二維槽道流動聚合物減阻的數值模擬參數研究

張勁柏，盧天祥

(北京航空航天大學 a.航空科學與工程學院;b.中法工程師學院，北京 100083)

聚合物湍流減阻是指在湍流中添加極少量的聚合物高分子物質而使得湍流作用于固體表面的摩擦阻力減小的現象。但是，對于這個現象的認識目前還很不清晰，尚未建立起令人信服的物理圖像解釋，定量的理論更是缺乏。

Toms［1］最先發現聚合物湍流減阻現象，其實驗結果表明:在湍流內流的有機溶液中溶解極少量的聚甲基丙稀酸甲脂后其阻力大幅度降低。在隨后的幾十年，人們對這種現象進行了大量的實驗研究和理論探索。

Virk［2］的實驗揭示出聚合物湍流減阻onset現象和最大減阻現象。在理論方面，1973年Lumley提出了時間判據理論;1990年De Gennes提出了彈性理論。

近些年，人們利用直接數值模擬研究聚合物湍流的減阻機理。Sureshkumar等［3］和Dimitropoulos等［4］應用譜方法成功實現了聚合物槽道湍流的直接數值模擬。2003 年，Housiadas和 Beris［5］研究比較了各無量綱參數對聚合物槽道湍流的影響。

為了初步了解聚合物流動的無量綱控制參數在聚合物湍流減阻中所起的作用，本文應用二維槽道聚合物流動的直接數值模擬對這些無量綱控制參數進行了研究，旨在擴充人們對聚合物流動減阻現象的了解，同時對三維聚合物槽道流動直接數值模擬起到指導作用。

1 控制方程與數值方法

本文聚合物分子采用FENE-P模型，計算中采用的控制方程的表現形式為:

式(1)中 Re= ρuτδ/η0為 Reynolds數，其中:uτ為壁面摩擦速度;δ為槽道的半寬;η0為零剪切聚合物溶液黏性系數;We=λuτ/δ為 Weisenberg數;β=ηs/ηp為黏度比，ηs是溶劑的黏性系數，ηp=η0－ηs是聚合物對零剪切溶液黏性系數的貢獻。

本文采用的譜方法是Galerkin Cheby-shebv-Tau方法，即在流向和展向采用周期性邊界條件的Fourier級數展開，在法向用Chebshev多項式展開。時間推進采用二階時間分裂格式。有關數值方法請參見文獻［6］。

本文的計算區域大小為4π(［－1，1］，網格數為128(129，計算的流動狀態包括 Reτ=180，220，250(分別對應于 Rem≈4600，6000，7000)，We=0.01，0.1，1.0，β=1.0，0.975，0.95，0.925，0.9。本文采用的是定壓降的計算，減阻的效應表現為流量的增加。在所有的算例中，FENE-P模型中的參數L=10。

2 無量綱參數對減阻的影響

2.1 黏度比β對湍流減阻的影響

黏度比β主要反映的是聚合物溶液中聚合物分子的濃度。β=1.0對應的濃度為0，降低β值則對應著濃度的增加。

圖1 是 Reτ=220 及 We=0.01，0.1，1.0 時流量Q隨β的變化曲線。在圖1中可以看到:當We=0.01時，流量隨β的變化是線性的;當We=0.1時，從 β=1.0一直到 β=0.925范圍流量的變化也一直是線性的;當β再降低到0.9時，流量突然有很大的增加，實際上這時候的流量達到了層流流態Poiseuille流的流量。從脈動速度圖2也可以看出:此時的流態確實發生了轉變，脈動消失，流動變成了層流。We=1.0的情況與We=0.1的情況相似，開始流量隨β的變化一直是線性的，在β=0.925時，流態發生了轉變，層流化了。

圖1 Reτ=220 及 We=0.01，0.1，1.0 時流量Q隨β的變化曲線

圖3 和 4 分別是 Reτ=180，We=0.01，0.1，1.0 和 Reτ=250，We=0.01，0.1，1.0 時流量 Q 隨β的變化曲線?？傮w上圖3、4與圖1相似，稍微有些不同在于:當 Reτ=180及 We=0.1時，流動的層流化提前了，在 β=0.925時就層流化了;當Reτ=250 及 We=0.1 時，從 β=1.0 到 β=0.9，流量的變化一直是線性的，流動沒有層流化;而當Reτ=250及We=1.0時，流動的層流化推遲了，在β=0.9時才層流化。

圖2 Reτ=220 及 We=0.1，β=0.9 時的脈動速度

圖3 Reτ=180 及 We=0.01，0.1，1.0 時流量Q隨β的變化曲線

圖4 Reτ=250 及 We=0.01，0.1，1.0 時流量Q隨β的變化曲線

綜觀這3幅圖可看出:隨著聚合物濃度的增加，聚合物對湍流流動的影響逐漸增強，直至將湍流完全抑制，使流動層流化。這種情況與實驗結果定性地一致［7］。圖2～4還表明:在湍流的情況下，隨著聚合物濃度的增加，聚合物的減阻作用呈線性地增加。

2.2 Weisenberg數對湍流減阻的影響

圖1，3，4同時顯示了Weisenberg數對流動的影響。當 We=0.01，β=0.975，0.95，0.925，0.9時的流量與牛頓流體槽道湍流的流量(β=1.0)基本相同。這說明此時聚合物對湍流減阻沒有作用和影響。而當 We=0.1，β=0.975，0.95，0.925，0.9時的流量比牛頓槽道湍流的流量(β=1.0)有顯著提高。這說明We在0.01～0.1時存在一個閾值，只有超過此值減阻現象才會出現，這非常類似于實驗中觀察到的onset現象。進一步提高Weisenberg數，當 We=1.0，β=0.975，0.95 時的流量與相應的We=0.1，β=0.975，0.95 時的流量相比只有些微增長，其增長的幅度遠遠低于Weisenberg數從0.01變動到0.1時相應流量的增長幅度。這說明減阻存在極限，與實驗結果類似，存在漸進最大減阻。

圖3和4顯示了與上面所述相同的特征。這些特征在平均速度剖面圖和脈動速度均方根剖面圖中表現得更為清晰。圖5和6分別是當Reτ=220，We=0.01，0.1，1.0，β=0.95 時相應的牛頓槽道湍流的平均速度剖面圖和脈動速度均方根剖面圖。由圖可見，We=0.01的曲線和牛頓流體槽道湍流的曲線非常接近;而We=1.0的曲線和We=0.1的曲線非常接近。這些正是上述特征的體現。從脈動速度均方根剖面圖6還可以看出:聚合物降低了湍流的脈動。應力平衡圖7也顯示聚合物降低了湍流中的Reynolds應力，這與實驗結果定性的一致。

圖5 Reτ=220 及 We=0.01，0.1，1.0，β=0.95時的平均速度剖面

圖6 Reτ=220 及 We=0.01，0.1，1.0，β=0.95時的脈動速度均方根剖面

圖7 Reτ=220，We=0.1，β=0.95 時的應力平衡圖

上述的情況表明:Weisenberg數對湍流的影響比較復雜。一般而言，增加We，則聚合物對湍流的影響是增加的，但這種增加是高度非線性的。這里存在著onset現象和漸進最大減阻現象。

2.3 Reynolds數對湍流減阻的影響

在定壓降的情況下，減阻的效應表現為流量的增加，此時的減阻效率為

式(2)中:CF= τw/(ρ)為表面摩擦系數;QP為聚合物槽道湍流的流量;QN為牛頓流體槽道湍流的流量。

表1列出了不同參數情況下的湍流減阻效率，從中可以看出一個基本的趨勢是:隨著Re數的增加，湍流減阻效率趨于降低。實際上，在聚合物流動的所有3個無量綱參數中，只有黏度比β和We直接與聚合物有關，其數值大小代表了聚合物與湍流相互作用的強弱。而Reynolds數只是流體流動的無量綱參數，與聚合物沒有直接的關系，其數值大小代表的是湍流的強弱。在固定黏度比β和We的情況下，Re數越大，湍流越強，則聚合物對湍流的作用相對來說就越弱。

表1 不同參數情況下的湍流減阻效率

這樣的趨勢實際上已經隱含在圖1～3中。注意到，隨著β值的持續減小，湍流將完全被抑制而轉化為層流。這種轉化發生的β臨界值隨著Re和We的增加是降低的，正說明了隨著Re的增加，聚合物對湍流的作用相對變弱。為了將湍流完全抑制，只有增加聚合物的濃度或提高We以加大聚合物對湍流的作用。

3 結束語

對計算結果的分析表明:Reynolds數對湍流減阻的影響是間接的，直接的控制參數是黏度比β和Weisenberg數。在一定范圍內，β對于減阻的作用是線性的，而Weisenberg數對湍流的影響比較復雜，這里存在著onset現象和漸進最大減阻現象，因此，Weisenberg數是更為重要的控制參數。

［1］Toms B A.Some observations on the flow of linear polymer solutions through straight tubes at large Reynolds numbers［C］//Proc.1st Intl Congr.Rheol.North Holland:［s.n.］，1949:135 －141.

［2］Virk P S.Drag reduction in rough pipes［J］.J Fluid Mech，1971，45:225 －246.

［3］Sureshkumar R，Beris A N，Handler R A.Direct numerical simulation of theturbulent channel flow of a polymer solution［J］.Phys Fluids，1997，9:743 －754.

［4］Dimitropoulos C D，Sureshkumar R，Beris A N.Direct numerical simulation of viscoelastic turbulent channel flow exhibiting drag reduction:effect of the variation of rheological parameters［J］.J Non-Newtonian Fluid Mech，1998，79:433 －468.

［5］Housiadas K D，Beris A N.Polymer-induced drag reduction:Effects of the variations in elasticity and inertia in turbulent viscoelastic channel flow［J］.Phys Fluids，2003，15:743 －754.

［6］許春曉.槽道湍流的直接數值模擬［D］.北京:清華大學，1995.

［7］Lumley J L.Drag reduction by additives［J］.Annu Rev Fluid Mech，1969(1):367 －384.