復變函數與積分變換教學改革

滕巖梅，張繼龍

摘要：針對高等工科院校復變函數與積分變換教學現狀，結合自身實際經驗，從教材、教學內容完善，教學方法改進，強調動手能力等方面提出建議和實例。

關鍵詞：復變函數與積分變換；Matlab；類比教學；啟發教學；形象教學

中圖分類號：G642.；O177.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）06-0033-03

復變函數與積分變換課程是工科高等院校的一門基礎課程，對數學領域和其他自然科學領域的發展都有重要影響.它為數學的許多分支提供了一種重要的解析工具.它是解決諸如流體力學、空氣動力學、電磁學、熱學及彈性力學中平面問題的有力工具，同時也是研究微分方程、積分方程、數學物理方程、積分變換等數學分支的必要工具，更是學習自動控制、電子工程、信息工程與機電工程等專業課的理論基礎[1，2]，是工科學生從事理論研究、實際操作以及深層學習必不可少的知識準備，傳統的教學模式已經遠遠不能適應社會發展的需要，因此，以全面提高學生素質為目的，對教學內容、教學方法、教材等方面進行全面改革勢在必行[3，4]。

一、教材完善

教材是教師和學生交流的重要載體之一，也是學生進行學習和自我學習的重要工具，因此，教材內容的選取至關重要，對教學效果有直接影響。在選取教學內容時，首先根據理工科學生的特點，注意難易適度，加強學科間的交叉，在制定教學大綱時注意結合不同專業學生特點，加以區別。避免傳統教學中重理論、輕應用的現象，強調工程應用，例如學習留數時介紹留數在計算實積分、數字濾波器性能分析和形狀設計中的應用；學習傅立葉變換時介紹其在線性時不變系統的應用；學習拉普拉斯變換時介紹其在現代信號處理、電路中的應用等。體會到復變函數與積分變換課程在本專業中的作用，看到后續課程甚至科學研究中都要用到這些知識，從而激發學生的學習熱情，變被動學習為主動學習，經常他們帶著相關問題進行學習討論，進而促進學生對專業知識的理解。理論聯系實際，加強實踐環節。下面單獨列出一章，專門介紹復變函數與積分變換在各個方面的應用，供教師適當選擇講解，也可供有興趣的同學作為參考。

二、改進教學方法

1.類比教學法。在教學過程中，類比的過程是培養學生創造性思維的過程。通過適當比較，學生能更清晰、更容易理解相應知識點。

雖然復變函數論有本學科的獨立性、完整性，但作為高等數學的后繼課程，在知識上與高數有著千絲萬縷的聯系，許多概念和定理都與高等數學理論類似，甚至在章節安排上也能清晰地看到這一點。因此在教學中運用“復與實”的類比，一維與二維的類比、有限與無限的類比等，可以使學生了解新舊知識的關系，激發他們對新知識的積極性。在教學過程中，合理地利用類比法與數學分析中的相應的內容進行比較，引導學生進行某種類比，這樣可以做到知識的承前啟后的效果，加深學生對知識的再理解，使得學生在學習的過程中不斷地思考。在教授學生時，一方面要強調二者之間聯系，同時更要關注二者之間的差別，這種不同之處體現為兩種情況：（1）表面形式相同，但本質不同。例如：一元復函數的極限、連續、可導的定義與一元實函數完全相同，但一元復函數的定積分形式上與一元實函數的定義相同，但本質上接近二元實函數的曲線積分。（2）從內到外都不同，完全是新的內容，例如：羅朗級數，留數等。教學中如何向學生展示二者的聯系與差異，揭示復變函數的本質屬性，是上好這門課的關鍵所在。

2.啟發式教學。啟發式教學由來已久，對提高學生分析問題、解決問題以及實際動手的能力有著十分重要的意義。在教學中應強調教師為主導，學生為主體，充分調動學生的主觀能動性，適當加以引導，達到完美的課堂效果。例如，在學習復積分時，提示學生注意哪些積分與路徑無關，哪些積分與路徑有關，積分注意先看被積函數解析性。在講述多連通區域柯西積分定理時，先回顧單連通區域柯西積分定理，要求學生嘗試給出直接推廣；學習留數概念時思考為什么叫留數等等。在高等數學中所學的牛頓萊布尼茲公式、求導四則運算、洛必塔法則、分步積分法等結論多數都可以推廣到復分析中，那么微分中值定理不能直接推廣到復變函數中來？不能怎么辦？可不可以考慮弱些的結論？在講述傅立葉級數的復指數形式時，提出問題：為什么要做如此轉換？復指數本身有哪些好處？在工程中這種信號有什么優勢？從學生熟悉的問題尋找切入點，讓學生的頭腦動起來。在學習拉普拉斯變換時，讓學生思考拉普拉斯變換和傅立葉變換的區別與聯系，進一步給出幾種其他積分變換：Hilbert變換、z變換等，讓學生自己加以比較分析。對這些問題，鼓勵學生去查找相關的資料，加以分析，解決問題并提出新的問題.引導學生走上“提出問題—解決問題—提出新問題”的科學研究的道路上來，培養他們科學的思維方式。

3.形象教學。在教學過程中，很多問題比較抽象，這時，如果能從幾何上加以描述，問題會變得形象，學生易于理解和接受。例如，介紹無窮遠點的鄰域時，可以利用復球面與擴充復平面以及北極N和無窮遠點之間的對應關系，容易得出無窮遠點的鄰域在復球面上即為北極N附近的緯線圍成的部分，因此在擴充復平面中以點為中心的鄰域為{z：|z|>M}.在積分這章，讓學生考慮怎樣測量地心溫度這一問題，介紹復積分的物理意義；在保形映射這章，讓學生考慮為什么數碼相機比普通相機更有立體感，等等。

此外，合理利用現代化的教學手段，當今社會，網絡、計算機、多媒體等飛速發展，這些為我們教學提供了大量的便利工具.我們在復變函數與積分變換的教學中，已經適當地運用了多媒體、投影儀等教學手段，一方面更有效的利用課堂時間，另一方面，可將所收內容用更形象的方式展示，讓學生更感興趣。把Matlab應用到復變函數論中的復數運算、方程求根、泰勒展開式、函數在孤立奇點處的留數等等，既使學生理解了概念，掌握了復變函數的基本運算，同時加強學生的動手能力。

例如，對數函數Lnz的圖像：

z=cplxgrid（20）；

w=log（z）；

for k=0：3；

w=w+i*2*pi；

surf（real（z），imag（z），imag（w），real（w））；

hold on

title（'Lnz'）

end

冪函數的圖像：z=cplxgrid（30）；cplxmap（z，z.^3）；title（'z^3'）

余弦函數cos（z）的圖像：z=cplxgrid（20）；cplxmap（z，cos（z））；title{'cos（z）'}

另外，我們正嘗試運用網絡這一現代化工具，構建一個網上平臺.在這里同學們可以互相推薦學習資料，交流學習心得，自由提問、答疑，我們想這也許更能促進學生學習的興趣，也是對我們課堂教學的有益補充。

三、教學內容的完善

穿插科學發展背景，提高學生興趣，將數學發展史和教學有機結合；在課程講授過程中遇到很多科學家，如歐拉、黎曼、柯西等，講授科學家的奇聞軼事，提高學生興趣。復變函數中的許多理論與方法不僅給數學的許多分支提供一種重要的解析工具，而且在其他自然科學和各種工程領域特別是信號處理以及物理學等的研究方面有著廣泛的應用。補充介紹目前本學科的進展情況以及本學科與其他學科聯系。例如，在介紹傅立葉變換時簡單介紹小波變換思想，傅立葉變換在分析處理信號的方法上的局限性，以及小波變換是怎樣克服傅立葉變換的弱點的等等。

四、聯系實際、提高動手能力

目前，隨著科學的迅猛發展，數學的實際應用已越來越廣泛，其相應的計算量也越來越大，MATLAB是一種具有強大數值計算，分析和圖形處理功能的科學計算語言，其應用領域極為廣泛。將復變函數與積分變換的教學與Matlab適當結合，鑒于Mathcad能輕松地將一些數學問題直觀地求解顯現出來的特點，能促進學生對知識的理解，提高學生的學習興趣。尤其在積分變換部分，這種優勢更加明顯。

例1：已知f（t）=ε（t+1）-ε（t-1），且f1（t）=f（6t），利用matlab在同一個圖中畫出它們的幅度譜；驗證傅立葉變換的相似變換性質。

Matlab程序：

>> N=256；M=500；

>> t=linspace（-2，2，N）；

>> w=linspace（-10*pi，10*pi，M）；%在區間-10*pi，10*pi]內進行頻率分割

>> dt=4/（N-1）；

>> f=heaviside（t+1）-heaviside（t-1）；

>> F=f*exp（-j*t'*w）*dt；

>> a=6；t1=a*t；

>> f1=heaviside（t1+1）-heaviside（t1-1）；

>> F1=f1*exp（-j*t'*w）*dt；

>> figure（1）；

>> subplot（2，1，2）；plot（w，real（F），w，real（F1），'r'）；grid on

>> subplot（2，1，1）；plot（w，real（F），w，real（F1），'r'）；grid on

>> xlabel（'w'）；

>> ylabel（'real（F（w））'）；

>> title（'傅里葉變換的實部'）；

>> subplot（2，1，2）；plot（w，abs（F），w，abs（F1），'r'）；grid on

>> xlabel（'w'）；

>> ylabel（'abs（F（w））'）；

>> title（'信號的幅度譜'）；

圖示：

參考文獻：

[1]鐘玉泉.復變函數[M].高等教育出版社，2004.

[2]王省哲，怡曉玲.彈性力學問題復變函數解析的應用與發展[J].力學與實踐，2008，（30）.

[3]袁亞湘.大學數學重在介紹思想[J].高等數學研究，2002，（3）.

[4]龔定東，許玉琴.關于復變函數與積分變換課堂教學的思考[J].高等數學研究，2009，（12）.

作者簡介：滕巖梅，北京航空航天大學數學與系統科學學院，副教授。

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for k=0：3；

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余弦函數cos（z）的圖像：z=cplxgrid（20）；cplxmap（z，cos（z））；title{'cos（z）'}

另外，我們正嘗試運用網絡這一現代化工具，構建一個網上平臺.在這里同學們可以互相推薦學習資料，交流學習心得，自由提問、答疑，我們想這也許更能促進學生學習的興趣，也是對我們課堂教學的有益補充。

三、教學內容的完善

穿插科學發展背景，提高學生興趣，將數學發展史和教學有機結合；在課程講授過程中遇到很多科學家，如歐拉、黎曼、柯西等，講授科學家的奇聞軼事，提高學生興趣。復變函數中的許多理論與方法不僅給數學的許多分支提供一種重要的解析工具，而且在其他自然科學和各種工程領域特別是信號處理以及物理學等的研究方面有著廣泛的應用。補充介紹目前本學科的進展情況以及本學科與其他學科聯系。例如，在介紹傅立葉變換時簡單介紹小波變換思想，傅立葉變換在分析處理信號的方法上的局限性，以及小波變換是怎樣克服傅立葉變換的弱點的等等。

四、聯系實際、提高動手能力

目前，隨著科學的迅猛發展，數學的實際應用已越來越廣泛，其相應的計算量也越來越大，MATLAB是一種具有強大數值計算，分析和圖形處理功能的科學計算語言，其應用領域極為廣泛。將復變函數與積分變換的教學與Matlab適當結合，鑒于Mathcad能輕松地將一些數學問題直觀地求解顯現出來的特點，能促進學生對知識的理解，提高學生的學習興趣。尤其在積分變換部分，這種優勢更加明顯。

例1：已知f（t）=ε（t+1）-ε（t-1），且f1（t）=f（6t），利用matlab在同一個圖中畫出它們的幅度譜；驗證傅立葉變換的相似變換性質。

Matlab程序：

>> N=256；M=500；

>> t=linspace（-2，2，N）；

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>> dt=4/（N-1）；

>> f=heaviside（t+1）-heaviside（t-1）；

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>> a=6；t1=a*t；

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圖示：

參考文獻：

[1]鐘玉泉.復變函數[M].高等教育出版社，2004.

[2]王省哲，怡曉玲.彈性力學問題復變函數解析的應用與發展[J].力學與實踐，2008，（30）.

[3]袁亞湘.大學數學重在介紹思想[J].高等數學研究，2002，（3）.

[4]龔定東，許玉琴.關于復變函數與積分變換課堂教學的思考[J].高等數學研究，2009，（12）.

作者簡介：滕巖梅，北京航空航天大學數學與系統科學學院，副教授。

z=cplxgrid（20）；

w=log（z）；

for k=0：3；

w=w+i*2*pi；

surf（real（z），imag（z），imag（w），real（w））；

hold on

title（'Lnz'）

end

冪函數的圖像：z=cplxgrid（30）；cplxmap（z，z.^3）；title（'z^3'）

余弦函數cos（z）的圖像：z=cplxgrid（20）；cplxmap（z，cos（z））；title{'cos（z）'}

另外，我們正嘗試運用網絡這一現代化工具，構建一個網上平臺.在這里同學們可以互相推薦學習資料，交流學習心得，自由提問、答疑，我們想這也許更能促進學生學習的興趣，也是對我們課堂教學的有益補充。

三、教學內容的完善

穿插科學發展背景，提高學生興趣，將數學發展史和教學有機結合；在課程講授過程中遇到很多科學家，如歐拉、黎曼、柯西等，講授科學家的奇聞軼事，提高學生興趣。復變函數中的許多理論與方法不僅給數學的許多分支提供一種重要的解析工具，而且在其他自然科學和各種工程領域特別是信號處理以及物理學等的研究方面有著廣泛的應用。補充介紹目前本學科的進展情況以及本學科與其他學科聯系。例如，在介紹傅立葉變換時簡單介紹小波變換思想，傅立葉變換在分析處理信號的方法上的局限性，以及小波變換是怎樣克服傅立葉變換的弱點的等等。

四、聯系實際、提高動手能力

目前，隨著科學的迅猛發展，數學的實際應用已越來越廣泛，其相應的計算量也越來越大，MATLAB是一種具有強大數值計算，分析和圖形處理功能的科學計算語言，其應用領域極為廣泛。將復變函數與積分變換的教學與Matlab適當結合，鑒于Mathcad能輕松地將一些數學問題直觀地求解顯現出來的特點，能促進學生對知識的理解，提高學生的學習興趣。尤其在積分變換部分，這種優勢更加明顯。

例1：已知f（t）=ε（t+1）-ε（t-1），且f1（t）=f（6t），利用matlab在同一個圖中畫出它們的幅度譜；驗證傅立葉變換的相似變換性質。

Matlab程序：

>> N=256；M=500；

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>> F=f*exp（-j*t'*w）*dt；

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>> xlabel（'w'）；

>> ylabel（'abs（F（w））'）；

>> title（'信號的幅度譜'）；

圖示：

參考文獻：

[1]鐘玉泉.復變函數[M].高等教育出版社，2004.

[2]王省哲，怡曉玲.彈性力學問題復變函數解析的應用與發展[J].力學與實踐，2008，（30）.

[3]袁亞湘.大學數學重在介紹思想[J].高等數學研究，2002，（3）.

[4]龔定東，許玉琴.關于復變函數與積分變換課堂教學的思考[J].高等數學研究，2009，（12）.

作者簡介：滕巖梅，北京航空航天大學數學與系統科學學院，副教授。