橢圓易錯點分析

劉軍成+盧麗君

高考中對橢圓的考查主要從以下幾個方面：①橢圓的概念與方程；②橢圓的幾何性質；③直線與橢圓的位置關系.這些地方也是考生容易出現錯誤的地方，要引起重視.

易錯1 第一定義及方程

例1 橢圓的一個頂點為[A2，0]，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程.

錯解 [A2，0]為長軸端點，[a=2]，[b=1]，橢圓方程為：[x24+y2=1].

錯因 題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置.

正解 （1）當[A2，0]為長軸端點時，[a=2]，[b=1]，橢圓的標準方程為[x24+y2=1].

（2）當[A2，0]為短軸端點時，[b=2]，[a=4]，橢圓的標準方程為：[x24+y216=1].

點撥 橢圓的標準方程有兩種，給出一個頂點的坐標和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況.

例2 已知方程[x2k-5+y23-k=-1]表示橢圓，求[k]的取值范圍.

錯解 由[k-5<0，3-k<0，]得[3

錯因 橢圓的標準方程中要求[a>b>0]，當[a=b]時，并不表示橢圓.

正解 由[k-5<0，3-k<0，k-5≠3-k，]得[3

∴[k]的取值范圍是[3

例3 橢圓[x24+y23=1]的左焦點為[F1]，直線[x=m]與橢圓相交于點[A，B]，當[△F1AB]的周長最大時，[△F1AB]的面積是 .

錯解 直線[x=m]交[x]軸于[P]，要使[△F1AB]的周長最大，由對稱性知，只需[AF1+AP]最大.利用勾股定理和[A]點的縱坐標列方程求解，此時計算復雜，很難得出結果.

錯因 沒有利用橢圓的定義，[AF1+AF2=2a]，結合三角形知識求解.

正解 直線[x=m]交[x]軸于[P]，要使[△F1AB]的周長最大，由對稱性知，只需[AF1+AP]最大.

而[AF1+AP=2a-AF2+AP≤2a]，

當[AF1]與[AP]重合時取得最大值，[AF1=b2a=32]，

所以[SΔF1AB=2×12×2×32=3].

點撥 本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是構造目標函數，即代數方法.二是數形結合，即幾何方法.本題抓住橢圓的定義，轉化目標，運用數形結合，就能簡捷求解.

易錯2 橢圓的幾何性質

例4 已知橢圓[x2k+8+y29=1]的離心率[e=12]，求[k]的……