電活性聚合物薄膜大變形的力學響應分析

崔磊磊 CUI Lei-lei；栗麗 LI Li；肖保輝 XIAO Bao-hui

（黃河科技學院工學院，鄭州450000）

0 引言

電活性聚合物是高分子聚合物材料的一種，有著廣闊應用前景。把該種材料做成薄膜并附柔順電極，受電的作用后，薄膜將變形收縮，可以實現用電控制薄膜的變形。該種材料可以實現電能和機械能的相互轉化，有望取代傳統的材料在機械電子產品及發電等領域發揮重要作用。世界各國學者們在薄膜的大變形研究方面作了許多工作[1-3]。本文以Artificial Muscle Inc.開發的一款電活性聚合物作動器為原本[4]，探討了一個電聚合物薄膜圓環模型在受到集中力作用時的大變形問題。通過建立平衡方程和熱力學原理結合的方法得到了薄膜大變形的控制方程，并采用數值計算對控制方程進行了求解[5]。

1 模型建立及平衡方程

根據作動器的原理建立如下模型，聚合物圓環狀薄膜如圖1、圖2所示。圖1所表示的是薄膜沒有受到豎向力的狀態，假設薄膜厚度為H，半徑為B。距離薄膜中心O為A的點固定有一小圓盤，并且圓環狀薄膜的外周連接在剛性的圓環上，設薄膜上任意一點到薄膜中心的距離為R。圖2是薄膜變形之后的示意圖，當外力F作用在小圓盤上時，圓盤就會產生一個豎向的位移u。與此同時，薄膜發生面外大變形。

圖1 薄膜變形前的橫截面圖

圖2 薄膜變形后的橫截面圖

在變形后的這種狀態下，薄膜上任意一點R在變形后的位置可以通過坐標r(R)和z(R)完全確定下來，并且r(R)和z(R)滿足以下的邊界條件：r(A)=A，r(B)=B和z(B)=0。然后，根據Tianhu He[6]等人的研究可以得到下列方程：

這里需要引入材料的熱力學方程求解，為了方便數值求解這里選用Neo-Hookean模型[7]。

其中，μ 是剪切模量，λ1，λ2和 λ3見方程（5）。

將方程（6）代入到方程（5）中得到

其中 σ1=s1λ1和 σ2=s2λ2，代入方程（7）中可以得：

方程（5）通過計算變形，可以得：

結合方程（1）和（2）得：

結合方程（1）、方程（4）和方程（7）可得：

按照下列無量綱化的方式對方程處理

所以方程（7）可寫為

方程（8）可以寫為

方程（9）-（11）可寫為

2 數值計算及結果探討

把方程(15)、(16)代數方程(17)后，結合邊界條件r(A)=A，r(B)=B進行數值計算。這里取B/A=2.5，H/A=0.05，并改變F的大小。經計算最后可得到如下結果，如圖3-4所示。

電活性聚合物薄膜在外力F的作用下發生變形，當外力F不變時，電活性聚合物薄膜的厚度呈單調遞增趨勢。并且，外力F越大，電活性聚合物薄膜的厚度越薄。

圖3 變形后薄膜的厚度分布圖

圖4 變形薄膜上各點的傾角分布圖

從圖4中可以看出，對于薄膜上的一定點，當外力越大時傾角越大。當外力不變時，在薄膜的內邊界處的傾角最大，在薄膜的外邊界處傾角最小，中間區域呈單調遞減趨勢。

結果表明，電活性聚合物薄膜的變形是非常不均勻的，這說明作為該種模型的作動器，電活性聚合物薄膜變形時材料的利用率并不高。

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