具有輸入與狀態(tài)時(shí)變時(shí)滯線性系統(tǒng)的魯棒H∞控制

侯曉麗 ,邵誠(chéng),李永鳳

(1.鄭州輕工業(yè)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系,河南 鄭州 450002；2.大連理工大學(xué) 電信學(xué)院,遼寧 大連 116085)

時(shí)滯現(xiàn)象存在于許多實(shí)際系統(tǒng)，如生物系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、化工系統(tǒng)、物理系統(tǒng)，電力系統(tǒng)等，時(shí)滯的存在有時(shí)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，或使得系統(tǒng)的性能下降。近年來，對(duì)具有輸入時(shí)滯和狀態(tài)時(shí)滯的線性系統(tǒng)的魯棒控制及H∞控制已有大量的研究成果[1-10]，其中很多文獻(xiàn)要求系統(tǒng)是能控的且時(shí)滯依賴的結(jié)果大都要求時(shí)滯的導(dǎo)數(shù)小于1,但在很多實(shí)際系統(tǒng)中,可能無法預(yù)知時(shí)滯參數(shù)導(dǎo)數(shù)的情況, 如遙操作系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的時(shí)滯參數(shù)變化很快, 有時(shí)時(shí)滯參數(shù)的導(dǎo)數(shù)甚至可能不存在, 這時(shí)已有方法就不適用了。有的結(jié)果對(duì)時(shí)滯導(dǎo)數(shù)沒有限制，如鄭敏等[11]對(duì)一類狀態(tài)及輸入具有區(qū)間變時(shí)滯的線性系統(tǒng)，基于時(shí)滯劃分形式的泛函，討論系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題；王新梅等[12]利用一個(gè)積分等式，給出了一類區(qū)間時(shí)變輸入時(shí)滯與狀態(tài)時(shí)滯線性系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù)等，但結(jié)果有一定的保守性。

對(duì)沒有不確定性和外擾的系統(tǒng)，結(jié)合自由權(quán)矩陣技巧，不經(jīng)過任何不等式放縮，利用Lyapunov穩(wěn)定性定理，得到了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的時(shí)滯依賴充分性條件，且對(duì)時(shí)滯的導(dǎo)數(shù)沒有任何限制，解決了穩(wěn)定性問題中保守性產(chǎn)生的根源。然后把該方法用于不確定系統(tǒng)，研究其魯棒控制與H∞控制。

1 系統(tǒng)描述及主要結(jié)果

考慮具有如下形式的不確定時(shí)滯系統(tǒng)：

(1)

假設(shè)參數(shù)不確定性為范數(shù)有界的，即存在適當(dāng)維數(shù)的常值矩陣E、G1、G2、G3、G4，使得

式中：F(t)∈Ri×j為未知的時(shí)變函數(shù)矩陣，其元素為可測(cè)的且滿足FT(t)F(t)≤I?t。

引理[10]假定存在適當(dāng)維數(shù)的相容矩陣M、N和正定對(duì)稱矩陣R、Q，對(duì)任意滿足FTF≤R的F有Q+MFN+NTFTMT<0成立等價(jià)于存在標(biāo)量λ>0使得Q+λMMT+λ-1NTRN<0成立。

目的是設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器u(t)=Kx(t)，使得從外部擾動(dòng)輸入ω(t)到被調(diào)輸出z(t)的傳遞函數(shù)Tωz小于給定的正數(shù)γ。

先考慮沒有不確定性的系統(tǒng)：

(2)

定理1 對(duì)系統(tǒng)(2)，在狀態(tài)反饋u(t)=Kx(t)作用下，若存在正定對(duì)稱矩陣P,Qi(i=1、2、3、4)，適當(dāng)維數(shù)的相容矩陣Ni(i=1、2、3、4)和Mi(i=1、2、3)，使得下述不等式成立，則其是漸近穩(wěn)定的:

(9)

其中，

證明：把狀態(tài)反饋u(t)=Kx(t)代入系統(tǒng)(2)可得

取泛函:

則對(duì)V沿系統(tǒng)(2)對(duì)t求導(dǎo)，得

ri)Qix(t-ri)=2xTP(A0+B1K)x(t)+

2xTPA1x(t-τ1(t))+2xTPB2Kx(t-τ2(t))+

令

由Lyapunov穩(wěn)定性定理知，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。證畢。

整個(gè)證明過程可以看到?jīng)]有任何不等式放縮，所以結(jié)果沒有任何保守性。對(duì)時(shí)滯的導(dǎo)數(shù)沒有任何限制，適合快變與慢變系統(tǒng),且結(jié)果是時(shí)滯依賴的，與時(shí)變時(shí)滯的上下界有關(guān)。

對(duì)添加等式中的項(xiàng)數(shù)可根據(jù)需要而定。比如若系統(tǒng)中沒有時(shí)滯項(xiàng)，則添加等式的方括號(hào)中可只選第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，其他項(xiàng)可以不要。

對(duì)含有不確定性的系統(tǒng)

(3)

同理可得下面的定理。

定理2 對(duì)系統(tǒng)(3)，在狀態(tài)反饋u(t)=Kx(t)作用下，若存在正定對(duì)稱矩陣P,Qi(i=1,2,3,4)，適當(dāng)維數(shù)的相容矩陣N0和Mi(i=1,2,3)，以及正數(shù)εi、ai、bi、ci、di(i=1,2,3,4)，使得下述不等式成立，則系統(tǒng)(3)是漸近穩(wěn)定的:

其中,

證明：與定理1的證明類似，添加等式:

令

由引理1，結(jié)論即可得證。

下面考慮不確定時(shí)滯系統(tǒng)的H∞控制：

定理3 對(duì)系統(tǒng)(1)，在狀態(tài)反饋u(t)=Kx(t)作用下，若存在正定對(duì)稱矩陣P,Qi(i=1,2,3,4)，適當(dāng)維數(shù)的相容矩陣N0和Mi(i=1,2,3)，以及正數(shù)εi,ai,bi,ci,di(i=1,2,3,4)，使得下述不等式成立:

T=

則系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定，且從外部擾動(dòng)輸入ω(t)到被調(diào)輸出z(t)的傳遞函數(shù)Tωz小于給定的正數(shù)γ。其中,

2 數(shù)值算例

例1 考慮如下系統(tǒng):

其中，

可見定理1的方法所得結(jié)果更好。

例2 考慮線性不確定時(shí)滯系統(tǒng):

其中,

表1 性能指標(biāo)與控制增益與其他文獻(xiàn)對(duì)比結(jié)果

3 結(jié)束語(yǔ)

利用自由權(quán)矩陣技巧，研究了具有時(shí)變輸入時(shí)滯與狀態(tài)時(shí)滯的不確定系統(tǒng)的魯棒H∞控制，所得結(jié)果是時(shí)滯依賴的，與時(shí)變時(shí)滯的上下界有關(guān)。從定理1的證明可以看出，沒有任何不等式的放縮，所以定理1的結(jié)果沒有任何保守性,且所設(shè)計(jì)的Lyapunov泛函簡(jiǎn)單，對(duì)時(shí)滯的導(dǎo)數(shù)也沒有限制。

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