解三角函數應注意的幾個問題

趙莉

摘 要： 三角函數在每年的高考試題中均占有較大的分值比例.近幾年，教學大綱對三角函數的要求在難度上有所降低，經常單獨出題，而且較簡單，重點考查三角函數概念，同角基本關系式，和差公式，倍角公式，以及三角函數的圖像和性質.

關鍵詞： 三角函數 中學數學 最值 解題

三角函數是高中數學中一種重要的函數，在每年的高考中，三角函數試題均占有較大比例.雖然近幾年教學大綱對三角函數的要求在難度上有所降低，經常單獨出題而且較簡單，重點考查三角函數概念，同角基本關系式，和差公式，倍角公式，以及三角函數的圖像和性質.但是新課標更注意三角函數知識的系統性和完整性，由于三角函數的內容繁雜、公式較多且性質靈活，解題時稍有不慎，就會出現漏解、增解、錯解等現象，根本原因是對題中的條件（包括隱含條件）沒有特別注意。那么如何更有效地解三角函數問題，規范解題格式，使會做的題目不失分，是新課標下數學教學研究中的一個重要課題。下面我結合自己的教學實踐談談體會.

一、函數定義域變化時，注意軸線角

軸線角是指終邊落在坐標軸上的角，軸線角不屬于任何象限.這些角的三角函數值或為特殊值，或為不存在，由于其特殊性，學生會錯誤地認為一般的角就是象限角，而忽略了軸線角。在解題中，往往忽視軸線角的存在而致錯，因此解題時要特別注意.如：

已知函數y=lg（cosx·tanx）有意義，求x的取值范圍.

錯解：由lg（cosx·tanx）=lg（sinx）可知sinx>0，那么2kπ

分析：由sinx>0解得2kπ0包括了軸線角x=2kπ+■，k∈Z，但此時tanx不存在.

正解：由cosx>0tanx>0或cosx<0tanx<0，

x的取值范圍為2kπ

通過錯解與正解的比較，學生能真正體會化簡時定義域發生了改變（特別是正、余切函數的定義域受一定局限，解題時若照顧不到，就會改變解集），從而深入理解軸線角的概念.

二、注意三角函數問題中的隱含條件

出于三角函數的獨特性質，會造成解題時若不深入挖掘因此產生的隱含因素，就會產生錯誤現象.審題是對條件和問題進行全面認識，對與條件和問題相關的知識進行分析研究，是分析和解決問題的前提.所有數學問題都要仔細審題，三角函數也不例外，讀題時就要充分理解題意，把握題目本質，分析、發現隱含條件，以及化簡、轉化已知和所求的能力，更快捷、準確地解決問題.如：

已知sinx+siny=■，求siny-cos■x的最大值.

錯解：由sinx+siny=■得siny=■-sinx.

siny-cos■x=■-sinx-（1-sin■x）=（sinx-■）■-■，

又-1≤sinx≤1，所以當sinx=-1時，siny-cos■x取最大值為■.

分析：上述錯解在考生中極為普遍。雖然注意到sinx的有界性，卻沒有注意到，當sinx=-1時，會導致siny=■-（-1）=■>1，由于sinx+siny=■中的兩個變量是相互約束的，怎樣利用題中已知的那個等式？如果我們仔細審題，有較強的有界性意識，就會很快找到這道題解答的正確方向.由-1≤siny≤1，sinx+siny=■，先找出條件-■≤sinx≤1，從而當sinx=-■時，siny-cos■x取最大值為■.

有些求最值的問題往往都是在某個給定的區間上，因此要特別注意給定的區間，注意三角函數的定義域和有界性，對于含參數的三角函數式，要重視對參數范圍的討論，這往往就是解題的基本方向.很多時候，三角函數的角或函數值，或者三角形的邊或角都會存在限制條件，在解題時不能忽視隱含條件的挖掘，防止出錯.

三、注意已知等式中角的范圍

在解決三角函數給值求角問題中（即給出一些三角函數值，而求與這些三角函數式有某種聯系的三角式的值），我們要特別注意題目條件對角的范圍的限制，應將已知角的范圍盡可能地縮小，避免產生增根.一般來說，范圍越小越好.如有以下問題：

若sinα=■，sinβ=■，且α、β為銳角，求α+β的值.

錯解：∵α為銳角，∴cosα=■=■.

又β為銳角，∴cosβ=■=■.

且sin（α+β）sinαcosβ+cosαsinβ=■.

由于0<α<■，0<β<■，因此，0<α+β<π，故α+β=■或α+β=■.

分析：上述解法欠嚴密，僅由sin（α+β）=■，0<α+β<π得到α+β=■或α+β=■是正確的，但是擴大了α+β的范圍.因為題設中sinα=■<■，sinβ=■<■，從而對α和β進行了范圍限制，0<α<■，0<β<■，使得0<α+β<■，正解為α+β=■.

這就說明通過定值求角時，把題設條件中角的范圍化簡得越小越好，越小越容易確定.當然，對于本題求角，我們還可以通過選取余弦達到縮角的目的.由于0<α<■，0<β<■，得到0<α+β<π，正弦函數在（0，π）上恒為正，若選取正弦函數不利于確定角，而余弦函數在（0，π）上函數值有正有負，故利用余弦函數在（0，π）求角比較方便，直接將角的范圍縮小，避免增根出現.

四、注意三角換元中新元與舊元的等價性

布魯納說：“掌握數學思想和方法可使得數學更容易理解和記憶，更重要的是，領會基本思想和方法是通向遷移大道的‘光明之路.”因此，解題過程中，教師應有目標、有計劃地引導學生體會、提煉其中隱含的數學思想方法，使學生在接受知識的同時，受到數學思想方法的熏陶和啟迪，這樣才能把提高學生的能力落到實處.

在解三角函數題的數學思想方法中，換元法是一種常見的構造型思維方法.運用這種方法解決數學問題時，通常把原問題中的未知量的代數式用新的變量替換，進而把原來的數學問題轉化為含新變量的新問題，然后通過對新問題的求解獲得原問題的解.有時在三角函數復習題中，還常見倍角與“1”的問題，二倍角一旦與1聯系在一起，一般會出現平方形式.如：1+cos2x=2cos■x，1-cos2x=2sin■x，1±sin2x=（sinx±cosx）■，這些形式歷來是考查的熱點，這一類問題也有著很好的小綜合.如：

求解y=sinx+cosx+sinx·cosx的值域.

錯解：令sinx+cosx=t，則sinx·cosx=■，因此原不等式可化為y=■t■+t-■=■（t+1）■-1≥-1.所求值域為[-1，+∞）.

波利亞主張要“不斷地變換你的問題”，“直到最后成功地找到某些有用的東西為止”.在解決這類三角函數的問題時，我們就應當嘗試將陌生的問題化為熟悉的、便于理解的問題，先要用到換元，保證所求的結果既不擴大又不縮小，關鍵是遵循等價換元的原則，有時正、余弦函數的值域固定在某一個確定的范圍內，解題時改變其約束就會改變解.因為sinx+cosx=■sin（x+■），x∈R，所以t∈[-■，■]，故所求值域為[-1，■+■].

五、注意檢驗

三角函數中的隱含條件多，是三角習題具有的共性，需要在解題過程中仔細分析，合情推理才會發現，否則容易導致多解或錯解.隱含條件挖掘得是否透徹，直接影響解題結果.如以下問題：

已知tanα、tanβ是方程x■+3■x+4=0的兩個根，且α、β∈（-■，■），求tan（■）的值.

正解：由韋達定理得tanα+tanβ=-3■，tanα·tanβ=4

∴tan（α+β）=■=■=■

∴■

解得tan=■=-■或tan=■=■

由tanα+tanβ=-3■<0tanα·tanβ=4>0，可知tanα、tanβ同為負值，α、β∈（-■，0），所以■∈（-■，0），可得tan（■）=-■.

分析：當在三角求值或求角的過程中，出現不止一個解時，一定要注意對結果進行檢驗，這也是對角的范圍沒有縮小的一個亡羊補牢的措施.解此類問題對培養學生思維的深刻性和縝密性大有裨益，我們在平時的教學活動中要有意識地提醒學生注意這些問題，這樣我們的教學才會更有效，學生才會少犯錯誤.

總之，在求解三角函數問題時，常需要對特殊角，題目已知條件的隱含條件，角的范圍及相應的三角函數值的符號進行討論，若審題不細不嚴，就很容易出錯.故在以后解答此類問題時，希望同學們要三思而后行，養成審慎思維的習慣.