基于反射系數測量的黏彈性材料動態力學參數反演方法

陶 猛，趙 陽

（1．貴州大學 機械工程學院，貴陽 550025；2．上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240）

以黏彈性介質為基底材料的聲學覆蓋層，其動態力學參數與聲學性能存在定量關系。聲學覆蓋層的吸聲、隔聲等性能預報除了要采用合理的計算分析模型外，準確的黏彈性動態力學參數也是必不可少的。在不同的溫度、頻率和靜水壓力條件下，黏彈性材料表現出不同的力學特性，因此要想準確測量黏彈性材料動態力學參數并不容易。

通常測量動態力學參數的方法可分為兩大類，一類是基于振動響應測量動態力學參數［1－4］，比較常用的有強迫非共振法、振動梁法、動態黏彈譜儀法。盡管這些測試方法都相對簡單，但是這些方法都有各自的局限性，例如振動測試方法的頻段較低，或者基于時溫等效原理推導的楊氏模量還沒有直接的測試結果加以驗證等。另一類是通過測量材料聲學特性反演材料動態力學參數的方法，這樣可在頻段范圍上與機理研究同步。已有方法包括在水池中由待測材料的平板試樣測量斜向入射聲波的回聲降低或插入損失來反演材料的剪切特性［5－6］，但低頻測量時由于樣品邊緣的衍射干擾使得誤差較大。此外，也有利用做成球形的待測材料試樣，使實際測量的散射系數與理論計算的散射系數誤差最小以計算材料體積模量的方法［7］。

本文研究了一種通過測量圓柱空腔覆蓋層的反射系數，來反演黏彈性材料動態力學參數的方法。由于平面波垂直入射到圓柱空腔覆蓋層時，其反射系數與其結構、材料參數具有明確的解析關系，因此首先利用該關系建立動態力學參數的反演過程。需要指出的是，動態力學參數如楊氏模量、剪切模量和泊松比等可通過材料的縱波聲速和剪切波聲速換算得到，因此該方法的核心是反演縱波聲速和剪切波聲速這兩個基本參數。然后，以某種橡膠制成的圓柱空腔覆蓋層樣品為例，進行了聲管測量和結果分析。

1 聲學覆蓋層反射系數的計算模型

圓柱空腔聲學覆蓋層的結構是沿厚度方向形成空腔，空腔的基本形狀是圓柱型空腔，圖中按照正三角形周期性地排列了同樣的空腔，由于對稱性可以只取其中的一個單元分析，但是建立六面棱柱體的理論模型相當困難，可用圓柱代替以簡化模型的復雜性，這樣就得到黏彈性圓柱管的模型，如圖1所示，其中黏彈性圓柱管的外半徑為a，內半徑為b。

圖1 周期結構圓柱空腔覆蓋層的結構示意圖Fig．1 Configurations of the acoustic layer embedded periodic cylindrical-hole

湯渭霖等［8］建立的圓柱空腔覆蓋層的二維理論將聲學覆蓋層的單元簡化為黏彈性圓柱管，其聲學特性取決于波在圓柱管中的傳播和損耗特性。但是該模型考慮了高階軸對稱波對聲學特性的貢獻，使得計算和分析過程相當復雜繁瑣。因此，有必要基于二維理論尋找一種合理快速的近似方法，而這種方法主要基于以下近似：平面波垂直入射時，圓柱空腔覆蓋層的低頻性能由黏彈性圓柱管中的最低階軸對稱波的傳播特性決定［8］，進而黏彈性圓柱管的等效阻抗可由最低階軸對稱波的傳播波數確定。

假設在聲波小振幅激勵的情況下，采用Kelvin-Voigt線性黏彈性模型來描述聲學覆蓋層的基底材料，可以得到與彈性模型形式相同的方程和解，區別在于將彈性常數換成相應的黏彈性常數。圓柱管中軸對稱波的形式解一般可以寫成［8］（省略時間因子 ejωt）：

式中：分別是徑向縱波波數和徑向剪切波波數，K是軸對稱波波數，c槇l和分別是黏彈性材料的復縱波聲速和復剪切波聲速。

在圓柱坐標系下，黏彈性圓柱管的位移和應力可用兩個標量勢函數及其導數來表示。在平面波入射條件下，通過對黏彈性圓柱管內、外邊界建立合理的邊界條件，可以獲得描述軸對稱波的特征方程：

其中：

式中：Jn（·）和 Yn（·），（n＝0，1）分別是 Bessel函數和Neumann函數。特征方程（2）式的詳細建立過程可參見文獻［8］。對于給定的結構參數和材料屬性，求解式（2）可以得到一組復根 Km（m＝1，2，…），并由此確定 kl，n和 kt，m。

另一方面，在只考慮最低階軸對稱波模式的條件下，無限長黏彈性圓柱管中的等效阻抗可以寫成如下形式［9］：

這樣，黏彈性圓柱管前端面（z＝h，下標f表示）和后端面（z＝0，下標b表示）處的位移和應力就可通過傳遞矩陣T聯系起來，即：

當黏彈性圓柱管后端面（也即是背襯）的阻抗Zb已知時，前端面的表面阻抗可以根據式（5）得到：

聲學覆蓋層的反射系數可由下式計算：

式中：Z0是水介質的特性阻抗。

2 復縱波聲速和復剪切波聲速的求解算法

實際黏彈性材料的動態力學參數與頻率呈現明顯的相關性，因此通過單個樣品在已知背襯條件下的測量能夠獲得不同頻率處的一組反射系數，但是顯然無法通過單次測量同時獲得復縱波聲速和復剪切波聲速兩個未知的基本參數。因此，至少需要兩組反射系數的測量數據，才能計算黏彈性材料的復縱波聲速和復剪切波聲速，這可以通過以下兩種途徑獲得：①通過測量兩組不同結構參數的聲學覆蓋層在同一背襯條件下的反射系數；②通過測量單個聲學覆蓋層在不同背襯條件下的反射系數。除此之外，理論上還可以測量更多不同條件下的反射系數，兩兩組合求解相應的復縱波聲速和復剪切波聲速，然后根據最小二乘法擬合得到最終參數，并進而計算其它的黏彈性動態力學參數。

根據兩組實測的反射系數來求解復反射系數和復剪切波聲速的問題，本質上就是求解二元非線性方程組。由于是非線性方程且包含復宗量，因此采用牛頓迭代法［10］來解決這個問題較為合適，對于形如下式的二元非線性方程組：

其迭代公式為：

式中：

通過上式可迭代出 k＝1，2時，（xk，yk）的值，當≤ε（ε＞0為設定的誤差控制項）時，即可獲得方程組的根（xk，yk），其中通常可以選擇經驗值或者常用值作為初始變量。

因此，對于同一個圓柱空腔覆蓋層樣品，完成兩組已知的不同背襯條件（如鋼背襯和空氣背襯）下的反射系數測量，即可建立求解復縱波聲速和復剪切波聲速的方程組：

式中：R（，）表示根據上節模型計算的反射系數，R表示實驗測量的反射系數，下標b1和b2分別表示兩組不同的背襯條件。

獲得復縱波聲速和復剪切波聲速后，即可計算黏彈性材料的復拉梅常數和復剪切模量：

對于線性黏彈性材料，另外一組常用材料參數的表達形式是利用復彈性模量和復泊松比來表示，這組參數可以利用線性黏彈性材料的本構關系來計算：

3 動態力學參數的計算結果及討論

采用上節所述第（2）種途徑來求解計算黏彈性材料的動態力學參數，在水聲聲管中對以某種橡膠材料制作的圓柱空腔聲學覆蓋層樣品進行了反射系數的測量，測量方法選擇成熟的傳遞函數法［11］，兩種背襯條件分別為硬背襯和空氣背襯。根據測量結果對橡膠材料的黏彈性動態力學參數進行了計算，其中橡膠密度為1 210 kg／m3，圓柱空腔半徑為2 mm。

圖2表示橡膠材料復縱波聲速和復剪切波聲速的測量結果。復縱波聲速可改寫成＝cl（1＋jηcl）的形式，復剪切波聲速可改寫成＝ct（1＋jηct）的形式，其中cl和ct分別表示復縱波聲速和復剪切波聲速的實部（圖 2（a）），ηcl和 ηct分別表示相對應的損耗因子（圖2（b））。由于水聲聲管的截止頻率限制，有效的測量數據局限在中頻范圍內。從圖2（a）可以看出，縱波聲速約在2 000 m／s～2 100 m／s的范圍內變化，而剪切波聲速在在該頻段范圍內的變化不大，約為180 m／s。從圖2（b）不難發現，由于縱波損耗因子很小，因此可忽略不計；剪切波損耗因子明顯大于縱波損耗因子，并且剪切波損耗因子呈現出一定的頻散關系。

圖3表示橡膠材料復拉梅常數和復剪切模量的測量結果。復拉梅常數可改寫為＝λ（1＋jηλ）的形式，復剪切模量可改寫為＝μ（1＋jημ）的形式，其中λ和μ分別表示復拉梅常數和復剪切模量的實部（圖3（a）），ηλ和 ημ分別表示相對應的損耗因子 （圖3（b））。一方面，從圖2（a）可知該橡膠材料的剪切波聲速遠小于縱波聲速，通過（12）式計算的過程中，剪切波聲速對計算結果的影響很小，因此可以忽略不計，拉梅常數主要反映了材料的縱向特性。另一方面，根據線彈性理論，材料的剪切模量和楊氏模量之間滿足關系E＝2μ（1＋ν）。對于橡膠類的黏彈性材料，其泊松比接近于0．5，所以楊氏模量實部基本上是剪切模量實部的3倍，而楊氏模量損耗因子與剪切模量損耗因子基本相同，也就是說楊氏模量實部及其損耗因子的頻散曲線基本表現出與剪切模量實部及其損耗因子頻散曲線類似的規律，因此不再單獨給出楊氏模量的測量結果。

圖2 橡膠的復縱波聲速和復剪切波聲速Fig．2 Complex longitudinal and complex transverse wave speed of rubber

圖3 橡膠的復拉梅常數和復剪切模量Fig．3 Complex Lame constant curves and complex shear modulus curves of rubber

除此之外，由于本文討論的黏彈性材料動態力學參數測量方法的基礎是測定空腔覆蓋層的反射系數，因此實驗過程中的誤差不可避免地會影響后續計算結果的準確程度。實驗過程中的誤差來源主要有兩大類：一是樣品加工制作帶來的誤差，如空腔實際大小或空腔間距與設計尺寸有差別；二是測試系統本身存在的誤差對測試結果的影響，如兩個水聽器的相位和幅值是否完全一致，實際背襯條件與理想背襯條件（如絕對硬背襯）的差別等。

圖4和圖5分別表示圓柱空腔半徑的實際尺寸和設計尺寸不相同時，對部分黏彈性動態力學參數測量結果的影響。從圖中可以看出，若空腔實際半徑比設計尺寸增加10%（圖5和圖6中的紅線）時，測量得到的復楊氏模量實部誤差約為17%且小于真實數值，復泊松比實部誤差約為0．12%且大于真實數值；若空腔實際半徑比設計尺寸減小10%（圖5和圖6中的藍線）時，測量得到的復楊氏模量實部誤差約為19%，復泊松比實部誤差約為0．13%，從以上結果反映了空腔實際尺寸的誤差對楊氏模量的測量結果影響較大，而對泊松比的影響較小。

圖4 橡膠的楊氏模量及其誤差范圍Fig．4 Young’s modulus and associated error of rubber

圖5 橡膠的泊松比及其誤差范圍Fig．5 Poisson’s ratio and associated error of rubber

4 結 論

本文提出了一種以測量圓柱空腔覆蓋層反射系數為基礎、采用解析法反演黏彈性材料動態力學參數的方法，其特點是能夠與覆蓋層聲學性能測試同步進行，便于聲學覆蓋層的特性分析和優化設計。采用該方法測量動態力學參數至少需要測量兩組不同工況的反射系數，當然也可以完成更多工況條件下的測試，然后兩兩組合得到相應的參數測量結果，通過擬合獲得最終的黏彈性動態力學參數。此外，由于測試聲管的截止頻率限制，文中對于材料參數的分析局限于中頻范圍，而本文提出的方法原則上也適用于高頻情況，如可采用脈沖法測量覆蓋層的反射系數，進而拓寬動態力學參數測量的頻率范圍。

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