Mathematica與基礎物理教學

柴連明 高偉

摘要：基于創(chuàng)新教育和教學手段現(xiàn)代化這兩個主題，本文通過基礎物理教學中幾個典型實例闡述了將數(shù)學軟件Mathematica與基礎物理教學相結合的的一種新型基礎物理教學模式。我們發(fā)現(xiàn)，將Mathematica軟件和基礎物理教學有機地結合起來，能幫助學生建立直觀的物理圖像，更好地理解物理概念，能激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生獨立思考的能力。

關鍵詞：Mathematica軟件;基礎物理;教學模式1引言

基礎物理課程指物理本科專業(yè)基礎理論課，具體包括力學、熱學、光學、電磁學和原子物理等課程。 學生對這些課程的學習效果不僅影響著對更深層次理論物理課程的理解和掌握，并且直接關系著物理專業(yè)學生培養(yǎng)的基本質(zhì)量，這點在擴招后的新升本院校中表現(xiàn)的尤為重要。基礎物理問題的解決一般涉及到許多高等數(shù)學方面的計算，而在求解時，一般都是采用手工推算的方法，這對于復雜的力學、電磁學、光學等問題的求解不僅耗時費力，且容易出錯。另外，即使能夠得到解析結果，卻往往不能得到直觀的物理圖像。這些課程通常是與高等數(shù)學同步開設(如力學、熱學)或者剛結束不久（如電磁學、光學、原子物理），導致學生對高等數(shù)學知識尚未來得及進一步深化，就已經(jīng)進入了如何使用的問題。對高等數(shù)學知識學習與使用的同步或者間隔太短往往很大程度成為了抑制了學生對基礎物理理解的瓶頸。隨著信息技術的普及，在21世紀初很多高校開始將一些計算機軟件引入基礎物理教學，試圖改變教學中存在的以上矛盾。然而，目前國內(nèi)在這方面的進展并不理想，問題的癥結在于：一方面需要遴選出適合現(xiàn)代化教學的理論物理內(nèi)容，另一方面缺乏表現(xiàn)和顯示這些內(nèi)容的合適手段，因為找到一門與理論物理教學結合得較好的計算機語言并非易事。在理論物理研究者中，C語言和Fortran 語言已經(jīng)應用得較為普遍，但對初學者而言，這些語言不容易上手，要想熟練地應用它們需要有一個漫長的過程。隨后也有很多人提出將Matlab軟件引入基礎物理教學[1]。很多教學實踐已經(jīng)證明，在不涉及數(shù)值計算的問題情況下，Matlab程序代碼式的語言不但沒有讓學生避開復雜數(shù)學運算的困擾，反而為他們增添了很多程序設計方面的麻煩，教學結果只能是事倍功半。Mathematica軟件是美國Wolfram Research公司開發(fā)的數(shù)學軟件，具有數(shù)值計算、符號計算和圖像處理的強大功能，使用非常方便．它具有豐富的內(nèi)部函數(shù)，僅需輸入簡單的命令就可以快速地進行解方程、微分、積分和解微分方程等計算，而這些運算又往往是在基礎物理學生中阻攔學生的主要問題。同時，它還有友好的圖形界面，只需輸入簡短的語句就可以繪出精美的二維和三維圖形。Mathematica軟件和其他數(shù)學軟件相比，更加小巧（Mathematica4.0安裝后容量僅一百兆比特，而Matlab則達到1G比特），功能卻毫不遜色。因此，Mathemetica在科研和教學中有著廣泛應用[2]．筆者在基礎物理教學實踐中發(fā)現(xiàn)，如果將Mathematica軟件引入基礎物理教學，不但可以有效地解決許多原本要用復雜的高等數(shù)學知識手工推導的問題，而且運算結果也可以通過Mathematica作圖和動畫得到直觀的體現(xiàn)，更加有助于學生對物理規(guī)律的理解。

2應用舉例

2.1 李薩如圖像

對于不同頻率的兩個相互垂直的簡諧振動，可以合成各種奇特的平面曲線。研究表明，如果兩個相互垂直的簡諧振動的頻率成簡單的整數(shù)比，例如1:1,1：2,1:3,2:3,3:5等，則合成運動的軌道是穩(wěn)定的曲線，質(zhì)點的運動也具有周期性，這種質(zhì)點運動軌道圖形稱為利薩茹圖形[3]。如兩個簡諧振動運動方程分別為其中m，n代表整數(shù)。可以用Mathematica命令在計算機上繪出兩個簡諧振動的合成圖。并且可以用動畫命令顯示繪圖的整個過程。取A=1，ω0=1，下面圖1繪出頻率比m:n=5:4，α=π/20時分別在t=π/2,π, 3π/2,2π的李薩如圖。命令語句則很簡單，并且與手寫的數(shù)學表達式形式相似：

接著鍵入執(zhí)行

即可按GIF形動畫文件的格式將動畫圖片保存到名為lisaru.gif的文件中。該文件可使用著名的看圖軟件ACDSee查看其動畫效果。

類似地，也可以繪出其他頻率比的利薩茹圖形，不同頻率比的圖形各不相同．由于圖形花樣與分振動頻率比有關，因此可以通過利薩茹圖形的花樣判斷二個分振動的頻率比; 通過頻率比可由已知頻率測量未知頻率，這在電學測量技術中占重要地位，可達到很高的精確度。

2駐波

振幅相同、而傳播方向相反的兩列簡諧相干波疊加得到的振動稱為駐波[3]。假設一列波沿 軸正方向傳播，另一列沿著 軸負方向傳播，它們的波方程可表示如下

其中A、ω和K分別為振幅、角頻率和波數(shù)。當這兩列波相遇會形成駐波。圖2給出了當在不同時刻駐波的波形圖，在Mathematica的界面中雙擊任意一個圖，即可出現(xiàn)駐波的動畫效果，這更有利于學生理解駐波這種特殊的波動行為。命令格式如下

3LCR電路暫態(tài)過程

在階躍電壓的作用下，從開始發(fā)生變化到逐漸趨于穩(wěn)態(tài)的過程叫做暫態(tài)過程[4]。下面我們以暫態(tài)過程中典型的LCR電路放電過程為例，了解Mathematica處理該過程的簡便性。

放電過程中系統(tǒng)的控制方程為

其中其中u，L、C和R分別為極板間電壓、電感、電容和電阻值。我們假設L=1亨，R=300歐姆，初始電壓e=20伏，以下是Mathematica求解過程：

輸入語句：

得到方程的解為

然后輸入語句

可以畫出該函數(shù)對應的圖像fig1。同理，容易得到R=2000Ω對應的圖像fig2。為了方便比較，可以將兩個圖像用命令放在一張圖中，如圖3。

R=2000Ω

類似的，也很容易得到LRC電路充電過程的暫態(tài)曲線，由于篇幅限制，在此不做討論。

4氫原子角向概率密度分布

圖4表示了幾種典型情況下氫原子的角向概率密度分布曲線，結果與教材[5]中完全一致，但執(zhí)行語句只需要下面很簡單幾條。

3小結

通過以上的例子我們感受到，較之其他計算機語言，用Mathematica編程確實簡潔明了。而將Mathematica軟件和基礎物理教學有機地結合起來，不但能直觀地演示物理圖像，而且能激發(fā)學生的學習激情，培養(yǎng)學生獨立思考的能力。其牢牢把握住創(chuàng)新教育和教學手段現(xiàn)代化這兩個主題，因此利用Mathematica輔助教學是一項極有意義的工作。本文只是應用了Mathematica計算和繪畫兩方面的功能，Mathematica還有許多豐富的功能有待利用。希望更多的高校教師能掌握并運用Mathematica 軟件，共同促進基礎物理教學思想和教學模式的現(xiàn)代化。

[參考文獻]

[1]管靖,彭芳麟,胡靜,等.理論力學教學現(xiàn)代化———“理論力學計算機模擬實驗”課程的探索[J ].基礎物理，2001，(8):38-40.

[2]張志涌.精通Mathematica[M].北京:航空航天大學出版社，2000:115.

[3]漆安慎,杜嬋英.力學[M].北京:高等教育出版社，1997:5.

[4]趙凱華,陳熙謀.電磁學[M].北京:高等教育出版社，1985:6第二版.

[5]王永昌.近代物理學[M].北京:高等教育出版社，2006:5.