2001,9(3):381-392.

[4]Mansouri B,Manamanni N,Guelton K,et al.Output feedback LMI tracking control conditions withcriterion for uncertain and disturbed T–S models[J].Information Sciences,2009,179(4):446-457.

[5]Lin T C,Wang C H,Liu H L.Observer-based indirect adaptive fuzzy-neural tracking control for nonlinear SISO systems using VSS andapproaches [J].Fuzzy Sets and Systems,2004,143(2):211-232.

[6]Guo X G,Yang H.output tracking control for delta operator systems with insensitivity to controller coefficient variations[J].International Journal of Systems Science,2011,44(4):652-662.

[7]Lin C,WangQ G,LeeT H.outputtrackingcontrolfor nonlinear systems via T–S fuzzy model approach[J].IEEE Transactions on Systems,Man,and Cybernetics—Part B:Cybernetics,2006,36(2):450-457.

[8]Keel L H,Bhattacharyya S P.Robust,fragile,or optimal[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1997,42(8):1098-1105.

[9]Chen C,Feng G,Guan X.Delay-dependent stability analysis and controller synthesis for discrete-time T-S fuzzy systems with time delays[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems,2005,13(5):630-643.

[10]Tseng C S,Hwang C K.Fuzzy observer-based fuzzy control design for nonlinear systems with persistent bounded disturbances[J].Fuzzy Sets and Systems,2007,158(2):164–179.

[11]Boyd S,Ghaoui L E,Feron E,et al.Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory[M].Philadelphia:Society for Industrial and Applied Mathematics,1994.

[12]Petersen I R.A stabilization algorithm for a class of uncertain linear system[J].Systems and Control Letters,1987,8(4):351-357.

[13]Pan Y J,Marquez H J,Chen T.Sampled-data iterative learning control for a class of nonlinear networked control systems[C]//Proceedings of the American Control Conference 2006,Minneapolis MN:[s.n.],2006:3494-3499.

Design of non-fragile tracking controller for T-S fuzzy system

CHENG Quan-cheng,CHANG Xiao-heng
（College of Engineering,Bohai University,Jinzhou 121013,China）

According to the T-S fuzzy systems,a non-fragile H∞tracking controller is designed in this thesis.The closed-loop control system can meet H∞tracking performance via the tracking controller that to be designed.The sufficient conditions of controller are obtained via linear matrix inequality (LMI)method.The process of solve without use a two-step iterative algorithm.The designed tracking controller can still ensure the systems are asymptotic stability with some controller parameter perturbations.Finally,the simulation experiment of single-link rigid robot shows the validity of the proposed method.

T-S fuzzy systems;non-fragile;H∞tracking control;LMI

TN964

A

1674-6236（2014）17-001-04

2013-11-12 稿件編號(hào)：201311116

國(guó)家自然科學(xué)基金（61104071）;遼寧省高等學(xué)校杰出青年學(xué)者成長(zhǎng)計(jì)劃(LJQ2012095);遼寧省裝備制造綜合自動(dòng)化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放項(xiàng)目（1120211415）

程權(quán)成（1989—），男，遼寧遼陽人，碩士研究生。研究方向：模糊控制、非脆弱控制、跟蹤控制。