減震墊對導彈水下垂直發射橫向振動的影響

孫船斌，馬大為，朱忠領

（南京理工大學 機械工程學院，南京 210094）

導彈在水下平臺垂直發射的方式具有飽和攻擊、隱蔽性強、反應時間短等諸多特點［1］，出筒過程中導彈受到流體阻力［2－3］、氣密環－減震墊的支撐以及摩擦作用［4］，使得導彈筒內運動的振動響應非常復雜。本文針對水下平臺的導彈發射過程進行研究，將氣密環－減震墊作為彈性減震墊來研究［5］，分析了導彈在筒內橫向運動的自由振動特性，得到了導彈出筒過程的橫向振動方程，在此基礎上研究了減震墊的剛度、軸向尺寸和筒內分布對導彈橫向振動頻率、截面受力以及出筒姿態的影響。

1 動力學模型

根據動量與動量矩定理，在彈體坐標系中建立水下垂直發射過程的導彈橫向運動微分方程［6－7］：

式中，x0、y0、θ0、m、Jzz、B、G分別是彈體坐標系下導彈質心的軸向位移、橫向位移、俯仰角、質量、轉動慣量、浮力和重力；xB是浮力對導彈質心的作用距離；λ22、λ26、λ66是流體的附加質量、靜矩和轉動慣量；YNa0、YNw0、Mza0、Mzw0是流體的法向力和俯仰力矩；Ys0、Mzs0是減震墊對導彈的橫向作用力和作用力矩。

2 自由振動特性

建立平臺坐標系，平臺坐標系原點固定在發射平臺上，與導彈質心初始位置重合，X軸正向沿著發射筒軸向上，Y軸正向與發射平臺相對于海水的運動方向一致，Z軸由右手法則確定。

將式（1）、（2）的等號右邊作為導彈在發射過程中所受的外力，并在發射平臺坐標系中改寫，得到導彈橫向運動的自由振動方程：

式中，x、y、θ為發射平臺坐標系下導彈質心的X軸方向位移、Y軸方向位移和繞 Z軸的俯仰角；m、Jzz、λ22、λ26、λ66與式（1）、（2）中一致；Fsi、Msi、Ys、Mzs為平臺坐標系下第i個減震墊對導彈的橫向作用力、力矩以及所有減震墊對導彈的橫向作用力合力、合力矩，ki、xi、Hi為第i個減震墊的等效橫向剛度、第i個減震墊上端相對于導彈質心的位置坐標以及減震墊與導彈實際作用的軸向長度，當導彈脫離第i個減震墊時，其作用長度Hi＝0。

結合式（7）、（8），對式（5）、（6）進行泰勒展開，并省略θ的高階小量可得：

從式（11）、（12）中可以看出，C1、C2、D1、D2與減振墊的剛度ki、相對于導彈的位置xi以及實際作用的軸向長度 Hi相關，可以寫成 C1／C2／D1／D2＝f（ki，xi，Hi），其中xi、Hi隨導彈質心X軸位移x變化。

從式（14）可以看出 A1、A2、B1、B2與導彈的質量、轉動慣量 m、Jzz以及流體的附加質量 λ22、λ26、λ66相關，m、Jzz不隨導彈運動變化，而 λ22、λ26、λ66則是導彈軸向位移 x的函數［8］。

由式（19）可知導彈在筒內某一位置的橫向自由振動的頻率 w＝g（A1，B1，B2，C1，D1，D2），因此 w與減振墊的剛度、軸向尺寸以及減振墊在筒內分布相關，且隨著導彈的軸向運動而改變。

3 振動方程

結合式（15）、（16），在平臺坐標系下，導彈筒內運動的受迫振動方程由式（3）、（4）寫成：

式中其中M是系統質量矩陣，K是系統剛度矩陣，v是導彈橫向運動的物理坐標，f1、f2為系統所受外力外力矩。YNa、YNw、Mza、Mzw分別是平臺坐標系下的流體法向力和俯仰力矩。

由式（19）可得導彈橫向運動的1階2階頻率w1、w2，代入式（17）、（18）可得發射過程導彈橫向振動的特征矢量 V1、V2：

可將導彈的橫向運動的物理坐標v表示為：

式中，q1（t）和 q2（t）是導彈橫向振動的廣義主坐標，q1（t）和 q2（t）是振動頻率 w1，w2的周期函數且相互獨立，將式（25）代入式（15）、（16）得：

結合式（11）至（14），可知矩陣 M、K實對稱，可知當（23）、（24）關于矩陣 M、K對稱，則由式（27）可得［9］：

式中 ＜N1，N2＞表示向量 N1、N2的內積；Mp、Kp的物理含義為系統p階模態質量、剛度。

由式（28）、（29）可知 Mp、Kp僅是導彈 X軸方向位移 x的函數，將式（25）代入式（20），結合式（28）、（29）可得廣義主坐標下導彈橫向運動v的振動方程：

導彈在筒內的運動過程可以分成無數個微元時段det T，在微元時段det T內，導彈軸向位移變化所引起的系統質量矩陣M和剛度矩陣K的改變量為微小量。可以假設在微元時段內M、K的值不變，且由前一微元時段ti－1末導彈的橫向運動狀態作為導彈在當前微元時段ti的初始狀態；同時由式（21）和式（22）可知，外激勵fti可由 ti－1末導彈的運動狀態近似得到。結合式（25）和（30），由導彈在 ti－1結束時的橫向運動狀態 v0可得到導彈在筒內當前時刻t的橫向振動，其中ti＜t＜ti＋det T：

式（31）中Vp是導彈橫向振動的p階特征矢量，式（32）中v0是導彈在 ti－1結束時橫向的運動狀態，qp0為 ti－1結束時導彈橫向運動的廣義坐標。

4 算例和結果分析

由式（31）、（32）可知，導彈在筒內任意時刻的橫向振動可以分成2部分：其一，從ti－1到ti，導彈在X軸方向的運動x引起導彈橫向振動頻率w的突變，同時ti－1結束時的導彈橫向運動狀態將作為初始狀態突然加載，而產生導彈橫向的自由振動；其二，在ti內，由外部激勵f1、f2引起的導彈橫向的受迫振動。

由式（19）、（31）可知，導彈橫向運動的振動特性與減震墊參數密切相關，為研究減震墊對導彈橫向振動的影響，給出發射條件如下：導彈質量2 000 kg，質心位置距導彈底部3．5 m，導彈軸長及發射筒長均為8 m，發射平臺相對海水水平速度vt＝2 m／s。根據8道減震墊的軸向長度、橫向的等效剛度以及在筒內的分布位置，分別建立5個工況，如表1。在各工況中，第8道減震墊上端位于發射筒口，其余減震墊按數字倒序依次在筒內從上到下分布。各工況的導彈軸向運動速度、加速度等內彈道參數保持一致。文中所用數據均采用國際單位制，如角位移、角速度、力和力矩單位分別為rad、rad／s、N和 N·m。

表1 各工況的減震墊參數Tab．1Parameters of pads for working conditions

圖1 系統1階2階振動頻率Fig．1 Curves of first and second frequency for the system

圖1為出筒過程中各工況導彈橫向振動的1階2階頻率 w1、w2，從式（11）、（12）、（13）和（14）可知，A1、A2、B1、B2中 λ22、λ26、λ66關于導彈軸向位移 x的斜率是連續的，而C1、C2、D1、D2關于導彈軸向位移 x的斜率在導彈脫離減震墊的過程中存在間斷點，且各間斷點的位置位于導彈運動到各減震墊的下端位置時，從而導致導彈橫向振動頻率w關于時間的斜率也存在間斷點，如圖1所示。圖1中（a）、（b）分別為工況1、2、3的1階2階頻率曲線，從中可以看出，由于增大了減震墊的軸向長度、減震墊的橫向剛度，導彈橫向振動的1階2階頻率也增大了；從工況2的頻率曲線可以看出，增大減震墊的軸向長度，導致減震墊的間隙減小了，使得導彈的頻率w斜率相鄰的兩個間斷點位置更近，而使曲線更為光滑；從工況3的頻率曲線可以看出，增大減震墊的橫向剛度，導致導彈的頻率w斜率在間斷點前后變化增大，使得曲線起伏程度變大。圖1中（c）、（d）分別工況1、4、5導彈橫向振動的1階2階頻率，從中可以看出，改變減震墊在筒內的分布位置，會相應地改變1階2階頻率斜率間斷點的位置。

圖2 導彈出筒姿態Fig．2 Curves of pitch angle and angle velocity for themissile

圖3 指定截面的剪切力和剪切力矩Fig．3 Curves of cross section shear stress and shear torque

表2 出筒時刻計算結果Tab．2 The computation results for the outlet of them issile

圖2是出筒過程中導彈的俯仰角和俯仰角速度，圖3是出筒過程中指定截面的剪切力和剪切力矩，其中剪切力F與計算值符號相反。表2是各工況導彈出筒時刻的姿態以及指定截面的剪切力、剪切力矩峰值。

從圖2（a）、（c），圖 3（a）、（c）以及表 2中可以看出，增大減震墊長度可以使得導彈出筒姿態曲線平滑，能夠較好地抑制指定截面剪切力和剪切力矩峰值；增大減震墊剛度能夠較明顯地減小出筒姿態，但會增大導彈俯仰角速度的震蕩，而且會增大指定截面的剪切力和剪切力矩峰值。

從圖2（b）、（d），圖 3（b）、（d）以及表 2中可以看出，工況4和工況5的曲線顯示了減震墊分布對導彈橫向振動的影響。工況4中第6、7、8道減震墊間隙為0，工況5中第4、5、6道減震墊間隙為0，相比于前者，后者的導彈俯仰角速度震蕩程度更大，且指定截面的剪切力和剪切力力矩峰值更高。

5 結 論

本文推導了水下平臺導彈出筒的橫向振動方程，分析了出筒過程中導彈的橫向振動特性，主要得出以下結論：

（1）導彈出筒過程的橫向振動由兩部分組成：其一，由導彈振動頻率w的突變引起的橫向自由振動；其二，由外力引起的導彈橫向受迫振動。

（2）導彈橫向振動的1階2階頻率曲線反應了導彈振動頻率的時變特性，減震墊的間隙導致頻率曲線的斜率存在間斷點。

（3）增大減震墊的軸向尺寸，導彈的姿態及指定截面受力均較好；增大減震墊的橫向剛度能明顯減小導彈出筒的俯仰角和俯仰角速度，但會顯著增加導彈姿態的震蕩和導彈的截面受力，從而增加導彈出筒的不穩定性和不安全性；應當避免減震墊的間隙在發射筒內末端分布過大，否則會引起導彈出筒姿態較大的震蕩以及較高的截面受力。

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