由一道數(shù)學(xué)行程問題引發(fā)的思考

摘要：數(shù)學(xué)習(xí)題的練習(xí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要功能——知識功能和教育功能。教師選擇每一道數(shù)學(xué)習(xí)題，都應(yīng)該考慮到它的兩種功能，不僅僅教給學(xué)生知識，同時還注重學(xué)生思維發(fā)展和心理健康成長。可怎樣發(fā)揮這些功能？值得我們深思和探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；習(xí)題功能；行程問題

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）36-0082-03

數(shù)學(xué)習(xí)題練習(xí)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的重要一環(huán)。數(shù)學(xué)習(xí)題具有兩種功能：第一，它是數(shù)學(xué)知識的載體，習(xí)題練習(xí)可以鞏固知識、靈活運(yùn)用知識、并引入新知識。第二，數(shù)學(xué)習(xí)題還具有重要的教育功能，它能培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心，養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)思維，提高學(xué)生應(yīng)對挫折的能力。

下面是一道數(shù)學(xué)行程問題的教學(xué)片斷，借用該教學(xué)片斷來探討如何發(fā)揮數(shù)學(xué)習(xí)題的這些功能。

一、數(shù)學(xué)行程問題教學(xué)片段

（一）例題

甲、乙兩車相距480km，甲車速度為80km/h，乙車速度為100km/h，若甲、乙兩車同時同向而行，兩車何時相距600km？

解：設(shè)x小時后兩車相距600km。

1.若甲、乙兩車同向由甲到乙方向行駛，如下頁圖1所示，則：

100x+480=80x+600

解之得：x=6

即：6小時后甲、乙兩車相距600km。

2.若甲、乙兩車同向且由乙到甲方向行駛，如圖2所示，則只有乙追上甲并超過甲時才可能相距600km

100x=80x+480+600

解之得：x=54

即：54小時后甲、乙兩車相距600km。

（二）拓展

若上述數(shù)據(jù)都不變，設(shè)計(jì)一道題，使之結(jié)果有三種情形。

學(xué)生：編不出來，能否改變數(shù)據(jù)？

老師：如果可以改變數(shù)據(jù)，你如何設(shè)計(jì)？

學(xué)生甲：將“甲、乙兩車相距480km”更改為“甲、乙兩車同在一個地方”，則：

（1）甲、乙同時同地同向右出發(fā)（如圖3）。

（2）甲、乙同時同地同向左出發(fā)（如圖4）。

（3）甲、乙同時同地反向出發(fā)（如圖5）。

學(xué)生乙質(zhì)疑：（1）、（2）屬同一種情況。（其他學(xué)生都贊同）

學(xué)生丙：將“甲、乙兩車相距480km”更改為“甲、乙兩車相距650km”，刪去“甲、乙兩車同時同向而行“，則：

（1）甲、乙同時相向而行（如圖6）。

（2）甲、乙同時同向出發(fā)，此時不可能出現(xiàn)同時向由甲到乙的方向行駛（甲比乙慢，由甲到乙方向行駛，只會導(dǎo)致相距距離越來越大）。

①乙追上甲之前相距600km（如圖7）。

②乙追上甲之后相距600km（如圖7）。

學(xué)生丁質(zhì)疑：（1）情況下應(yīng)該也有兩種可能性：甲、乙相遇前相距480km；甲、乙相遇后相距480km。

學(xué)生丙：將“甲、乙兩車相距480km，甲車速度為80km/h，乙車速度為100km/h”更改為“甲、乙兩車相距600km，甲車速度為100km/h，乙車速度為100km/h”

學(xué)生群體質(zhì)疑：甲、乙兩車只要同時同向行駛，永遠(yuǎn)相距600km，沒有太多意義。

最后此拓展題只得以“課下再思考”而結(jié)束。

二、從行程問題知識本身的角度反思

此題如果不更改任何數(shù)據(jù)，能否設(shè)計(jì)出有三種情形的一道題？

行程問題一般涉及三個變量：速度、時間、路程，三個變量相互作用、相互影響。若行程問題只涉及到一個對象，當(dāng)確定其中兩個變量時，第三個變量隨之可以確定。若行程問題涉及到兩個對象或兩個以上對象（比如：此例題中出現(xiàn)了甲、乙兩個對象），除了三個變量外一般還涉及到兩個對象的行駛方向，以及是否同時行駛兩個要素。對于同時與否，其實(shí)質(zhì)為改變兩車之間最初的距離，而方向一般會涉及八種情況（見表1）。

本題中甲乙兩車速度不變，最終要相距600km，屬于相距問題。

1.若兩車最開始相距0

2.若兩車最開始相距S>600km，則只可能出現(xiàn)表中的③、④、⑥、⑦四種情況。

3.特殊情況之一：兩車在同一地點(diǎn)即S=0km，此時只可能出現(xiàn)同向相距或反向相距兩種情況。

4.特殊情況之二：兩車最開始相距600km即S=600km，此時只可能出現(xiàn)表中的④、⑦兩種情況。

綜上所述，無論從“方向”還是從“同時與否”這兩個角度思考，最終都會出現(xiàn)四種情況或兩種情況，不可能出現(xiàn)三種情況。

三、從數(shù)學(xué)習(xí)題的教育功能方面來看

數(shù)學(xué)習(xí)題對學(xué)生的智力方面和非智力方面都有重要的功能。

從智力方面來說，數(shù)學(xué)習(xí)題能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性、深刻性、批判性、廣闊性、創(chuàng)造性等品質(zhì)。本題是一道開放性習(xí)題，由于答案的不確定性，不能按照常規(guī)的思路解決問題，要求學(xué)生從整體看行程問題，全局把握條件和結(jié)論之間的關(guān)系，在學(xué)生已有的解題方法、運(yùn)算技巧和探索能力的基礎(chǔ)上，擺脫局部細(xì)節(jié)，主動、獨(dú)立、別出心裁的提出新方法、新見解，同時對自己提出的新方法、新見解提出質(zhì)疑，發(fā)現(xiàn)問題，從而擯棄錯誤，尋找出最后的解決方案。所以，此題對學(xué)生思維的品質(zhì)提出了很高的要求，能促進(jìn)學(xué)生的思維縱向深層次發(fā)展。

從非智力方面來說，經(jīng)拓展后的習(xí)題難度系數(shù)較大，要求學(xué)生頑強(qiáng)的、堅(jiān)持不懈地挑戰(zhàn)已有知識和能力的極限，能培養(yǎng)學(xué)生的堅(jiān)韌和挑戰(zhàn)精神。但學(xué)生無論付出多少努力最終也無法成功找到解決方案，會讓學(xué)生產(chǎn)生挫折感，習(xí)題本身具有的激勵作用也蕩然無存，長此以往，學(xué)生就會對具有挑戰(zhàn)性的習(xí)題失去興趣和動力。如果我們把這道拓展題的結(jié)論稍作修改，結(jié)果就會大相徑庭。比如：我們將問題“若上述數(shù)據(jù)都不變，設(shè)計(jì)一道題，使之結(jié)果有三種情形。”更改為“若上述數(shù)據(jù)都不變，我們能否設(shè)計(jì)一道題，使之結(jié)果有三種情形？如果能，請寫出來。如果不能，請找出原因”，此時學(xué)生可從“存在”和“不存在”兩方面思考問題。除此以外，我們還可以將問題更改為“若上述數(shù)據(jù)都不變，設(shè)計(jì)一道題，使之結(jié)果有四種情形。”，學(xué)生因此也能獲得成功，但相比前者，后者對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的要求就降低了許多。

此外，由于數(shù)學(xué)習(xí)題本身具有的獨(dú)特特點(diǎn)，使之較其他學(xué)科抗干擾的能力強(qiáng)，學(xué)生容易靜下心來，迅速投入到數(shù)學(xué)習(xí)題解決的過程中去，對于促進(jìn)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣有重要的作用。數(shù)學(xué)習(xí)題不僅能促進(jìn)學(xué)生獨(dú)立思考，還能促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣和敢于質(zhì)疑的習(xí)慣。

問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題解決是數(shù)學(xué)教育的核心。數(shù)學(xué)習(xí)題不僅能鞏固學(xué)生所學(xué)知識，發(fā)展學(xué)生的智力，同時對學(xué)生情感、心理等方面都有很大的影響。此外，數(shù)學(xué)習(xí)題還深刻影響著學(xué)生進(jìn)入社會后分析身邊問題、解決身邊問題的能力。所以我們需要慎重地看待每一道數(shù)學(xué)習(xí)題，認(rèn)真地思考數(shù)學(xué)習(xí)題的教育功能，在有限的課堂時間里最大限度地發(fā)揮每一道習(xí)題的教育功能。

作者簡介：馬鴻曉，北大附中香山學(xué)校數(shù)學(xué)教師，中學(xué)一級教師，海淀區(qū)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

摘要：數(shù)學(xué)習(xí)題的練習(xí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要功能——知識功能和教育功能。教師選擇每一道數(shù)學(xué)習(xí)題，都應(yīng)該考慮到它的兩種功能，不僅僅教給學(xué)生知識，同時還注重學(xué)生思維發(fā)展和心理健康成長。可怎樣發(fā)揮這些功能？值得我們深思和探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；習(xí)題功能；行程問題

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）36-0082-03

數(shù)學(xué)習(xí)題練習(xí)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的重要一環(huán)。數(shù)學(xué)習(xí)題具有兩種功能：第一，它是數(shù)學(xué)知識的載體，習(xí)題練習(xí)可以鞏固知識、靈活運(yùn)用知識、并引入新知識。第二，數(shù)學(xué)習(xí)題還具有重要的教育功能，它能培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心，養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)思維，提高學(xué)生應(yīng)對挫折的能力。

下面是一道數(shù)學(xué)行程問題的教學(xué)片斷，借用該教學(xué)片斷來探討如何發(fā)揮數(shù)學(xué)習(xí)題的這些功能。

一、數(shù)學(xué)行程問題教學(xué)片段

（一）例題

甲、乙兩車相距480km，甲車速度為80km/h，乙車速度為100km/h，若甲、乙兩車同時同向而行，兩車何時相距600km？

解：設(shè)x小時后兩車相距600km。

1.若甲、乙兩車同向由甲到乙方向行駛，如下頁圖1所示，則：

100x+480=80x+600

解之得：x=6

即：6小時后甲、乙兩車相距600km。

2.若甲、乙兩車同向且由乙到甲方向行駛，如圖2所示，則只有乙追上甲并超過甲時才可能相距600km

100x=80x+480+600

解之得：x=54

即：54小時后甲、乙兩車相距600km。

（二）拓展

若上述數(shù)據(jù)都不變，設(shè)計(jì)一道題，使之結(jié)果有三種情形。

學(xué)生：編不出來，能否改變數(shù)據(jù)？

老師：如果可以改變數(shù)據(jù)，你如何設(shè)計(jì)？

學(xué)生甲：將“甲、乙兩車相距480km”更改為“甲、乙兩車同在一個地方”，則：

（1）甲、乙同時同地同向右出發(fā)（如圖3）。

（2）甲、乙同時同地同向左出發(fā)（如圖4）。

（3）甲、乙同時同地反向出發(fā)（如圖5）。

學(xué)生乙質(zhì)疑：（1）、（2）屬同一種情況。（其他學(xué)生都贊同）

學(xué)生丙：將“甲、乙兩車相距480km”更改為“甲、乙兩車相距650km”，刪去“甲、乙兩車同時同向而行“，則：

（1）甲、乙同時相向而行（如圖6）。

（2）甲、乙同時同向出發(fā)，此時不可能出現(xiàn)同時向由甲到乙的方向行駛（甲比乙慢，由甲到乙方向行駛，只會導(dǎo)致相距距離越來越大）。

①乙追上甲之前相距600km（如圖7）。

②乙追上甲之后相距600km（如圖7）。

學(xué)生丁質(zhì)疑：（1）情況下應(yīng)該也有兩種可能性：甲、乙相遇前相距480km；甲、乙相遇后相距480km。

學(xué)生丙：將“甲、乙兩車相距480km，甲車速度為80km/h，乙車速度為100km/h”更改為“甲、乙兩車相距600km，甲車速度為100km/h，乙車速度為100km/h”

學(xué)生群體質(zhì)疑：甲、乙兩車只要同時同向行駛，永遠(yuǎn)相距600km，沒有太多意義。

最后此拓展題只得以“課下再思考”而結(jié)束。

二、從行程問題知識本身的角度反思

此題如果不更改任何數(shù)據(jù)，能否設(shè)計(jì)出有三種情形的一道題？

行程問題一般涉及三個變量：速度、時間、路程，三個變量相互作用、相互影響。若行程問題只涉及到一個對象，當(dāng)確定其中兩個變量時，第三個變量隨之可以確定。若行程問題涉及到兩個對象或兩個以上對象（比如：此例題中出現(xiàn)了甲、乙兩個對象），除了三個變量外一般還涉及到兩個對象的行駛方向，以及是否同時行駛兩個要素。對于同時與否，其實(shí)質(zhì)為改變兩車之間最初的距離，而方向一般會涉及八種情況（見表1）。

本題中甲乙兩車速度不變，最終要相距600km，屬于相距問題。

1.若兩車最開始相距0

2.若兩車最開始相距S>600km，則只可能出現(xiàn)表中的③、④、⑥、⑦四種情況。

3.特殊情況之一：兩車在同一地點(diǎn)即S=0km，此時只可能出現(xiàn)同向相距或反向相距兩種情況。

4.特殊情況之二：兩車最開始相距600km即S=600km，此時只可能出現(xiàn)表中的④、⑦兩種情況。

綜上所述，無論從“方向”還是從“同時與否”這兩個角度思考，最終都會出現(xiàn)四種情況或兩種情況，不可能出現(xiàn)三種情況。

三、從數(shù)學(xué)習(xí)題的教育功能方面來看

數(shù)學(xué)習(xí)題對學(xué)生的智力方面和非智力方面都有重要的功能。

從智力方面來說，數(shù)學(xué)習(xí)題能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性、深刻性、批判性、廣闊性、創(chuàng)造性等品質(zhì)。本題是一道開放性習(xí)題，由于答案的不確定性，不能按照常規(guī)的思路解決問題，要求學(xué)生從整體看行程問題，全局把握條件和結(jié)論之間的關(guān)系，在學(xué)生已有的解題方法、運(yùn)算技巧和探索能力的基礎(chǔ)上，擺脫局部細(xì)節(jié)，主動、獨(dú)立、別出心裁的提出新方法、新見解，同時對自己提出的新方法、新見解提出質(zhì)疑，發(fā)現(xiàn)問題，從而擯棄錯誤，尋找出最后的解決方案。所以，此題對學(xué)生思維的品質(zhì)提出了很高的要求，能促進(jìn)學(xué)生的思維縱向深層次發(fā)展。

從非智力方面來說，經(jīng)拓展后的習(xí)題難度系數(shù)較大，要求學(xué)生頑強(qiáng)的、堅(jiān)持不懈地挑戰(zhàn)已有知識和能力的極限，能培養(yǎng)學(xué)生的堅(jiān)韌和挑戰(zhàn)精神。但學(xué)生無論付出多少努力最終也無法成功找到解決方案，會讓學(xué)生產(chǎn)生挫折感，習(xí)題本身具有的激勵作用也蕩然無存，長此以往，學(xué)生就會對具有挑戰(zhàn)性的習(xí)題失去興趣和動力。如果我們把這道拓展題的結(jié)論稍作修改，結(jié)果就會大相徑庭。比如：我們將問題“若上述數(shù)據(jù)都不變，設(shè)計(jì)一道題，使之結(jié)果有三種情形。”更改為“若上述數(shù)據(jù)都不變，我們能否設(shè)計(jì)一道題，使之結(jié)果有三種情形？如果能，請寫出來。如果不能，請找出原因”，此時學(xué)生可從“存在”和“不存在”兩方面思考問題。除此以外，我們還可以將問題更改為“若上述數(shù)據(jù)都不變，設(shè)計(jì)一道題，使之結(jié)果有四種情形。”，學(xué)生因此也能獲得成功，但相比前者，后者對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的要求就降低了許多。

此外，由于數(shù)學(xué)習(xí)題本身具有的獨(dú)特特點(diǎn)，使之較其他學(xué)科抗干擾的能力強(qiáng)，學(xué)生容易靜下心來，迅速投入到數(shù)學(xué)習(xí)題解決的過程中去，對于促進(jìn)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣有重要的作用。數(shù)學(xué)習(xí)題不僅能促進(jìn)學(xué)生獨(dú)立思考，還能促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣和敢于質(zhì)疑的習(xí)慣。

問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題解決是數(shù)學(xué)教育的核心。數(shù)學(xué)習(xí)題不僅能鞏固學(xué)生所學(xué)知識，發(fā)展學(xué)生的智力，同時對學(xué)生情感、心理等方面都有很大的影響。此外，數(shù)學(xué)習(xí)題還深刻影響著學(xué)生進(jìn)入社會后分析身邊問題、解決身邊問題的能力。所以我們需要慎重地看待每一道數(shù)學(xué)習(xí)題，認(rèn)真地思考數(shù)學(xué)習(xí)題的教育功能，在有限的課堂時間里最大限度地發(fā)揮每一道習(xí)題的教育功能。

作者簡介：馬鴻曉，北大附中香山學(xué)校數(shù)學(xué)教師，中學(xué)一級教師，海淀區(qū)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

摘要：數(shù)學(xué)習(xí)題的練習(xí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要功能——知識功能和教育功能。教師選擇每一道數(shù)學(xué)習(xí)題，都應(yīng)該考慮到它的兩種功能，不僅僅教給學(xué)生知識，同時還注重學(xué)生思維發(fā)展和心理健康成長。可怎樣發(fā)揮這些功能？值得我們深思和探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；習(xí)題功能；行程問題

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）36-0082-03

數(shù)學(xué)習(xí)題練習(xí)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的重要一環(huán)。數(shù)學(xué)習(xí)題具有兩種功能：第一，它是數(shù)學(xué)知識的載體，習(xí)題練習(xí)可以鞏固知識、靈活運(yùn)用知識、并引入新知識。第二，數(shù)學(xué)習(xí)題還具有重要的教育功能，它能培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心，養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)思維，提高學(xué)生應(yīng)對挫折的能力。

下面是一道數(shù)學(xué)行程問題的教學(xué)片斷，借用該教學(xué)片斷來探討如何發(fā)揮數(shù)學(xué)習(xí)題的這些功能。

一、數(shù)學(xué)行程問題教學(xué)片段

（一）例題

甲、乙兩車相距480km，甲車速度為80km/h，乙車速度為100km/h，若甲、乙兩車同時同向而行，兩車何時相距600km？

解：設(shè)x小時后兩車相距600km。

1.若甲、乙兩車同向由甲到乙方向行駛，如下頁圖1所示，則：

100x+480=80x+600

解之得：x=6

即：6小時后甲、乙兩車相距600km。

2.若甲、乙兩車同向且由乙到甲方向行駛，如圖2所示，則只有乙追上甲并超過甲時才可能相距600km

100x=80x+480+600

解之得：x=54

即：54小時后甲、乙兩車相距600km。

（二）拓展

若上述數(shù)據(jù)都不變，設(shè)計(jì)一道題，使之結(jié)果有三種情形。

學(xué)生：編不出來，能否改變數(shù)據(jù)？

老師：如果可以改變數(shù)據(jù)，你如何設(shè)計(jì)？

學(xué)生甲：將“甲、乙兩車相距480km”更改為“甲、乙兩車同在一個地方”，則：

（1）甲、乙同時同地同向右出發(fā)（如圖3）。

（2）甲、乙同時同地同向左出發(fā)（如圖4）。

（3）甲、乙同時同地反向出發(fā)（如圖5）。

學(xué)生乙質(zhì)疑：（1）、（2）屬同一種情況。（其他學(xué)生都贊同）

學(xué)生丙：將“甲、乙兩車相距480km”更改為“甲、乙兩車相距650km”，刪去“甲、乙兩車同時同向而行“，則：

（1）甲、乙同時相向而行（如圖6）。

（2）甲、乙同時同向出發(fā)，此時不可能出現(xiàn)同時向由甲到乙的方向行駛（甲比乙慢，由甲到乙方向行駛，只會導(dǎo)致相距距離越來越大）。

①乙追上甲之前相距600km（如圖7）。

②乙追上甲之后相距600km（如圖7）。

學(xué)生丁質(zhì)疑：（1）情況下應(yīng)該也有兩種可能性：甲、乙相遇前相距480km；甲、乙相遇后相距480km。

學(xué)生丙：將“甲、乙兩車相距480km，甲車速度為80km/h，乙車速度為100km/h”更改為“甲、乙兩車相距600km，甲車速度為100km/h，乙車速度為100km/h”

學(xué)生群體質(zhì)疑：甲、乙兩車只要同時同向行駛，永遠(yuǎn)相距600km，沒有太多意義。

最后此拓展題只得以“課下再思考”而結(jié)束。

二、從行程問題知識本身的角度反思

此題如果不更改任何數(shù)據(jù)，能否設(shè)計(jì)出有三種情形的一道題？

行程問題一般涉及三個變量：速度、時間、路程，三個變量相互作用、相互影響。若行程問題只涉及到一個對象，當(dāng)確定其中兩個變量時，第三個變量隨之可以確定。若行程問題涉及到兩個對象或兩個以上對象（比如：此例題中出現(xiàn)了甲、乙兩個對象），除了三個變量外一般還涉及到兩個對象的行駛方向，以及是否同時行駛兩個要素。對于同時與否，其實(shí)質(zhì)為改變兩車之間最初的距離，而方向一般會涉及八種情況（見表1）。

本題中甲乙兩車速度不變，最終要相距600km，屬于相距問題。

1.若兩車最開始相距0

2.若兩車最開始相距S>600km，則只可能出現(xiàn)表中的③、④、⑥、⑦四種情況。

3.特殊情況之一：兩車在同一地點(diǎn)即S=0km，此時只可能出現(xiàn)同向相距或反向相距兩種情況。

4.特殊情況之二：兩車最開始相距600km即S=600km，此時只可能出現(xiàn)表中的④、⑦兩種情況。

綜上所述，無論從“方向”還是從“同時與否”這兩個角度思考，最終都會出現(xiàn)四種情況或兩種情況，不可能出現(xiàn)三種情況。

三、從數(shù)學(xué)習(xí)題的教育功能方面來看

數(shù)學(xué)習(xí)題對學(xué)生的智力方面和非智力方面都有重要的功能。

從智力方面來說，數(shù)學(xué)習(xí)題能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性、深刻性、批判性、廣闊性、創(chuàng)造性等品質(zhì)。本題是一道開放性習(xí)題，由于答案的不確定性，不能按照常規(guī)的思路解決問題，要求學(xué)生從整體看行程問題，全局把握條件和結(jié)論之間的關(guān)系，在學(xué)生已有的解題方法、運(yùn)算技巧和探索能力的基礎(chǔ)上，擺脫局部細(xì)節(jié)，主動、獨(dú)立、別出心裁的提出新方法、新見解，同時對自己提出的新方法、新見解提出質(zhì)疑，發(fā)現(xiàn)問題，從而擯棄錯誤，尋找出最后的解決方案。所以，此題對學(xué)生思維的品質(zhì)提出了很高的要求，能促進(jìn)學(xué)生的思維縱向深層次發(fā)展。

從非智力方面來說，經(jīng)拓展后的習(xí)題難度系數(shù)較大，要求學(xué)生頑強(qiáng)的、堅(jiān)持不懈地挑戰(zhàn)已有知識和能力的極限，能培養(yǎng)學(xué)生的堅(jiān)韌和挑戰(zhàn)精神。但學(xué)生無論付出多少努力最終也無法成功找到解決方案，會讓學(xué)生產(chǎn)生挫折感，習(xí)題本身具有的激勵作用也蕩然無存，長此以往，學(xué)生就會對具有挑戰(zhàn)性的習(xí)題失去興趣和動力。如果我們把這道拓展題的結(jié)論稍作修改，結(jié)果就會大相徑庭。比如：我們將問題“若上述數(shù)據(jù)都不變，設(shè)計(jì)一道題，使之結(jié)果有三種情形。”更改為“若上述數(shù)據(jù)都不變，我們能否設(shè)計(jì)一道題，使之結(jié)果有三種情形？如果能，請寫出來。如果不能，請找出原因”，此時學(xué)生可從“存在”和“不存在”兩方面思考問題。除此以外，我們還可以將問題更改為“若上述數(shù)據(jù)都不變，設(shè)計(jì)一道題，使之結(jié)果有四種情形。”，學(xué)生因此也能獲得成功，但相比前者，后者對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的要求就降低了許多。

此外，由于數(shù)學(xué)習(xí)題本身具有的獨(dú)特特點(diǎn)，使之較其他學(xué)科抗干擾的能力強(qiáng)，學(xué)生容易靜下心來，迅速投入到數(shù)學(xué)習(xí)題解決的過程中去，對于促進(jìn)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣有重要的作用。數(shù)學(xué)習(xí)題不僅能促進(jìn)學(xué)生獨(dú)立思考，還能促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣和敢于質(zhì)疑的習(xí)慣。

問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題解決是數(shù)學(xué)教育的核心。數(shù)學(xué)習(xí)題不僅能鞏固學(xué)生所學(xué)知識，發(fā)展學(xué)生的智力，同時對學(xué)生情感、心理等方面都有很大的影響。此外，數(shù)學(xué)習(xí)題還深刻影響著學(xué)生進(jìn)入社會后分析身邊問題、解決身邊問題的能力。所以我們需要慎重地看待每一道數(shù)學(xué)習(xí)題，認(rèn)真地思考數(shù)學(xué)習(xí)題的教育功能，在有限的課堂時間里最大限度地發(fā)揮每一道習(xí)題的教育功能。

作者簡介：馬鴻曉，北大附中香山學(xué)校數(shù)學(xué)教師，中學(xué)一級教師，海淀區(qū)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。