間隙非線性圓柱齒輪分流傳動系統動力學與均載特性分析

桂永方，朱如鵬，靳廣虎，李枝軍

（南京航空航天大學 江蘇省精密與微細制造技術重點實驗室，南京 210016）

圓柱齒輪分流傳動系統通過簡單定軸輪系應用于大功率齒輪傳動系統中，在直升機、艦船等領域具有廣泛的應用前景。針對分流傳動系統，國內外學者開展了一系列的研究工作。White等［1－6］通過設計對比發現：分流傳動系統相對于傳動行星齒輪傳動系統具有終端減速比大、傳動級少、能量損失低、可靠性高、齒輪和軸承數少、質量輕和噪聲低等優點。Rashidi等［7－10］研究了基于彈性元件和平衡梁均載機構的單輸入圓柱齒輪分流傳動系統的動力學特性，發現摩擦系數對平衡梁均載機構影響很大，認為安裝角、嚙合剛度相位是影響系統動力學響應的重要設計參數；計算了連接直齒輪與人字齒輪之間軸的扭轉剛度對系統振動能的影響。Gmirya等［11－13］提出了應用于CH－53K直升機的高效分流傳動系統，對彈性軸均載性能進行了實驗研究。楊振等［14－16］研究了二分支分流傳動系統的動力學響應與輸入轉速之間的關系，采用靜力平衡法分析了制造誤差和安裝誤差對傳動系統均載系數的影響。董皓等［17］采用變形協調法，研究了雙重功率分流傳動系統的制造誤差和安裝誤差對系統功率分流的影響。由于齒側間隙的存在，輪齒間的接觸狀態會發生變化，導致輪齒間的接觸、脫離、再接觸的重復沖擊，帶來的強烈振動和較大的動載荷，影響了分流傳動系統的載荷分配。目前，關于齒側間隙對雙輸入分流傳動系統動態均載特性的研究，鮮有文獻報道。

本文以雙輸入圓柱齒輪分流傳動系統為研究對象，考慮左右輸入軸之間安裝角、軸的橫向位移、時變嚙合剛和齒側間隙等因素，基于集中質量法，建立了彎扭耦合的圓柱齒輪分流系統的非線性動力學模型；分析了齒側間隙對分流傳動系統動態均載系數的影響，為圓柱齒輪分流傳動系統的設計提供了理論依據。

1 分流傳動系統動力學模型

圖1為雙輸入圓柱齒輪分流傳動系統示意圖。圖中，LD和RD分別表示左右輸入構件。雙輸入分流傳動系統分為左右兩個輸入端，每個輸入路線由分流級傳動系統（左端：輸入齒輪ZLp和兩分支齒輪ZL1s、ZL2s；右端：輸入齒輪ZRp和兩分支齒輪ZR1s、ZR2s）與并車級傳動系統（左端：兩分支齒輪ZL1h、ZL2h；右端：兩分支齒輪ZR1h、ZR2h；輸出齒輪ZB）組成。扭矩經左右兩輸入齒輪ZLp和ZRp將扭矩傳遞給與其同時嚙合的兩分支齒輪ZL1s與ZL2s和ZR1s與ZR2s，實現扭矩分流；又經過齒輪ZR1h與ZR2h和ZL1h與ZL2h匯流至輸出齒輪ZB，實現扭矩并車。齒輪 ZR1s與 ZR1h、ZR2s與 ZR2h、ZL1s與 ZL1h和 ZL2s與ZL2h通過扭力軸相聯。圖2所示為雙輸入圓柱齒輪分流傳動系統各軸安裝角度關系圖。

圖1 雙輸入圓柱齒輪分流傳動系統示意圖Fig．1 Sketch of2－input cylindrical gear split-torque transmission system

圖2 雙輸入圓柱齒輪分流系統安裝角度關系圖Fig．2 Installation angle of 2－input cylindrical gear split-torque transmission system

圖3 雙輸入圓柱齒輪分流傳動系統物理模型Fig．3 Dynamicmodel ofcylindrical gear split－torque transmission system

圖3為彈性支承下的雙輸入圓柱齒輪分流傳動系統的物理模型。各級傳動軸的支撐剛度分為X、Y兩個方向，嚙合副、回轉副及支撐處的彈性變形用等效彈簧剛度表示。各構件的剛度、阻尼、傳遞誤差和齒側間隙分別用字母K、c、e、b配合相應的下標表示。

雙輸入圓柱齒輪分流傳動系統共有28個自由度，其廣義位移矢量Y可表示為

式中，φjp、φjis和 φjih分別為 Zjp、Zjis和 Zjih的扭轉微位移；φjD、φB和φo分別為左右輸入端、ZB和輸出端的扭轉微位移；Xjp和Xji分別為左右輸入軸和分支i的坐標系橫向位移；Yjp和Yji分別為左右輸入軸和分支i的坐標系縱向位移；XB和YB分別為輸出軸坐標系橫向和縱向位移；j＝L，R，i＝1，2。

2 嚙合線綜合位移

圖4為雙輸入圓柱齒輪分流傳動系統的局部與廣義坐標關系圖。圖中，上標有星號的表示局部坐標，坐標系中的Y、Y*沿齒輪嚙合線方向。根據齒輪嚙合關系可知，當一個齒輪同時與兩個齒輪嚙合時，兩嚙合線的交角與齒輪中心連線的交角相等。設左右輸入軸的坐標為左右輸入端在輸出齒輪上形成的坐標是

設γ為相應齒輪副的壓力角的余角，則可得左右輸入齒輪副壓力角的余角分別為γjnpis和γjnBih。取XB和YB分別表示XLB和YLB，則可得

由圖4可得嚙合線相對位移與扭轉位移之間的關系為：

圖4 系統的局部與廣義坐標關系圖Fig．4 Relationship of partial and generalized coordinates of system

為消除剛體位移，在保持系統拓撲結構不變的前提下，將各軸的扭轉位移轉換為線位移，則得

式中，rjDp、rjisih和rBo分別是左右輸入軸、雙聯齒輪軸i和輸出軸的半徑。

根據系統的分流并車閉環結構特點和變形協調的要求，由式（3）與式（4），可求得 YRnB2h為

同理，可以求得相對位移YLnB2h的表達式。

3 分流傳動系統的動力學方程

令Fjnpis和FjnBih分別為齒輪副 Zjp與 Zjis和 ZB與 Zjih之間的嚙合力，則各齒輪副之間的嚙合力為

式中，Kl、fl（Yl）和 cl分別為齒輪副的時變嚙合剛度、間隙函數和嚙合阻尼，l為jnpis和jnBih。

嚙合剛度的時變性采用齒頻的間諧周期函數來反映，其表達式為［14］：

式中分別為齒輪副的平均嚙合剛度、剛度幅值系數和嚙合頻率，其中直齒輪嚙合剛度均值Kjnpis采用有限元法獲得，而人字齒輪嚙合剛度均值KjnBih按斜齒輪嚙合剛度并聯方式計算獲得。

設齒輪副間的法向平均嚙合間隙為2bl，間隙函數fl（Yl）可表示為

傳動系統中，傳動軸上受到多對嚙合力的作用。為推導系統的微分運動方程，需要將各個嚙合力沿軸的廣義坐標的兩個方向進行分解。由坐標變換矩陣的逆矩陣可得分流傳動系統右輸入各軸和輸出軸沿X、Y方向的合力為

式中，FRpx與FRpy和FRix與FRiy分別為右輸入軸，右分支i橫向與縱向受力；FBx和FBy分別為輸出軸橫向受力和縱向受力。

便于計算與分析，引入下述變量，即

根據以上狀況分析，建立雙輸入圓柱齒輪分流傳動系統動力學方程組，右輸入端方程如式（11）～式（13），分別為

式中，mRp、mRis、mRih和 mB分別為 ZRp、ZRis、ZRih和 ZB的質量；IRp、IRis、IRih和 IB分別為 ZRp、ZRis、ZRih和 ZB的轉動慣量；MRi為（mRis＋mRih）。

式中，TjD和To分別為左右輸入和輸出扭矩；IjD和Io分別為左右輸入和輸出的轉動慣量。

4 動載荷與均載系數計算

采用四階龍格庫塔法求解系統動力學方程，獲得系統的位移響應，將位移代入式（6），獲得動態嚙合力Pjnpis和PjnBih。令Gjnpis和GjnBih分別為分流級和并車級傳動系統中各嚙合線上的動載系數，則動載系數為：

式中，Pjp和 Pjih分別為（TjD／rjbp）和（Zjis／Zjp）Pjp。

令bjisk1和bjihk2分別為左右輸入端每一齒頻周期分流級和并車級各分支的均載系數。每一齒頻周期中的均載系數［18］為：

式中，k1為 1，2，…，n1；k2為 1，2，…，n2；n1、n2分別為系統周期分流級和并車級的嚙合齒頻周期數；N為2。

令Ωjis和Ωjih分別為左右輸入端系統周期分流級和并車級各齒輪副的均載系數，則系統周期內各齒輪副均載系數為

則左右輸入端分流級和并車級系統周期均載系數Ωjs和 Ωjh為

5 均載特性分析

本文進行算例分析的雙輸入分流傳動系統的基本參數如下：

表1 雙輸入分流傳動系統基本參數Tab．1 Basic parameters of 2－input sp lit-torque transm ission system

5．1 傳動系統各分支齒頻周期均載系數分析

圖5所示為分流傳動系統的齒頻周期均載系數。從圖5中可知，系統獲得穩定以后，雖然系統幾何結構是對稱的，但左右輸入端的各分支承受的扭矩并不相等，右分支2和左分支1承受的扭矩較大。

5．2 分流級單分支齒側間隙對傳動系統均載特性的影響分析

研究分流級單分支齒側間隙對系統均載特性的影響時，在其它齒側間隙不變的情況下，分別改變兩輸入齒側間隙 bRnp1s與 bLnp1s、bRnp2s與 bLnp2s，獲得系統周期均載系數分別隨齒側間隙bLnp1s與bRnp1s、bLnp2s與 bRnp2s的變化曲線。

圖5 分流傳動系統的齒頻周期均載系數Fig．5 the load sharing coefficient of gearmesh frequency for split-torque transmission system

圖6～7所示為分流級單分支齒側間隙與分流級和并車級均載系數變化關系。分流級均載系數ΩR1s與ΩL1s、ΩR2s與ΩL2s對分流級單邊齒側間隙敏感，隨著齒側間隙bRnp1s與bLnp1s、bRnp2s與bLnp2s增加而增加。分流級單邊齒側間隙對并車級均載影響小，均載系數ΩR2h、ΩL1h分別隨齒側間隙bRnp1s、bLnp2s增大略有增加，分別如圖6（a）和7（b）所示；均載系數 ΩL1h、ΩR2h分別隨齒側間隙bLnp1s、bRnp2s增大略有減小，如圖 6（b）和圖 7（a）所示。

5．3 并車級單分支齒側間隙對傳動系統均載特性的影響分析

圖6 均載系數與齒側間隙bRnp1s、bLnp1s變化關系Fig．6 Relationship between the load sharing coefficient of and backlash bRnp1s、bLnp1s

圖7 均載系數與齒側間隙bRnp2s、bLnp2s變化關系Fig．7 Relationship between the load sharing coefficient of and backlash bRnp2s、bLnp2s

研究并車級單分支齒側間隙對系統均載特性的影響時，在其它齒側間隙不變的情況下，分別改變兩輸入齒側間隙bRnB1h與bLnB1h、bRnB2h與bLnB2h，獲得系統周期均載系數分別隨齒側間隙bLnB1h與bRnB1h、bLnB2h與bRnB2h的變化曲線。

圖8～9所示為并車級單分支齒側間隙與分流級和并車級均載系數變化關系。并車級均載系數ΩR1h與ΩL1h、ΩR2h與ΩL2h對并車級單邊齒側間隙敏感，隨齒側間隙bRnB1h與 bLnB1h、bRnB2h與bLnB2h增加而增加。并車級單邊齒側間隙對分流級均載系數影響小，均載系數ΩR2s、ΩL1s分別隨齒側間隙bRnB1h、bLnB2h增大略有增加，如圖8（a）和 9（b）所示；均載系數 ΩL1s、ΩR2s分別隨著齒側間隙 bLnB1h、bRnB2h增大略有減小，如圖 8（b）和 9（a）所示。

5．4 分流級雙分支齒側間隙對傳動系統的均載特性影響分析

研究分流級雙分支齒側間隙對系統均載特性的影響，分別改變分流級齒側間隙 bLnp1s、bLnp2s、bRnp1s、bRnp2s，獲得系統周期均載系數隨分流級以及并車級雙分支齒側間隙變化曲線。

圖8 均載系數與齒側間隙bRnB1h、bLnB1h變化關系Fig．8 Relationship between the load sharing coefficient and backlash bRnB1h、bLnB1h

圖9 均載系數與齒側間隙bRnB2h、bLnB2h變化關系Fig．9 Relationship between the load sharing coefficient and backlash bRnB2h、bLnB2h

圖10 右輸入均載系數與間隙bRnp1s、bRnp2s變化關系Fig．10 Relationship between the load sharing coefficient of right input and backlash bRnp1s、bLnp2s

圖10～11所示為分流級雙分支齒側間隙與分流級和并車級均載系數變化曲線。隨著齒輪ZLp與ZL1s、ZL2s以及齒輪 ZRp與 ZR1s、ZR2s嚙合副間齒側間隙 bLnp1s、bLnp2s、bRnp1s、bRnp2s等值變化，分流級均載系數 ΩL2s與 ΩR2s對分流級雙邊齒側間隙敏感，隨著齒側間隙bLnp1s與bLnp2s、bRnp1s與 bRnp2s增加而減小，如圖 10（a）和圖 11（a）所示；分流級雙分支齒側間隙對并車級均載系數影響小，如圖10（b）和圖11（b）所示。

圖11 左輸入均載系數與間隙bLnp1s、bLnp2s變化關系Fig．11 Relationship between the load sharing coefficient of left input and backlash bLnp1s、bLnp2s

5．5 并車級雙分支齒側間隙對傳動系統的均載特性影響分析

研究并車級雙分支齒側間隙對系統均載特性的影響，分別改變并車級齒側間隙 bLnB1h、bLnB2h、bRnB1h、bRnB2h，獲得系統周期均載系數隨分流級以及并車級雙分支齒側間隙變化曲線。

圖12～13所示為并車級雙分支齒側間隙與分流級和并車級均載系數變化曲線。隨著齒輪ZB與ZL1h、ZL2h，齒輪 ZB與 ZR1h、ZR2h嚙合副間齒側間隙 bLnB1h、bLnB2h、bRnB1h、bRnB2h等值變化，并車級均載系數 ΩL2h與ΩR2h對分流級雙邊齒側間隙敏感，隨著齒側間隙bLnB1h與 bLnB2h、bRnB1h與 bRnB2h增加而減小，如圖 12（b）和圖 13（b）所示；并車級雙分支齒側間隙對分流級均載系數影響小，如圖12（a）和圖 13（a）所示。

圖12 右輸入均載系數與間隙bRnB1h、bRnB2h變化關系Fig．12 Relationship between the load sharing coefficient of right input and backlash bRnB1h、bRnB2h

圖13 左輸入均載系數與間隙bLnB1h、bLnB2h變化關系Fig．13 Relationship between the load sharing coefficient of left input and backlash bLnB1h、bLnB2h

5．6 齒側間隙對傳動系統的動載特性的影響分析

從前面的研究可知，雙分支齒側間隙的同步變化有利于改善均載系數，但是較大的齒側間隙會導致系統產生較大沖擊載荷，影響傳動系統的動載系數。為研究齒側間隙對傳動系統動載系數的影響，假設同步改變各齒輪嚙合副間齒側間隙，使其從0～60μm變化，獲得動載系數隨各齒輪嚙合副間齒側間隙變化曲線，如圖14所示。傳動系統左右輸入的分流級和并車級動載系數隨齒側間隙的增加而增大。并車級動載系數GLnB1h、GLnB2h、GRnB1h和GRnB2h對齒側間隙敏感度相對分流級動載系數 GLnp1s、GLnp2s、GRnp1s和 GRnp2s高。

圖14 動載系數與齒側間隙變化關系Fig．14 Relationship between dynamic load coefficient and backlash

6 結 論

（1）分流級均載系數隨分流級單分支齒側間隙增加而增大，隨分流級雙分支齒側間隙增加而減小；

（2）分流級單分支、雙分支齒側間隙對并車級均載系數影響較小；

（3）并車級均載系數隨并車級單分支齒側間隙增加而增大，隨并車級雙分支齒側間隙增加而減小；

（4）并車級單分支、雙分支齒側間隙對分流級均載系數影響較小；

（5）傳動系統的動載系數隨雙分支齒側間隙的增加而增大。

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