反思，讓學生的思維得到升華

高自行

安徽新課程標準實施已六年了，總體分析近幾年的高考試卷和2014年安徽省考試說明（數學），我們可以看出，其對應試者的分析問題和解決問題的能力要求逐年提高.在平時的數學教學中，通過大量較少思考量的問題的重復訓練，只能提高熟練程度，而不能提高思維能力，這種題海戰術對能力的提高和發展幫助不大.那么如何才能不斷提高能力呢？答案就是進行解題后的反思.解題反思是一種對解題活動的“元認知”，是對解題活動的深層次再思考.它不僅是對數學解題學習的一般性回顧或重復，更是探究數學解題活動中涉及的知識、方法、思路、策略等，具有批判性、自主性.解題反思不僅有助于加深對知識的理解，提高知識理解的層次，而且能幫助學生提高思維的變通性，提升學生做題的境界.下面談談解題后反思的幾個切入點，僅供參考.

一、反思解題過程的完整性

數學解題，其實質就是運用學過的數學知識，借助一定的解題方法解決數學問題.解完一道題后，應作進一步思考：題目中所有的已知條件（包括隱含條件）都注意了嗎？題目所要求的問題都解決了嗎？解題中所用的公式是否是課本中已證過的結論？還有沒有需要補充和刪除的部分，等等.

例1：口袋中有2個紅球，3個白球和5個黑球，從中有放回地取20次，每次取出1個球后記下顏色，統計結果如下表：

則取到紅球的頻率是（ ）

A.0.2 B.0.25 C.0.3 D.0.5

錯解：A剖析：產生錯解的原因是將統計數據的頻率與事件發生的概率兩個概念混同，以為共10個球，紅球有2個，則所求為0.2.實際上這是一個理想化的數據，是概率值，而不是統計數據涉及的頻率.概率是頻率的穩定值，可以從頻率方面體現出來，但頻率是統計結果，具有個性化特征，而概率具有概括性和穩定性，具有理想化特征.

正解：所求頻率為■=0.25，故選B.

通過對典型錯題的反思，不但能達到正本清源的效果，而且能啟發學生準確理解相關概念的內涵，養成驗證答案是否合理有效的習慣.

二、反思解題思路的嚴謹性

在解題的過程中，學生會受到題目中一些信息的主導和干擾，不能全面周密地考慮問題，使求解過程偏離方向，造成誤解.反思解題思路，能及時修正錯誤.

例2：是否存在實數a，使函數y=sin2x+acos x+■a-■在閉區間[0，■]上的最大值為1？若存在，求出對應的a值；若不存在，請說明理由.

錯解：假設存在實數a，

則y=sin■x+acosx+■a-■

=-cos■x+a cosx+■a-■

=-（cosx-■）■+■+■a-■

令t=cosx，則y=-（t-■）■+■+■a-■

當t=■時，y■=■+■a-■=1

解得a=-4或a=■，故存在a=-4或a=■符合題意.

正解：假設存在實數a，

則y=sin■x+acosx+■a-■

=-cos■x+acosx+■a-■

=-（cosx-■）■+■+■a-■

當0≤x≤■時，0≤cosx≤1，

令t=cosx，則0≤t≤1，

y=-（t-■a）■+■+■a-■，0≤t≤1.

（1）當0≤■≤1，即0≤a≤2時，

則當t=■，即cosx=■時，y■=■+■a-■=1，

解得a=■或a=-4（舍去），故a=■

（2）當■<0，即a<0時，則當t=0，即cosx=0時，y■=■a-■=1，

解得a=■，由于a<0，

因此這種情況下不存在滿足條件的a值.

（3）當■>1，即a>2時，則當t=1，即cosx=1時，y■=■a-■=1，

解得a=■，由于■<2，

因此這種情況下不存在滿足條件的a值.

綜上可知，存在a=■符合題意.

反思：審題不仔細，導致換元時忽視了新元的取值范圍限制，根據余弦函數的性質，新元t的取值范圍應該是[0，1]，而不是R或[-1，1].

通過反思錯解原因，學生認識到仔細審題和深挖題目的隱含條件的重要性.

三、反思解題方法的靈活性

解數學題是離不開解題方法的，而解題方法的選擇又是以數學思想方法為基礎的.數學思想方法是數學的靈魂，是對數學的本質認識.解題方法的選擇與運用，往往對解題過程的繁簡起著決定性作用.一道題目解完后，引導學生反思所應用的解題方法，探索新的解題思路，對提高學生數學思維的“變通”能力頗有益處.這也是課程改革的基本要求.

例3：已知函數g（x）=x+■（x>0）.若g（x）=m有零點，求m的取值范圍.

解：方法一：因為g（x）=x+■≥2■=2e，

等號成立的條件是x=e.

故g（x）的值域是[2e，+∞），因而只需m≥2e，則 g（x）=m就有零點.

反思：本題解法思路明確，即利用基本不等式求得g（x）的值域，從而得到使g（x）=m有零點的m的取值范圍.

方法二：解方程由g（x）=m，得x■-mx+e■=0.此方程有大于零的根，

等價于m>0m≥2e或m≤-2e故■>0△=m■-4e■≥0，

故m≥2e.

反思：本題解法思路清晰，即利用方程思想求得m的取值范圍，但列式復雜，解題困難.

方法三：作出g（x）=x+■ 的圖像，如圖：

可知若使g（x）=m有零點，則只需m≥2e.

反思：本題解法利用數形結合思想，可很形象、直觀地求出m的范圍，與方法一、方法二比較，顯然輕松簡潔得多.

經常進行這樣的反思練習，對提高學生的思維變通能力是很有好處的.

四、數學思想、反思生輝

日本數學家、教育家米三藏指出：“作為知識的數學出校門不到兩年可能就忘記了，唯有深深銘記頭腦中的數學精神、數學的思想、研究方法和著眼點等，這些都是隨時隨地發生作用，使他們終身受益.”在每一次解題后，讓學生對解題過程中反映的數學思想、方法進行總結、概括，從而建立起良好的數學認知結構.

如案例3中讓學生反思得出：

（1）求參數范圍的方法：基本不等式、數形結合、構造函數法等.

（2）蘊含的數學思想方法：化歸思想、數形結合思想、函數與方程思想.

總之，在平時的解題過程中，養成題后反思的習慣，引導學生在反思上下工夫，反思問題的內在聯系和規律，在反思中獲得方法，在反思中促進思維的發展，既利于加強“雙基”的掌握，又有利于加強知識的有效遷移，是提高解題能力的重要途徑.

參考文獻：

[1]2014年普通高等學校招生全國統一考試安徽卷考試說明——數學（理科）.

[2]楊俊林.解題反思：培養創造性思維的有效途徑[J].高等函授學報，2009（5）.

[3]王能群.解題錯誤是一種教學資源[J].教育實踐與研究（中學版），2009（12）.