連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的求法探究

摘要：通過實例介紹了連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的一些求法，包括Laplace-Stieltjes變換法、重期望公式法、利用相同概率性質(zhì)的隨機變量分解法和計算高維Markov過程平均吸收時間的方法。

關鍵詞：連續(xù)型隨機變量；期望；求法

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）36-0078-02

如何快速有效地計算隨機變量的數(shù)學期望是學習概率統(tǒng)計課程和隨機過程理論必須掌握的一個知識點，但在一般的概率統(tǒng)計和隨機過程教材（如[1，2]）中，計算數(shù)學期望主要采用的是定義和性質(zhì)等常規(guī)方法。基于此，文[3]針對離散型隨機變量期望計算，給出了對稱法、公式法、分解法、遞推法和母函數(shù)等求法及其技巧。在這些工作的基礎上，本文針對連續(xù)型隨機變量期望計算，通過實例介紹了Laplace-Stieltjes變換法、重期望公式法、利用相同概率性質(zhì)的隨機變量分解法和計算高維Markov過程平均吸收時間的方法。

一、Laplace-Stieltjes變換法

例1 設一非負隨機變量X的分布函數(shù)為F（t）=■■■G■（t-u）d（1-e■），t>00， t≤0，其中n為確定正整數(shù)，λ■，j=1，2，…，n均為已知正數(shù)，a=λ1+…+λn，G■（t）為非負隨機變量的分布函數(shù)，且0<μ■■=■tdG■（t）<∞，求X的數(shù)學期望E（X）。

解：因F（t）的Laplace-Stieltjes變換為■（s）=■e■dF（t）=■■■■（s），故E（X）=-[■（s）]′|s=0=■1+■■。

二、重期望公式法

例2 設供貨商每月向某經(jīng)銷商供應的貨物量X服從（10，30）（單位：1萬件）上的均勻分布，該經(jīng)銷商每月實際需要的貨物量Y服從（10，20）（單位：1萬件）上的均勻分布。若該經(jīng)銷商能從供貨商得到足夠的貨物，則每1萬件貨物可獲30萬元利潤，若得不到足夠貨物則需從其他途徑進貨，此時每1萬件可獲10萬元利潤。求該經(jīng)銷商每月的平均利潤。

解：因每月利潤Z取決于貨物供應量X，故由重期望公式得：

E（Z）=0.05[■E（Z|X=x）dx+■E（Z|X=x）dx]。

當x∈（10，20）時，E（Z|X=x）=0.1[■30ydy+

■（10y+20x）dy]=50+40x-x2，

當x∈（20，30）時，E（Z|X=x）=3[■ydy=450，于是E（Z）≈433，（萬元）。

三、利用相同概率性質(zhì)的隨機變量分解法

例3 在M/G/1排隊系統(tǒng)[4]中，顧客的到達是參數(shù)為λ的Poisson流，顧客的服務時間獨立同分布，具有分布函數(shù)G（t），t>0和有限均值α。到達和服務獨立。證明對服務臺忙期b的數(shù)學期望E（b），當λα小于1時，E（b）=α（1-λα）-1，當λα大于或等于1時，E（b）=∞。

證明：設η表示忙期b中首個顧客的服務時間γ內(nèi)到達的顧客數(shù)，則E（η）=λα。稱服務時間γ內(nèi)到達的η個顧客ξ1，…，ξη為“特殊顧客”，其后到達的顧客為“普通顧客”。因顧客類型和服務順序不影響忙期b的長度，為研究需要，重新定義服務順序為：服務完忙期首個顧客后，立即服務ξ1和除ξ2，…，ξη外的“普通顧客”，直到?jīng)]有新到“普通顧客”時為止（這段時間記為X1），接著開始服務ξ2和除ξ3，…，ξη外的“普通顧客”，直到?jīng)]有新到“普通顧客”時為止（這段時間記為X2），如此下去，直到最后開始服務ξη及其后所有新到的“普通顧客”（這段時間記為Xη），于是得到分解式b=γ+X1+…+Xη。由于b，X1，…，Xη都表示從一個顧客開始服務直到服務結束的一段時間，故它們具有相同的概率性質(zhì)，分布相同，且X1，…，Xη獨立于γ和η。從而

E（b）=a+∑■■E（X1+…+Xj）P{η=j}=a+λaE（b）。證畢。

四、計算高維Markov過程平均吸收時間的方法

例4 對兩部件串聯(lián)系統(tǒng)，若部件1、2的壽命分別服從參數(shù)為λ1的負指數(shù)分布和分布函數(shù)為X2（t）的一般概率分布，修理時間的分布函數(shù)為Yi（t），i=1，2，部件修復如新。t=0時刻部件全新且同時開始工作。求系統(tǒng)的首次平均壽命。

解：定義狀態(tài)1：系統(tǒng)工作；狀態(tài)2：部件1在修理，系統(tǒng)故障；狀態(tài)3：部件2待修，系統(tǒng)故障。設部件2壽命的危險率函數(shù)為λ2（t），時刻t系統(tǒng)所處的狀態(tài)為S（t），ξ2（t）表示時刻t部件2的年齡，ηi（t）表示時刻t部件i已用去的修理時間（i=1，2）。令狀態(tài)2，3為吸收狀態(tài)，則{S（t），ξ2（t），ηi（t），t>0，i=1，2}為帶兩個吸收狀態(tài)的向量Markov過程。定義狀態(tài)概率P1（t，x）dx=Pr{S（t）=1，x≤ξ2（t）

[■+■+λ1+λ2（x）]P1（t，x）=0， （1）

邊界條件P1（t，0）=δ（t），初始條件P1（0，x）=δ（x），這里δ（t）為狄拉克函數(shù)。

對（1）關于t取Laplace變換易解得P1*（s，x）=

e■[1-X■（x）]。注意到系統(tǒng)首次壽命L的補分布■（t）=Pr（L>t）=■P1（t，x）dx（因為■（t）表示時刻t系統(tǒng)正在工作的概率），從而系統(tǒng)的首次平均壽命E（L）=■*（0）=λ■■-X■*（λ1）。

注1：當X2（t）=1-e-λ2t，t>0時，可得E（X）=（λ1+λ2）-1，與文[5]運用概率分析方法得到的結果（n=2的情形）完全一樣。

五、結語

通過實例可以看到，本文介紹的連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的求法可以解決一些具體問題中的期望計算，可為學習概率統(tǒng)計、隨機過程及工程概率應用提供重要的參考，因此，理解和掌握這些方法是大有裨益的。

參考文獻：

[1]李賢平.概率論基礎[M].第二版.北京：高等教育出版社，1997.

[2]張波，張景肖.應用隨機過程[M].北京：清華大學出版社，2004.

[3]徐傳勝.離散型隨機變量數(shù)學期望的求法探究[J].高等數(shù)學研究，2005，8，（1）.

[4]唐應輝，唐小我.排隊論——基礎與分析技術[M].高等教育出版社，2006.

[5]盛驟，謝式千.概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用[M].北京：高等教育出版社，2004.

作者簡介：劉仁彬（1972-），男，四川自貢人，博士，副教授，研究方向：概率統(tǒng)計和隨機模型。

摘要：通過實例介紹了連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的一些求法，包括Laplace-Stieltjes變換法、重期望公式法、利用相同概率性質(zhì)的隨機變量分解法和計算高維Markov過程平均吸收時間的方法。

關鍵詞：連續(xù)型隨機變量；期望；求法

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）36-0078-02

如何快速有效地計算隨機變量的數(shù)學期望是學習概率統(tǒng)計課程和隨機過程理論必須掌握的一個知識點，但在一般的概率統(tǒng)計和隨機過程教材（如[1，2]）中，計算數(shù)學期望主要采用的是定義和性質(zhì)等常規(guī)方法。基于此，文[3]針對離散型隨機變量期望計算，給出了對稱法、公式法、分解法、遞推法和母函數(shù)等求法及其技巧。在這些工作的基礎上，本文針對連續(xù)型隨機變量期望計算，通過實例介紹了Laplace-Stieltjes變換法、重期望公式法、利用相同概率性質(zhì)的隨機變量分解法和計算高維Markov過程平均吸收時間的方法。

一、Laplace-Stieltjes變換法

例1 設一非負隨機變量X的分布函數(shù)為F（t）=■■■G■（t-u）d（1-e■），t>00， t≤0，其中n為確定正整數(shù)，λ■，j=1，2，…，n均為已知正數(shù)，a=λ1+…+λn，G■（t）為非負隨機變量的分布函數(shù)，且0<μ■■=■tdG■（t）<∞，求X的數(shù)學期望E（X）。

解：因F（t）的Laplace-Stieltjes變換為■（s）=■e■dF（t）=■■■■（s），故E（X）=-[■（s）]′|s=0=■1+■■。

二、重期望公式法

例2 設供貨商每月向某經(jīng)銷商供應的貨物量X服從（10，30）（單位：1萬件）上的均勻分布，該經(jīng)銷商每月實際需要的貨物量Y服從（10，20）（單位：1萬件）上的均勻分布。若該經(jīng)銷商能從供貨商得到足夠的貨物，則每1萬件貨物可獲30萬元利潤，若得不到足夠貨物則需從其他途徑進貨，此時每1萬件可獲10萬元利潤。求該經(jīng)銷商每月的平均利潤。

解：因每月利潤Z取決于貨物供應量X，故由重期望公式得：

E（Z）=0.05[■E（Z|X=x）dx+■E（Z|X=x）dx]。

當x∈（10，20）時，E（Z|X=x）=0.1[■30ydy+

■（10y+20x）dy]=50+40x-x2，

當x∈（20，30）時，E（Z|X=x）=3[■ydy=450，于是E（Z）≈433，（萬元）。

三、利用相同概率性質(zhì)的隨機變量分解法

例3 在M/G/1排隊系統(tǒng)[4]中，顧客的到達是參數(shù)為λ的Poisson流，顧客的服務時間獨立同分布，具有分布函數(shù)G（t），t>0和有限均值α。到達和服務獨立。證明對服務臺忙期b的數(shù)學期望E（b），當λα小于1時，E（b）=α（1-λα）-1，當λα大于或等于1時，E（b）=∞。

證明：設η表示忙期b中首個顧客的服務時間γ內(nèi)到達的顧客數(shù)，則E（η）=λα。稱服務時間γ內(nèi)到達的η個顧客ξ1，…，ξη為“特殊顧客”，其后到達的顧客為“普通顧客”。因顧客類型和服務順序不影響忙期b的長度，為研究需要，重新定義服務順序為：服務完忙期首個顧客后，立即服務ξ1和除ξ2，…，ξη外的“普通顧客”，直到?jīng)]有新到“普通顧客”時為止（這段時間記為X1），接著開始服務ξ2和除ξ3，…，ξη外的“普通顧客”，直到?jīng)]有新到“普通顧客”時為止（這段時間記為X2），如此下去，直到最后開始服務ξη及其后所有新到的“普通顧客”（這段時間記為Xη），于是得到分解式b=γ+X1+…+Xη。由于b，X1，…，Xη都表示從一個顧客開始服務直到服務結束的一段時間，故它們具有相同的概率性質(zhì)，分布相同，且X1，…，Xη獨立于γ和η。從而

E（b）=a+∑■■E（X1+…+Xj）P{η=j}=a+λaE（b）。證畢。

四、計算高維Markov過程平均吸收時間的方法

例4 對兩部件串聯(lián)系統(tǒng)，若部件1、2的壽命分別服從參數(shù)為λ1的負指數(shù)分布和分布函數(shù)為X2（t）的一般概率分布，修理時間的分布函數(shù)為Yi（t），i=1，2，部件修復如新。t=0時刻部件全新且同時開始工作。求系統(tǒng)的首次平均壽命。

解：定義狀態(tài)1：系統(tǒng)工作；狀態(tài)2：部件1在修理，系統(tǒng)故障；狀態(tài)3：部件2待修，系統(tǒng)故障。設部件2壽命的危險率函數(shù)為λ2（t），時刻t系統(tǒng)所處的狀態(tài)為S（t），ξ2（t）表示時刻t部件2的年齡，ηi（t）表示時刻t部件i已用去的修理時間（i=1，2）。令狀態(tài)2，3為吸收狀態(tài)，則{S（t），ξ2（t），ηi（t），t>0，i=1，2}為帶兩個吸收狀態(tài)的向量Markov過程。定義狀態(tài)概率P1（t，x）dx=Pr{S（t）=1，x≤ξ2（t）

[■+■+λ1+λ2（x）]P1（t，x）=0， （1）

邊界條件P1（t，0）=δ（t），初始條件P1（0，x）=δ（x），這里δ（t）為狄拉克函數(shù)。

對（1）關于t取Laplace變換易解得P1*（s，x）=

e■[1-X■（x）]。注意到系統(tǒng)首次壽命L的補分布■（t）=Pr（L>t）=■P1（t，x）dx（因為■（t）表示時刻t系統(tǒng)正在工作的概率），從而系統(tǒng)的首次平均壽命E（L）=■*（0）=λ■■-X■*（λ1）。

注1：當X2（t）=1-e-λ2t，t>0時，可得E（X）=（λ1+λ2）-1，與文[5]運用概率分析方法得到的結果（n=2的情形）完全一樣。

五、結語

通過實例可以看到，本文介紹的連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的求法可以解決一些具體問題中的期望計算，可為學習概率統(tǒng)計、隨機過程及工程概率應用提供重要的參考，因此，理解和掌握這些方法是大有裨益的。

參考文獻：

[1]李賢平.概率論基礎[M].第二版.北京：高等教育出版社，1997.

[2]張波，張景肖.應用隨機過程[M].北京：清華大學出版社，2004.

[3]徐傳勝.離散型隨機變量數(shù)學期望的求法探究[J].高等數(shù)學研究，2005，8，（1）.

[4]唐應輝，唐小我.排隊論——基礎與分析技術[M].高等教育出版社，2006.

[5]盛驟，謝式千.概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用[M].北京：高等教育出版社，2004.

作者簡介：劉仁彬（1972-），男，四川自貢人，博士，副教授，研究方向：概率統(tǒng)計和隨機模型。

摘要：通過實例介紹了連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的一些求法，包括Laplace-Stieltjes變換法、重期望公式法、利用相同概率性質(zhì)的隨機變量分解法和計算高維Markov過程平均吸收時間的方法。

關鍵詞：連續(xù)型隨機變量；期望；求法

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）36-0078-02

如何快速有效地計算隨機變量的數(shù)學期望是學習概率統(tǒng)計課程和隨機過程理論必須掌握的一個知識點，但在一般的概率統(tǒng)計和隨機過程教材（如[1，2]）中，計算數(shù)學期望主要采用的是定義和性質(zhì)等常規(guī)方法。基于此，文[3]針對離散型隨機變量期望計算，給出了對稱法、公式法、分解法、遞推法和母函數(shù)等求法及其技巧。在這些工作的基礎上，本文針對連續(xù)型隨機變量期望計算，通過實例介紹了Laplace-Stieltjes變換法、重期望公式法、利用相同概率性質(zhì)的隨機變量分解法和計算高維Markov過程平均吸收時間的方法。

一、Laplace-Stieltjes變換法

例1 設一非負隨機變量X的分布函數(shù)為F（t）=■■■G■（t-u）d（1-e■），t>00， t≤0，其中n為確定正整數(shù)，λ■，j=1，2，…，n均為已知正數(shù)，a=λ1+…+λn，G■（t）為非負隨機變量的分布函數(shù)，且0<μ■■=■tdG■（t）<∞，求X的數(shù)學期望E（X）。

解：因F（t）的Laplace-Stieltjes變換為■（s）=■e■dF（t）=■■■■（s），故E（X）=-[■（s）]′|s=0=■1+■■。

二、重期望公式法

例2 設供貨商每月向某經(jīng)銷商供應的貨物量X服從（10，30）（單位：1萬件）上的均勻分布，該經(jīng)銷商每月實際需要的貨物量Y服從（10，20）（單位：1萬件）上的均勻分布。若該經(jīng)銷商能從供貨商得到足夠的貨物，則每1萬件貨物可獲30萬元利潤，若得不到足夠貨物則需從其他途徑進貨，此時每1萬件可獲10萬元利潤。求該經(jīng)銷商每月的平均利潤。

解：因每月利潤Z取決于貨物供應量X，故由重期望公式得：

E（Z）=0.05[■E（Z|X=x）dx+■E（Z|X=x）dx]。

當x∈（10，20）時，E（Z|X=x）=0.1[■30ydy+

■（10y+20x）dy]=50+40x-x2，

當x∈（20，30）時，E（Z|X=x）=3[■ydy=450，于是E（Z）≈433，（萬元）。

三、利用相同概率性質(zhì)的隨機變量分解法

例3 在M/G/1排隊系統(tǒng)[4]中，顧客的到達是參數(shù)為λ的Poisson流，顧客的服務時間獨立同分布，具有分布函數(shù)G（t），t>0和有限均值α。到達和服務獨立。證明對服務臺忙期b的數(shù)學期望E（b），當λα小于1時，E（b）=α（1-λα）-1，當λα大于或等于1時，E（b）=∞。

證明：設η表示忙期b中首個顧客的服務時間γ內(nèi)到達的顧客數(shù)，則E（η）=λα。稱服務時間γ內(nèi)到達的η個顧客ξ1，…，ξη為“特殊顧客”，其后到達的顧客為“普通顧客”。因顧客類型和服務順序不影響忙期b的長度，為研究需要，重新定義服務順序為：服務完忙期首個顧客后，立即服務ξ1和除ξ2，…，ξη外的“普通顧客”，直到?jīng)]有新到“普通顧客”時為止（這段時間記為X1），接著開始服務ξ2和除ξ3，…，ξη外的“普通顧客”，直到?jīng)]有新到“普通顧客”時為止（這段時間記為X2），如此下去，直到最后開始服務ξη及其后所有新到的“普通顧客”（這段時間記為Xη），于是得到分解式b=γ+X1+…+Xη。由于b，X1，…，Xη都表示從一個顧客開始服務直到服務結束的一段時間，故它們具有相同的概率性質(zhì)，分布相同，且X1，…，Xη獨立于γ和η。從而

E（b）=a+∑■■E（X1+…+Xj）P{η=j}=a+λaE（b）。證畢。

四、計算高維Markov過程平均吸收時間的方法

例4 對兩部件串聯(lián)系統(tǒng)，若部件1、2的壽命分別服從參數(shù)為λ1的負指數(shù)分布和分布函數(shù)為X2（t）的一般概率分布，修理時間的分布函數(shù)為Yi（t），i=1，2，部件修復如新。t=0時刻部件全新且同時開始工作。求系統(tǒng)的首次平均壽命。

解：定義狀態(tài)1：系統(tǒng)工作；狀態(tài)2：部件1在修理，系統(tǒng)故障；狀態(tài)3：部件2待修，系統(tǒng)故障。設部件2壽命的危險率函數(shù)為λ2（t），時刻t系統(tǒng)所處的狀態(tài)為S（t），ξ2（t）表示時刻t部件2的年齡，ηi（t）表示時刻t部件i已用去的修理時間（i=1，2）。令狀態(tài)2，3為吸收狀態(tài)，則{S（t），ξ2（t），ηi（t），t>0，i=1，2}為帶兩個吸收狀態(tài)的向量Markov過程。定義狀態(tài)概率P1（t，x）dx=Pr{S（t）=1，x≤ξ2（t）

[■+■+λ1+λ2（x）]P1（t，x）=0， （1）

邊界條件P1（t，0）=δ（t），初始條件P1（0，x）=δ（x），這里δ（t）為狄拉克函數(shù)。

對（1）關于t取Laplace變換易解得P1*（s，x）=

e■[1-X■（x）]。注意到系統(tǒng)首次壽命L的補分布■（t）=Pr（L>t）=■P1（t，x）dx（因為■（t）表示時刻t系統(tǒng)正在工作的概率），從而系統(tǒng)的首次平均壽命E（L）=■*（0）=λ■■-X■*（λ1）。

注1：當X2（t）=1-e-λ2t，t>0時，可得E（X）=（λ1+λ2）-1，與文[5]運用概率分析方法得到的結果（n=2的情形）完全一樣。

五、結語

通過實例可以看到，本文介紹的連續(xù)型隨機變量數(shù)學期望的求法可以解決一些具體問題中的期望計算，可為學習概率統(tǒng)計、隨機過程及工程概率應用提供重要的參考，因此，理解和掌握這些方法是大有裨益的。

參考文獻：

[1]李賢平.概率論基礎[M].第二版.北京：高等教育出版社，1997.

[2]張波，張景肖.應用隨機過程[M].北京：清華大學出版社，2004.

[3]徐傳勝.離散型隨機變量數(shù)學期望的求法探究[J].高等數(shù)學研究，2005，8，（1）.

[4]唐應輝，唐小我.排隊論——基礎與分析技術[M].高等教育出版社，2006.

[5]盛驟，謝式千.概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應用[M].北京：高等教育出版社，2004.

作者簡介：劉仁彬（1972-），男，四川自貢人，博士，副教授，研究方向：概率統(tǒng)計和隨機模型。