一種求解最小雙費用流問題的算法

馬宇斌，謝 政，陳 摯

(國防科學技術大學理學院，湖南 長沙 410073)

一種求解最小雙費用流問題的算法

馬宇斌，謝 政，陳 摯

(國防科學技術大學理學院，湖南 長沙 410073)

多目標優化是網絡最優化的一個重要子問題。通過實際應用案例，抽象出一種帶容量限制的雙費用權網絡模型，并由此提出了相應的最小雙費用流問題。之后，借鑒網絡分層的思想，根據雙費用權網絡的特點設計出一個求解該問題的雙層原始對偶算法，并嚴謹地證明了算法的正確性，估計出算法的復雜度為O(n2v0)。此外，對算法進行了推廣改進，使其能求解一般k費用權網絡中的最小k費用流問題。最后，通過一個實例來演示算法的執行。

雙費用權網絡；最小雙費用流；雙層原始對偶算法；復雜度

1 引言

網絡多目標優化問題作為組合最優化和網絡圖論的一個交叉問題，一直以來在工程規劃、地理信息系統、通信網絡和交通運輸等領域有著十分廣泛的應用。尤其是近年來，隨著通信和航天技術的發展，各國都在大力研發天基信息網絡系統，以爭取在海、陸、空、天等領域取得自主控制權；而對天基信息網絡的研究歸根到底就是求解一個多權網絡最優化問題，其求解目標會因研究側重點或分析方法的不同而不同。若將網絡鏈路上的信息通行代價和丟包率這兩個重要參數看成是特殊的“費用”，再輔以鏈路帶寬約束，則問題就變成一個帶容量限制的雙費用權問題。對于雙費用權問題，傳統的網絡流算法[1～4]已經不再奏效。王煥雄等[5]從不同角度討論了含有弧容量和弧費用的雙權有向網絡，給出了計算兩個節點間的使費用與容量之比最小的路徑的多項式算法，但這種“雙權”包括了容量，實質仍是單費用網絡；Zhu De-tong[6]針對廣義多品種最小費用流問題，提出一種對偶理論，將問題轉化成一對含有內、外層問題的雙水平規劃，并導出相應的Kuhn-Tucker條件，但未給出具體算法及復雜性分析；孫小軍等[7]提出了單費用運輸網絡中的最少時間最小費用路問題，即要求找出通行時間最短的最小費用路，并給出了一個求解算法；Coello[8]于2006年針對雙目標綜合優化問題提出了基于計算效率的進化算法，使運算時間大幅下降，但在理論上無法保證算法收斂；敖友云等[9]對綜合優化問題提出了一種差分進化算法，通過引進Paretoε-支配關系來控制進化策略和參數范圍，提高了求解的成功率；吳潤秀[10]對雙權網絡最優化求解提出一種基于粒計算的分層算法，通過將雙權復雜網絡映射成一個分層網絡，得到數據分布優化的滿意解。

本文在對帶容量限制的網絡雙費用權問題進行分析和探討的基礎上，結合文獻[6]和原始對偶算法的思想，針對雙費用權分主次的情況，提出了一種能有效求解此類最小雙費用流問題的算法。

2 數學模型建立

對于天基信息網絡，如果把衛星抽象成節點，把星際鏈路抽象成有向弧，將信息通行代價記為主單位費用w1，將丟包率記為次單位費用w2，那么該實際問題可以抽象成以下一般的數學網絡模型，本文稱之為最小雙費用流問題：

其中，{fij}為關于w1的最小費用流，即{fij}為下面線性規劃模型的最優解：

由于最小雙費用流問題涉及兩個費用權w1和w2，因此也稱之為最小(w1,w2)費用流問題。本文將重點研究求解最小雙費用流問題的方法，并提出一種雙層原始對偶算法。

在本文中所使用的概念和記號除特別聲明外，均見文獻[1]。另外，不失一般性，假設文中所涉及的網絡均是簡單的。

3 雙層原始對偶算法

3.1 預備知識

由假設知，D是簡單網絡，即D中任意一對節點間只有一條弧，故A+(f)∩A-(f)=?，記A(f)=A+(f)∪A-(f)。并且對?(vi,vj)∈A(f)，令:

其中，k=1,2。

3.2 雙層原始對偶算法的思想與步驟

步驟2 若v0=v(f)，結束，f為網絡D中的最小(w1,w2)費用流；否則，轉步驟3。

步驟6 沿由步驟5確定的P對f增廣，其中增廣的流值δ=min{c(P),v0-v(f)}，轉步驟2。

3.3 算法正確性分析

下面的兩個定理保證了雙層原始對偶算法的正確性。

(2)G′(π(2))中任意一條(vs,vt)路都是D(f)中的最小(w1,w2)費用路。

證明

□

綜上有定理得證。

□

定理3 如果雙費用權網絡D中存在雙費用都可以達到最小的可行流，那么運用雙層原始對偶算法求出的解必定也是兩種費用都達到最小的。

□

事實上，一旦在一個雙費用權網絡中確定了費用的主次，即可運用上述的雙層原始對偶算法來求解出最小雙費用流及其費用值。

3.4 算法復雜性分析

3.5 算法的進一步推廣

上文分析的是在帶容量限制的雙費用權網絡中求解最小雙費用流的問題。類似地，如果將問題推廣到帶容量限制的k費用權網絡中，要求解最小k費用流問題，那么只需將上述算法稍作改進。首先求出只由第一主費用的最小費用路構成的子網絡G；然后在G基礎上求出只由第二主費用的最小費用路構成的子網絡G′，再在G′的基礎上求出只由第三主費用的最小費用路構成的子網絡G″…，依此類推，一直求到由第k主費用的最小費用路構成的子網絡G*；最后將流值沿G*上的(vs,vt)路增廣到v0即可?？梢钥吹?，本文的算法具有巨大的應用價值。

4 算例

求解圖1所示網絡D中流值為6的最小雙費用流。其中每條弧旁三個參數由前往后分別是弧容量、主單位費用和次單位費用。

Figure 1 Netwok D圖1 網絡D

Figure 2 D′(f,π(1))圖2 D′(f,π(1))

Figure 3 G′(π(2)) before augmentation圖3 未增廣時的G′(π(2))

接下來，類似地重復上述操作計算。由于G′(π(2))每條弧的參數中主單位費用和次單位費用均為0，為簡便起見，在后面的作圖中對圖G′(π(2))的弧的參數只保留弧容量一項。

分別求出D′(f,π(1))和G′(π(2))，G′(π(2))如圖4所示，可找到增廣路P=vsv1vt，沿其增廣流值1，此時，v(f)=2<6，返回步驟2繼續執行算法；再次分別求出D′(f,π(1))和G′(π(2))，G′(π(2))如圖5所示，可找到增廣路P=vsv1v2vt，沿其增廣流值1，此時，v(f)=3<6，返回步驟2繼續執行算法。

Figure 4 G′(π(2)) after the 1st augmentation圖4 增廣1次后的G′(π(2))

Figure 5 G′(π(2)) after the 2nd augmentation圖5 增廣2次后的G′(π(2))

分別求出D′(f,π(1))和G′(π(2))，G′(π(2))如圖6所示，可找到增廣路P=vsv1v4v5vt，沿其增廣流值1，此時，v(f)=4<6，返回步驟2繼續執行算法；繼續分別求出D′(f,π(1))和G′(π(2))，G′(π(2))如圖7所示，可找到增廣路P=vsv4v5vt，沿其增廣流值1，此時，v(f)=5<6，返回步驟2繼續執行算法。

Figure 6 G′(π(2)) after the 3rd augmentation圖6 增廣3次后的G′(π(2))

Figure 7 G′(π(2)) after the 4th augmentation圖7 增廣4次后的G′(π(2))

再次分別求出D′(f,π(1))和G′(π(2))，G′(π(2))如圖8所示，可找到增廣路P=vsv4v3v5vt，沿其增廣流值1，此時，v(f)=6，算法結束，所求得的可行流f為最小雙費用流，如圖9所示。

Figure 8 G′(π(2)) after the 5th augmentation圖8 增廣5次后的G′(π(2))

Figure 9 Flow scheme of f圖9 流f的流方案

5 結束語

本文在了解多目標優化問題研究現狀的前提下，通過對時下熱點天基信息網絡路由的討論分析，抽象出含主次雙費用的雙費用權網絡和相應最小雙費用流問題的模型，給出了其線性規劃形式，并給出了一種雙層原始對偶算法，巧妙地解決了最小雙費用流問題。之后證明了算法的正確性，分析結果說明算法擁有令人滿意的復雜度。本文對算法的改進推廣使其能求解一般多費用權網絡的最小多費用流問題。最后的例子演示表明，算法的執行是行之有效的。

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[6] Zhu De-tong. Dual theories of general multicommodity minimal cost flow problems[J]. OR Transactions, 2002, 6(3):17-26.

[7] Sun Xiao-jun, Jiao Jian-min. An algorithm for the problem of finding the minimal-cost path with the minimal time[J]. Computer Engineering & Science, 2008, 30(7):77-78.(in Chinese)

[8] Coello Coello C A. Evolutionary multiobjective optimization:A historical view of the field[J]. IEEE Computational Intelligence Magazine, 2006, 1(1):28-36.

[9] Ao You-yun, Chi Hong-qin. Differential evolution algorithm for multi-objective optimization[J]. Computer Engineering & Science, 2011, 33(9):88-94.(in Chinese)

[10] Wu Run-xiu. Double weighted hierarchical network algorithm based on granular computing[J]. Computer Engineering and Applications, 2011, 47(24):77-87.(in Chinese)

附中文參考文獻：

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[7] 孫小軍, 焦建民. 一種求解最少時間最小費用路問題的算法[J]. 計算機工程與科學, 2008, 30(7):77-78.

[9] 敖友云, 遲洪欽. 多目標優化差分進化算法[J]. 計算機工程與科學, 2011, 33(9):88-94.

[10] 吳潤秀. 基于粒計算的雙權網絡分層算法[J]. 計算機工程與應用, 2011, 47(24):77-87.

MA Yu-bin,born in 1988,MS candidate,his research interest includes network optimization.

謝政(1960-),男,湖南衡陽人，教授，研究方向為組合最優化。E-mail:xiezheng@nudt.edu.cn

XIE Zheng,born in 1960,professor,his research interest includes combination optimization.

陳摯(1965-),男,湖南湘鄉人，碩士，副教授，研究方向為組合最優化。E-mail:chenzhi@nudt.edu.cn

CHEN Zhi,born in 1965,MS,associate professor,his research interest includes combination optimization.

An algorithm to solving minimum double-cost flow problem

MA Yu-bin,XIE Zheng,CHEN Zhi
(College of Science,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China)

Multi-objective optimization is a critical part of network optimization. The paper derives a minimum double-cost flow problem in double-cost network model with limitations on capacity from a practical case. According to the thought of hierarchy and the feature of double-cost network, the corresponding minimum double-cost flow problem is introduced and a two-layer primal-dual algorithm is proposed to solve it. The correctness of our algorithm is proved and its complexity is estimated asO(n2v0). Besides, the algorithm is improved to solve the minimumk-cost flow problem ink-cost network. Finally, a case is used to exhibit how the algorithm works.

double-cost network;minimum double-cost flow;two-layer primal-dual algorithm;complexity

2012-06-21;

2012-12-19

1007-130X(2014)03-0446-06

TP301.6

A

10.3969/j.issn.1007-130X.2014.03.012

馬宇斌(1988-),男,廣東臺山人，碩士生，研究方向為網絡最優化。E-mail:jhun31@126.com

通信地址：410073 湖南省長沙市國防科學技術大學理學院學員五隊

Address:Team 5,College of Science,National University of Defense Technology,Changsha 410073,Hunan,P.R.China