用向量法求解函數(shù)最值

陳海蓉，胡華

摘要：在一些求函數(shù)的最值的問題中，運(yùn)用構(gòu)造向量法能使問題得到優(yōu)化，而且可以發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神的作用。學(xué)會(huì)觀察函數(shù)問題的結(jié)構(gòu)特征，把握函數(shù)結(jié)構(gòu)的向量模型，構(gòu)造向量，把函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為向量問題，使問題解決達(dá)到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：函數(shù)最值；向量法；最值求解

中圖分類號：G633.66？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）06-0075-02

向量是數(shù)學(xué)中最基本和最重要的概念之一，它是解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要工具，溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)，有著非常廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景，向量的大小具備了“數(shù)”的特征，向量的方向具備了“形”的特征。因此向量融數(shù)、形于一體，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯點(diǎn)。掌握了向量的有關(guān)知識(shí)，有意識(shí)地運(yùn)用向量這一工具去解決相關(guān)問題，不僅能使問題得到優(yōu)化，而且能發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。在一些求函數(shù)的最值的問題中，運(yùn)用構(gòu)造向量法就起到了這樣的作用。學(xué)會(huì)觀察函數(shù)問題的結(jié)構(gòu)特征，把握函數(shù)結(jié)構(gòu)的向量模型，構(gòu)造向量，把函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為向量問題，會(huì)起到簡化問題，使問題解決達(dá)到事半功倍的效果。下面我們就圍繞一個(gè)定理，以幾題的求解來闡述一下這一方法的運(yùn)用，并就這一方法與其它方法作比較，其優(yōu)勢還是顯而易見的。

Th：若■、■為兩個(gè)向量，則（■·■）2≤|■|2·|■|2（亦可表示為|■|2≥■

例1 求實(shí)數(shù)x、y的值，使得（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2達(dá)到最小值（2001年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

方法1：令u=（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2，則有5x2+6（y-5）x+（3y2-20y+46-u）=0 ∵x∈R，∴Δ=36（y-5）2-4×5（3y2-20y+46-u）≥0，即6y2-10y+5-5u≤0，又∵y∈R，∴Δ=100-4×6（5-5u）≥0 即得u≥■，當(dāng)且僅當(dāng)u=■時(shí)， 6y2-10y+5-5u=0，解得y=■，x=■即，當(dāng)y=■，x=■時(shí)，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。

方法2：令■=（y-1，x+y-3，2x+y-6），■=（1，-2，1）由Th得 |■|2≥■=■，當(dāng)且僅當(dāng)■=■=■時(shí)取“=”，故得y=■，x=■時(shí)，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。

方法3：由柯西不等式：（■aibi）2≤■ai2■bi2（bi≠0，i=1，2…，n）當(dāng)且僅當(dāng)■=■=…=■時(shí)成立，因?yàn)椋╱2+v2+w2）[（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2]≥（u（y-1）+v（x+y-3））+w（2x+y-6）]2=（u+v+wy+（v+2w）x+（u+3v+6w），若令w=1，v=-2，u=1則u+v+w=0v+2w=0

故有（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2≥■，當(dāng)且僅當(dāng)■=■=■時(shí)取“=”，故得y=■，x=■時(shí)，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。

分析：構(gòu)造向量求解函數(shù)最值顯然簡單一些，但要注意為使■·■及|■|是個(gè)定值，如何巧妙地構(gòu)造構(gòu)造向量■和■，而此題所給式子恰好可以看成向量的模的平方。

例2？搖如果a，b，c∈R+且a+b+c=1求■+■+■的最大值（第8屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二試題）

方法1：利用均值不等式∵a，b，c∈R+，∴■·■≤■，又■·■≤■，∴■·■≤■∴■（■+■+■）≤■，又∵a+b+c=1，■+■+■≤3■，當(dāng)且僅當(dāng)3a+1=2，3b+1=2，3c+1=2時(shí)，“=”成立，即a=b=c=■時(shí)，■+■+■有最大值3■。

方法2：向量法。令■=（■，■，■），■=（1，1，1）則由Th得，（■·■）2=（■+■+■）2≤[3（a+b+c）+3]×3

∵a+b+c=1，∴■+■+■≤3■當(dāng)且僅當(dāng)■=■=■時(shí)“=”成立，即a=b=c=■時(shí)，■+■+■有最大值3■。

方法3：概率法：由EX2≥（EX）2令x～■ ■ ■ ■ ■ ■，∵EX2≥（EX）2，∴■[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]≥[■（■+■+■）]2，又∵a+b+c=1 ∴18≥（■+■+■）2，∴■+■+■≤3■，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=■時(shí)，取“=”

方法四：柯西不等式。（u2+v2+w2）[（■）2+（■）2+（■）2]≥（u■+v■+w■）2

令u=v=w=1得，3×[3（a+b+c）+3]≥（■+■+■）2，又∵a+b+c=1

∴■+■+■≤3■（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=■時(shí)，取“=”）。

分析：此題借助于已知條件a+b+c=1構(gòu)造向量比較容易，且所給式子可以看成兩個(gè)數(shù)量積的和的形式，因此適合用Th完成。

以上題型均可構(gòu)造空間向量，利用向量的數(shù)量積（■·■）2≤|■|2·|■|2求解，并且較其它方法更為簡單、直接。此外，一般地涉及兩向量數(shù)量積的和的形式的題型可利用上述公式求其最值，但在構(gòu)造時(shí)也有其局限性，不是每一類函數(shù)都可運(yùn)用該種方法。endprint

摘要：在一些求函數(shù)的最值的問題中，運(yùn)用構(gòu)造向量法能使問題得到優(yōu)化，而且可以發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神的作用。學(xué)會(huì)觀察函數(shù)問題的結(jié)構(gòu)特征，把握函數(shù)結(jié)構(gòu)的向量模型，構(gòu)造向量，把函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為向量問題，使問題解決達(dá)到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：函數(shù)最值；向量法；最值求解

中圖分類號：G633.66？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）06-0075-02

向量是數(shù)學(xué)中最基本和最重要的概念之一，它是解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要工具，溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)，有著非常廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景，向量的大小具備了“數(shù)”的特征，向量的方向具備了“形”的特征。因此向量融數(shù)、形于一體，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯點(diǎn)。掌握了向量的有關(guān)知識(shí)，有意識(shí)地運(yùn)用向量這一工具去解決相關(guān)問題，不僅能使問題得到優(yōu)化，而且能發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。在一些求函數(shù)的最值的問題中，運(yùn)用構(gòu)造向量法就起到了這樣的作用。學(xué)會(huì)觀察函數(shù)問題的結(jié)構(gòu)特征，把握函數(shù)結(jié)構(gòu)的向量模型，構(gòu)造向量，把函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為向量問題，會(huì)起到簡化問題，使問題解決達(dá)到事半功倍的效果。下面我們就圍繞一個(gè)定理，以幾題的求解來闡述一下這一方法的運(yùn)用，并就這一方法與其它方法作比較，其優(yōu)勢還是顯而易見的。

Th：若■、■為兩個(gè)向量，則（■·■）2≤|■|2·|■|2（亦可表示為|■|2≥■

例1 求實(shí)數(shù)x、y的值，使得（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2達(dá)到最小值（2001年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

方法1：令u=（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2，則有5x2+6（y-5）x+（3y2-20y+46-u）=0 ∵x∈R，∴Δ=36（y-5）2-4×5（3y2-20y+46-u）≥0，即6y2-10y+5-5u≤0，又∵y∈R，∴Δ=100-4×6（5-5u）≥0 即得u≥■，當(dāng)且僅當(dāng)u=■時(shí)， 6y2-10y+5-5u=0，解得y=■，x=■即，當(dāng)y=■，x=■時(shí)，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。

方法2：令■=（y-1，x+y-3，2x+y-6），■=（1，-2，1）由Th得 |■|2≥■=■，當(dāng)且僅當(dāng)■=■=■時(shí)取“=”，故得y=■，x=■時(shí)，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。

方法3：由柯西不等式：（■aibi）2≤■ai2■bi2（bi≠0，i=1，2…，n）當(dāng)且僅當(dāng)■=■=…=■時(shí)成立，因?yàn)椋╱2+v2+w2）[（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2]≥（u（y-1）+v（x+y-3））+w（2x+y-6）]2=（u+v+wy+（v+2w）x+（u+3v+6w），若令w=1，v=-2，u=1則u+v+w=0v+2w=0

故有（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2≥■，當(dāng)且僅當(dāng)■=■=■時(shí)取“=”，故得y=■，x=■時(shí)，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。

分析：構(gòu)造向量求解函數(shù)最值顯然簡單一些，但要注意為使■·■及|■|是個(gè)定值，如何巧妙地構(gòu)造構(gòu)造向量■和■，而此題所給式子恰好可以看成向量的模的平方。

例2？搖如果a，b，c∈R+且a+b+c=1求■+■+■的最大值（第8屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二試題）

方法1：利用均值不等式∵a，b，c∈R+，∴■·■≤■，又■·■≤■，∴■·■≤■∴■（■+■+■）≤■，又∵a+b+c=1，■+■+■≤3■，當(dāng)且僅當(dāng)3a+1=2，3b+1=2，3c+1=2時(shí)，“=”成立，即a=b=c=■時(shí)，■+■+■有最大值3■。

方法2：向量法。令■=（■，■，■），■=（1，1，1）則由Th得，（■·■）2=（■+■+■）2≤[3（a+b+c）+3]×3

∵a+b+c=1，∴■+■+■≤3■當(dāng)且僅當(dāng)■=■=■時(shí)“=”成立，即a=b=c=■時(shí)，■+■+■有最大值3■。

方法3：概率法：由EX2≥（EX）2令x～■ ■ ■ ■ ■ ■，∵EX2≥（EX）2，∴■[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]≥[■（■+■+■）]2，又∵a+b+c=1 ∴18≥（■+■+■）2，∴■+■+■≤3■，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=■時(shí)，取“=”

方法四：柯西不等式。（u2+v2+w2）[（■）2+（■）2+（■）2]≥（u■+v■+w■）2

令u=v=w=1得，3×[3（a+b+c）+3]≥（■+■+■）2，又∵a+b+c=1

∴■+■+■≤3■（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=■時(shí)，取“=”）。

分析：此題借助于已知條件a+b+c=1構(gòu)造向量比較容易，且所給式子可以看成兩個(gè)數(shù)量積的和的形式，因此適合用Th完成。

以上題型均可構(gòu)造空間向量，利用向量的數(shù)量積（■·■）2≤|■|2·|■|2求解，并且較其它方法更為簡單、直接。此外，一般地涉及兩向量數(shù)量積的和的形式的題型可利用上述公式求其最值，但在構(gòu)造時(shí)也有其局限性，不是每一類函數(shù)都可運(yùn)用該種方法。endprint

摘要：在一些求函數(shù)的最值的問題中，運(yùn)用構(gòu)造向量法能使問題得到優(yōu)化，而且可以發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神的作用。學(xué)會(huì)觀察函數(shù)問題的結(jié)構(gòu)特征，把握函數(shù)結(jié)構(gòu)的向量模型，構(gòu)造向量，把函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為向量問題，使問題解決達(dá)到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：函數(shù)最值；向量法；最值求解

中圖分類號：G633.66？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）06-0075-02

向量是數(shù)學(xué)中最基本和最重要的概念之一，它是解決數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要工具，溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)，有著非常廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景，向量的大小具備了“數(shù)”的特征，向量的方向具備了“形”的特征。因此向量融數(shù)、形于一體，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯點(diǎn)。掌握了向量的有關(guān)知識(shí)，有意識(shí)地運(yùn)用向量這一工具去解決相關(guān)問題，不僅能使問題得到優(yōu)化，而且能發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。在一些求函數(shù)的最值的問題中，運(yùn)用構(gòu)造向量法就起到了這樣的作用。學(xué)會(huì)觀察函數(shù)問題的結(jié)構(gòu)特征，把握函數(shù)結(jié)構(gòu)的向量模型，構(gòu)造向量，把函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為向量問題，會(huì)起到簡化問題，使問題解決達(dá)到事半功倍的效果。下面我們就圍繞一個(gè)定理，以幾題的求解來闡述一下這一方法的運(yùn)用，并就這一方法與其它方法作比較，其優(yōu)勢還是顯而易見的。

Th：若■、■為兩個(gè)向量，則（■·■）2≤|■|2·|■|2（亦可表示為|■|2≥■

例1 求實(shí)數(shù)x、y的值，使得（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2達(dá)到最小值（2001年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

方法1：令u=（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2，則有5x2+6（y-5）x+（3y2-20y+46-u）=0 ∵x∈R，∴Δ=36（y-5）2-4×5（3y2-20y+46-u）≥0，即6y2-10y+5-5u≤0，又∵y∈R，∴Δ=100-4×6（5-5u）≥0 即得u≥■，當(dāng)且僅當(dāng)u=■時(shí)， 6y2-10y+5-5u=0，解得y=■，x=■即，當(dāng)y=■，x=■時(shí)，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。

方法2：令■=（y-1，x+y-3，2x+y-6），■=（1，-2，1）由Th得 |■|2≥■=■，當(dāng)且僅當(dāng)■=■=■時(shí)取“=”，故得y=■，x=■時(shí)，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。

方法3：由柯西不等式：（■aibi）2≤■ai2■bi2（bi≠0，i=1，2…，n）當(dāng)且僅當(dāng)■=■=…=■時(shí)成立，因?yàn)椋╱2+v2+w2）[（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2]≥（u（y-1）+v（x+y-3））+w（2x+y-6）]2=（u+v+wy+（v+2w）x+（u+3v+6w），若令w=1，v=-2，u=1則u+v+w=0v+2w=0

故有（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2≥■，當(dāng)且僅當(dāng)■=■=■時(shí)取“=”，故得y=■，x=■時(shí)，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。

分析：構(gòu)造向量求解函數(shù)最值顯然簡單一些，但要注意為使■·■及|■|是個(gè)定值，如何巧妙地構(gòu)造構(gòu)造向量■和■，而此題所給式子恰好可以看成向量的模的平方。

例2？搖如果a，b，c∈R+且a+b+c=1求■+■+■的最大值（第8屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二試題）

方法1：利用均值不等式∵a，b，c∈R+，∴■·■≤■，又■·■≤■，∴■·■≤■∴■（■+■+■）≤■，又∵a+b+c=1，■+■+■≤3■，當(dāng)且僅當(dāng)3a+1=2，3b+1=2，3c+1=2時(shí)，“=”成立，即a=b=c=■時(shí)，■+■+■有最大值3■。

方法2：向量法。令■=（■，■，■），■=（1，1，1）則由Th得，（■·■）2=（■+■+■）2≤[3（a+b+c）+3]×3

∵a+b+c=1，∴■+■+■≤3■當(dāng)且僅當(dāng)■=■=■時(shí)“=”成立，即a=b=c=■時(shí)，■+■+■有最大值3■。

方法3：概率法：由EX2≥（EX）2令x～■ ■ ■ ■ ■ ■，∵EX2≥（EX）2，∴■[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]≥[■（■+■+■）]2，又∵a+b+c=1 ∴18≥（■+■+■）2，∴■+■+■≤3■，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=■時(shí)，取“=”

方法四：柯西不等式。（u2+v2+w2）[（■）2+（■）2+（■）2]≥（u■+v■+w■）2

令u=v=w=1得，3×[3（a+b+c）+3]≥（■+■+■）2，又∵a+b+c=1

∴■+■+■≤3■（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=■時(shí)，取“=”）。

分析：此題借助于已知條件a+b+c=1構(gòu)造向量比較容易，且所給式子可以看成兩個(gè)數(shù)量積的和的形式，因此適合用Th完成。

以上題型均可構(gòu)造空間向量，利用向量的數(shù)量積（■·■）2≤|■|2·|■|2求解，并且較其它方法更為簡單、直接。此外，一般地涉及兩向量數(shù)量積的和的形式的題型可利用上述公式求其最值，但在構(gòu)造時(shí)也有其局限性，不是每一類函數(shù)都可運(yùn)用該種方法。endprint