高等數(shù)學教學中反例的作用

鄒宗蘭

(四川職業(yè)技術(shù)學院應用數(shù)學與經(jīng)濟系，四川 遂寧629000 )

高等數(shù)學中存在著大量的概念、定理、法則、公式、命題等，它們不僅內(nèi)容抽象，邏輯嚴密，而且之間的關(guān)系錯綜復雜，成為學生學習的難關(guān)。在高等數(shù)學教學中，由于學生對某些概念的理解存在一定困難，對一些定理缺乏深刻的認識，對一些方法的應用很難掌握，而在教學過程中恰當運用反例，往往能彌補這方面的不足，給高等數(shù)學的教學帶來事半功倍的效果。

1 利用簡單的反例，準確理解定義

高等數(shù)學中許多重要的概念都是用抽象的數(shù)學語言給予形式化的精確描述，這些語言往往簡短精煉，但內(nèi)涵豐富，意義深刻，給學生的理解帶來很大難度。 而數(shù)學理論和方法的基礎(chǔ)是概念，只有準確理解，才能正確掌握數(shù)學知識。概念的教學中，不僅僅要運用正確的例子來分析和強調(diào)概念，如果有幾個例子從反面來說明定義，從而能加深學生對概念的理解和掌握。

如數(shù)列極限概念的理解， 除直接定義外， 再用一個簡單的反例：xn＝（-1）n來說明極限的定義。這數(shù)列是沒有極限的，原因是xn在常數(shù)-1 ，1 之間來回跳動，當n→∞時，xn不能無限地靠近一個確定的常數(shù)，所以此數(shù)列沒有極限。

又如可導必連續(xù)，這肯定了可導與連續(xù)這兩個概念之間關(guān)系，但連續(xù)是否一定可導？ 如函數(shù)f（x）＝在x＝0 處連續(xù)，但由定義知f（x）在x＝0 處不可導。通過此例，學生印象深刻，強化了對這兩個概念之間內(nèi)在關(guān)系的認識，即可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導。

2 應用直觀的反例，正確掌握定理

高等數(shù)學的教學內(nèi)容除概念以外，大量的是定理、性質(zhì)以及他們的應用.每一個定理、性質(zhì)都有它各自成立的條件，且條件不能隨便改變或者削弱，而且不同的定理，條件的性質(zhì)往往不一樣。 在教學中，盡管教師把定理的條件講得很深刻，而且不厭其煩、不厭其詳強調(diào)多次，但是有些學生還是憑直觀而忽視應注意的條件， 漠視條件的嚴密性，不審視條件與結(jié)論之間關(guān)系，甚至把條件看得可有可無，用想當然代替嚴密的邏輯推理，最后得出自以為正確的謬論。 要避免定理的錯誤運用，可以使用適當?shù)姆蠢f明定理的條件不能削弱或改變，或進一步強調(diào)條件的性質(zhì)，這樣可加深學生對定理、性質(zhì)的本質(zhì)理解，讓定理條件入腦入心，深化到學生心靈.因此數(shù)學中的定理、公式的許多條件往往是不能改變的，不同的定理，條件是不一樣的。為了正確理解定理與公式，往往用反例來說明條件不滿足，結(jié)論不成立。

如一元微分學中的拉格朗日中值定理：函數(shù)y＝f（x）滿足（1）在[a,b]上連續(xù)，（2）在（a,b）內(nèi)可導，則在（a,b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得f′（ξ）此定理中兩個條件缺一不可。

3 通過直接的反例，糾正錯誤認識

由于高等數(shù)學中概念、定理比較抽象，邏輯程度高，不易理解透徹，所以學生出現(xiàn)一些錯誤認識，把錯誤的命題主觀臆斷為正確的，是非常正常的情況。教學是一個知識積累的過程，又是發(fā)現(xiàn)問題、糾正錯誤的過程。 反例在教學中具有直觀、明顯、說明力強的特點，通過反例的教學，不僅可以發(fā)現(xiàn)學習中存在的錯誤和漏洞，還可以獲得相關(guān)的知識，從而得到正確的結(jié)論。

4 運用經(jīng)驗的反例，激發(fā)學習興趣

教學過程中,反例不但在使學生獲得基本知識、掌握基本理論、加強基本運算技能訓練方面有著重要的作用,而且對提高學生的學習興趣,激發(fā)學生的求知欲望,逐步培養(yǎng)科學研究能力諸方面大有幫助。

在講導數(shù)幾何意義時，如函數(shù)y＝f（x）在x0處可導，則y＝f（x）在x0處必有切線，但如果曲線y＝f（x）在x0處有切線，那么y＝f（x）在x0處是否可導呢？

又如單調(diào)函數(shù)的導函數(shù)必單調(diào)。 此命題不對。 例如函數(shù)y＝x3在（-∞，＋∞）內(nèi)是單調(diào)的，但它的導數(shù)y′＝3x2在（-∞，＋∞）內(nèi)卻不是單調(diào)的。

5 結(jié)束語

通過上面的反例，可使問題清楚明了。 為了讓學生重視反例的學習，在此不要因為問題簡單就可輕描淡寫，應強調(diào)指出概念、定理、性質(zhì)、公式等的條件，使學生記住結(jié)論的同時，也記住這些簡單而又典型的反例，而此反例又能幫助學生增強對結(jié)論的理解和記憶。

反例在高等數(shù)學教學中的地位是不容忽視的，在概念、定理、性質(zhì)的理解，問題的研究和論證中都有不可替代的作用。因此適當運用反例可使學生澄清對某些概念和性質(zhì)的模糊認識，加深理解教材內(nèi)容，搞清結(jié)論成立的條件，克服對數(shù)學知識理解的偏差，從而更深刻理解知識，思維更加嚴謹。 因此，善于應用反例是搞好數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié)。

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